Ecole Nationale Polytechnique de Constantine 2020-2027
L"" Année classe préparatoire
Contrôle de Probabilités - Statistique (Semestre 1)
Exercice I - (7 points) - On a observé un couple (X,Y) de variables statistiques. Les résultats
sont enregistrés dans le tableau suivant :
.ValeursdeX:16 1 2 J +/ 6
.7
I 8
Valeurs deY : g; 4,66 7,76 9,18 10,98 13,18 14,95 16,96 79,37
1) Calculer le coefficient de corrélation linéairer(X,Y) entre les variables X etY.Interpréter
le résultat obtenu.
2) Ajuster le nuage de points {(ro,Au)}u:r,...,e par une droite notée Dl de la forme Y : aX +b.
3) Donner le point d'intersection de Ia droite D1 avec la deuxième droite D2 de X en Y :
X:cY*d.
4) Calculer la valeur de la médiane Me ainsi que celle du premier quartile 8r de la variable
I
statistique Y.
Exercice II - (6,5 points) - Soient X et Y deux va,riables statistiques continues dont la
distribution conjointe est donnée par le tableau de contingence suivant :
Y
X 12,5 - 7,5[ [7,5 - L2,5[ 1L2,5 - rT,sl lr7,s - 22,5[
5-15 2 .) 1 1
r5-25 1 z 2 3
25-35 2 -L 2 0
1) Déterminer ia distribution marginale de X et celle de Y.
2) Donner la distribution conditionnelle de Y pour X e [15, 25[.
3) Calculer la moyenne conditionnelle yylyç1rs,zs1 et la variance conditionneLle o2rr*.rrs,zs1 de
YpourXelLï,25l.
4) Donner la distribution conditionnelle de Y pour X e 15,25[.
Exercice III - (6,5 points) - 1) Soit (Q, A, P) un espace probabilisé et A et B deux
événements de
"4,
tels que P(,4) l0
et P(B) + 0.
1-1. Montrer les équivalences suivantes :
P(AIB): P(A) e P(BIA): P(B) e P(An B) : P(A)P(B).
1-2. Montrer que I'application Ps, définie de .A dans IR, qui à un élément C de I'algèbre (de
"4
: '+æ
parties de ()) assoc ie Pe(C) est une probabilité sur l'espace probabilisable (f,),.,4).
2) On considère deux urnes : [! composée de 3 boules rouges et 2 boules noires, U2 composée
de 2 boules noires et 2 boules rouges. On tire une boule de I'urne U1 et on la met dans I'urne
[/2 puis un tire une boule de I'urne Uz. On constate que cette boule (tirée de U2) est noire.
Calculer la probabilité que la boule tirée dans l'urne Ut att été rouge.
Bonne chance
, Ecole Nationale Polytechnique de Constantine 2020-202r
1e'" Année classe préparatoire
Corrigé du Contrôle N"1 de Probabilités - Statistique
Solution de itexercice I - : Données des observations du couple de variables statistiques
(X,Y)
ValeursdeX:r; I 2 3 A
6 7 8
Valeurs deY : yi 4,66 7,76 9,18 10,98 13,18 14,95 16,96 79,37
1) Par définition, r(X,Y):
' -%.
1/Var(X)Var(Y)
On a donc besoin de calculer les movennes empiriques z et E ainsi que les varianccs cmpiriqucs
Vo,r(X) et, Va,r(Y), respectivement de X et de Y.
- Le moyenne empirique 7 de X, d'après la présentation du tableau de données de X et de Y,
\,
I:lfz;,
y7 z-
oùn:8.
i:1
z :]{r +2 +3+4+5 +6+ T +B):
r-]-,
:n,u, l:r:4.J1.
I
-=--1
- Le moyenne empirique g de Y, toujours d'après la présentation du tableau de données de X
- 11,
_ r\-
etdeY, A: ^)-Ai.
TI 1
i:l
1
: Y# : r2,rr,
I A - tattu I'
- La variance empirique notée Var(X) de X : d'après la presentation du tableau de données de
,1 tl .
X et de Y, Var(X): ' Y r?\
' (\n/r "/ - t', oùn:8.
i:l
v ar(x) : *d7r-l(t' +22
. ^, ^, .t -, ^, -t ^t\ . -, :
+J2 +4" +s" +6' +72 +82) - 4,s2
1
)qzo+1
_2a,2s : 2s,s _20,2s : 5,2s,
u'
- La variance empirique notée Var(Y) de Y : toujours d'après ia présentation du tableau de
X et de Y, Var(Y) .: (! f ,?\ - g', :
données de
\rù / "
7^".
orf n 8.
1
Var(Y)::(4,662 +7,762 +9,182 + 10,982+ 13,182 +14,952 + 16,962 +19,372) -12,r32:
ù
]{ttnu,
81e4) - r4T, r*6s : 2L,2r, Var(Y) :21,21
- La covariance empirique entre X et Y : dans Ie contexte de I'exercice,
cou(x.y):/1\- \ at7
-- où n:8'
rY'
' \n t'rÛ;)-
I
1
Cou(X,y)' : x' x 4,66 *2x7,76+3 x 9,18*4 x 10,98+5 x 13,18*6 x 14,95+7 x 16,96*
=(1
8 x 19, 37) - 4,5 x 12,13 : 05, 115 - 54,585, ,Y) :10,53
I
