Altklausur/Prüfungsaufgaben mit Musterlösung zu komplexen Zahlen
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Course
Komplexe Zahlen (MATHEMATIK)
Institution
Duale Hochschule Baden-Württemberg Karlsruhe
Dieses Dokument bietet eine umfassende Sammlung von Aufgaben und Lösungen im Bereich der komplexen Zahlen, speziell konzipiert für Studierende im Bachelor of Engineering (B.Eng.) Studiengang. Komplexe Zahlen sind ein wesentlicher Bestandteil vieler ingenieurwissenschaftlicher Disziplinen und bild...
Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen:
3 25
a) x2 + 4x + 13 = 0 b) x2 + x + =0
2 16
2. Aufgabe
a) Geben Sie die folgenden Zahlen in algebraischer Normalform an:
⇣ ⇣⇡ ⌘ ⇣ ⇡ ⌘⌘ ⇣ ⇣⇡ ⌘ ⇣ ⇡ ⌘⌘
i) z1 = 5 cos i sin ii) z2 = 2 cos + i sin
3 3 2 2
b) Berechnen Sie |z| und arg(z) = ' für folgende Zahlen:
i) z1 = i 1 ii) z2 = 2(1 + i)
3. Aufgabe
Geben Sie folgende Zahlen in kartesischer und trigonometrischer Darstellung an und
zeichnen Sie sie in die komplexe Zahlenebene ein:
⇡ ⇡
i ⇡2 i ⇡3
a) z1 = ei 2 b) z2 = ei 3 c) z3 = e d) z4 = e
4. Aufgabe
Geben Sie die komplexe Zahl w = ez in der Exponentialform, der trigonometrischen
und der kartesischen Darstellung an mit
i 1
a) z = 3 + 2i b) z = 2 c) z = + i⇡
2 2
3 3
d) z = i⇡ e) z = 1 i f) z = 3 i
2 2
5. Aufgabe
Bestimmen Sie diejenigen komplexen Zahlen z, die die folgenden Bedingungen er-
füllen:
p p p p
2 + 2 2 2
a) z 5 i =0
2 2
b) Re(z)·Im(z) 0.
p p
⇣⇡ ⌘ 2+ 2
Hinweis: cos =
8 2
,6. Aufgabe
Für z 2 C sind folgende Kurven gegeben:
⇣z ⌘ ⇣z ⌘
G1 : |z + 2 + i| 3|z i| = 0 und G2 : Re + Im = 1, z 6= 0.
z̄ z̄
a) Um welche Kurven handelt es sich?
b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von G1 und G2 .
7. Aufgabe
⇡
Gegeben ist die komplexe Zahl z = (1 i)2 ei 3 .
a) Geben Sie z in kartesischen Koordinaten (z = x + iy), in Polarkoordinaten
(z = r(cos(') + i sin(')) und in Exponentialdarstellung (z = r ei' ) an. Dabei
ist r = |z|.
b) Berechnen Sie z · z̄.
8. Aufgabe
a) Skizzieren Sie alle z 2 C, die der Menge
p
G = {z 2 C : |z + 1| = 2 |z 1|}
angehören und skizzieren Sie G.
b) Bestimmen Sie alle Nullstellen von p(z) = z 3 7z 2 + 7z 1, die außerhalb von
G liegen.
c) Bestimmen Sie die komplexe Zahl z, die folgende Eigenschaften besitzt:
i) Der Realteil des Quadrates von z ist 1 und
ii) der Winkel ihrer dritten Potenz ist ⇡2
und geben Sie sie in kartesischen Koordinaten, Polarkoordinaten und in Expo-
nentialdarstellung an.
9. Aufgabe
Es sei
p(z) = z 3 + (2 3i)z 2 + (1 + 2i)z + 24 3i, z 2 C.
a) Bestimmen Sie für jede rein imaginäre Zahl z = iy, y 2 R, jeweils Real- und
Imaginärteil von p(iy).
b) Für welche y 2 R gilt p(iy) = 0?
c) Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms p(z) in der Form z = x + iy.
,
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