1
Lineaire Algebra, 2DD12, Tentamen 11 Januari 2008
Het tentamen bestaat uit 13 onderdelen verdeeld over 8 opgaven. De puntenverdeling is als volgt:
1 2 3a 3b 3c 4 5 6a 6b 6c 7a 7b 8
10 10 10 5 5 10 10 5 5 5 5 10 10
Dus in totaal kunnen maximaal 100 punten gehaald worden. Het resultaat zal verkregen worden door
het totaal aantal punten door 10 te delen.
Laat telkens duidelijk zien hoe je aan je antwoord bent gekomen, behalve als er aangegeven
wordt dat dit niet hoeft. Een antwoord ZONDER UITLEG wordt als een gok beschouwd en
daarom NIET GOED gerekend en levert dus 0 punten op.
Opgave 1. Gegeven een matrix A. Bepaal of de verzameling oplossingen van het homogene stelsel
lineaire vergelijkingen Ax = 0 alleen de triviale 0-oplossing is, of een lijn door de oorsprong, of een
vlak door de oorsprong. Als het een lijn is geef dan de parametrische beschrijving van die lijn. Als
het een vlak is geef dan de lineaire vergelijking van dat vlak.
1 0 1
A = 2 1 3 .
2 1 4
Opgave 2. Gegeven een matrix A. Bepaal of de verzameling oplossingen van het homogene stelsel
lineaire vergelijkingen Ax = 0 alleen de triviale 0-oplossing is, of een lijn door de oorsprong, of
een vlak door de oorsprong. Als het een lijn of een vlak is geef dan de parametrische beschrijving
van die lijn of dat vlak.
1 −2 3
A = 2 −4 6 .
2 −4 6
Opgave 3. Gegeven twee vectoren
2 −3
v1 = 1 en v2 = 0 ,
0 1
en een punt P = (1, 1, 1).
3a. Geef een lineaire vergelijking van het vlak dat opgespannen wordt door de twee vectoren en door
het punt P gaat.
3b. Geef ook de lineaire vergelijking van het vlak dat evenwijdig is aan het vorige vlak maar door het
punt Q = (1, −3, 4) gaat. Hint: Als je bij onderdeel 3a. het vlak niet uit hebt kunnen rekenen, kan
je voor dit en voor het volgende onderdeel toch de punten halen door een (willekeurig) vlak bij 3a. te
nemen (wat wel door P gaat natuurlijk).
3c. Bereken de afstand tussen deze twee vlakken.
,2
Opgave 4. Bereken de inverse van de matrix
1 0 1
A = 2 1 3 .
2 1 4
Opgave 5. Gegeven het stelsel lineaire vergelijkingen:
2x1 + x2 = 3
−3x1 + x3 = 4
αx1 − x2 − x3 = −7
Bepaal voor welke waarden van α het stelsel geen oplossing oplossing heeft, voor welke waarden
van α het stelsel een unieke oplossing heeft, voor welke waarden van α de oplossingen van het stel-
sel een 1-dimensional ruimte vormen en voor welke het van α de oplossingen van het stelsel een
2-dimensionale ruimte (een vlak) vormen. Geef de oplossing of oplossingen verzamelingen in de
gevallen dat er oplossingen zijn.
Opgave 6. Gegeven een verzameling vectoren
2 −3 1 0 4
v1 = 1 , v2 = 0 , v3 = 1 , v4 = 3 , v5 = 2 .
0 1 1 4 1
6a. Vormen v1 , v2 , v3 en v5 een basis voor de IR3 ? Motiveer je antwoord.
6b. Vormen v1 , v2 en v3 een basis voor de IR3 ? Motiveer je antwoord.
6c. Vormen v2 , v3 en v4 een basis voor de IR3 ? Motiveer je antwoord.
Opgave 7. Gegeven is de matrix
1 2 3 1 0
−3 −6 −12 1 2 .
A= 1 2 0 5 2
−2 −4 −3 −6 −2
Na toepassen van Gauss (vegen met de rijen) heeft A de gereduceerde driehoeksvorm
1 2 3 1 0
0 0 1 −4 −2
R= 3 3 .
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
7a. Geef aan wat de dimensie is van de (i) kolomruimte van A, (ii) de rijruimte van A en (iii) de
nulruimte van A. Dit mag je zonder uitleg doen.
7b. Geef bij ieder van de in onderdeel 5a. genoemde deelruimten een basis.
Opgave 8. Gegeven de matrix
1 0 0
A = 2 1 0 .
2 1 4
Ga na of deze matrix diagonaliseerbaar is.
, 1
A NTWOORDEN VAN TENTAMEN L INEAIRE A LGEBRA 11 JANUARI 2008
Opgave 1. Met behulp van Gauss-Jordan:
1 0 1
2 1 3
2 1 4
Trek 2× rij 1 van rij 2 en van rij 3 af. Dit geeft
1 0 1
0 1 1 .
0 1 2
Trek 1× rij 2 en van rij 3 af. Dit geeft
1 0 1
0 1 1 .
0 0 1
Dus Ax = 0 heeft alleen de triviale oplossing.
Opgave 2. Met behulp van Gauss-Jordan:
1 −2 3
2 −4 6 .
2 −4 6
Trek 2× rij 1 van rij 2 en van rij 3 af. Dit geeft
1 −2 3
0 0 0 .
0 0 0
Dus de oplossingen van Ax = 0 worden gegeven door te nemen x2 = s,x3 = t en dan wordt
x1 = 2s −3t. Ofwel, de parametrische voorstelling van het vlak wordt gegeven door
x1 2 −3
x2 = s 1 + t 0 .
x3 0 1
Opgave 3a. We bepalen de normaalvector van het vlak als de vector die loodrecht staat op v1 en
v2 , dus de vector n die de eigenschap heeft dat n • v1 = 0 en n • v2 = 0. Dit geeft het stel-
sel lineaire vergelijkingen:
2n 1 + n 2 = 0
−3n 1 + n3 = 0
Lineaire Algebra, 2DD12, Tentamen 11 Januari 2008
Het tentamen bestaat uit 13 onderdelen verdeeld over 8 opgaven. De puntenverdeling is als volgt:
1 2 3a 3b 3c 4 5 6a 6b 6c 7a 7b 8
10 10 10 5 5 10 10 5 5 5 5 10 10
Dus in totaal kunnen maximaal 100 punten gehaald worden. Het resultaat zal verkregen worden door
het totaal aantal punten door 10 te delen.
Laat telkens duidelijk zien hoe je aan je antwoord bent gekomen, behalve als er aangegeven
wordt dat dit niet hoeft. Een antwoord ZONDER UITLEG wordt als een gok beschouwd en
daarom NIET GOED gerekend en levert dus 0 punten op.
Opgave 1. Gegeven een matrix A. Bepaal of de verzameling oplossingen van het homogene stelsel
lineaire vergelijkingen Ax = 0 alleen de triviale 0-oplossing is, of een lijn door de oorsprong, of een
vlak door de oorsprong. Als het een lijn is geef dan de parametrische beschrijving van die lijn. Als
het een vlak is geef dan de lineaire vergelijking van dat vlak.
1 0 1
A = 2 1 3 .
2 1 4
Opgave 2. Gegeven een matrix A. Bepaal of de verzameling oplossingen van het homogene stelsel
lineaire vergelijkingen Ax = 0 alleen de triviale 0-oplossing is, of een lijn door de oorsprong, of
een vlak door de oorsprong. Als het een lijn of een vlak is geef dan de parametrische beschrijving
van die lijn of dat vlak.
1 −2 3
A = 2 −4 6 .
2 −4 6
Opgave 3. Gegeven twee vectoren
2 −3
v1 = 1 en v2 = 0 ,
0 1
en een punt P = (1, 1, 1).
3a. Geef een lineaire vergelijking van het vlak dat opgespannen wordt door de twee vectoren en door
het punt P gaat.
3b. Geef ook de lineaire vergelijking van het vlak dat evenwijdig is aan het vorige vlak maar door het
punt Q = (1, −3, 4) gaat. Hint: Als je bij onderdeel 3a. het vlak niet uit hebt kunnen rekenen, kan
je voor dit en voor het volgende onderdeel toch de punten halen door een (willekeurig) vlak bij 3a. te
nemen (wat wel door P gaat natuurlijk).
3c. Bereken de afstand tussen deze twee vlakken.
,2
Opgave 4. Bereken de inverse van de matrix
1 0 1
A = 2 1 3 .
2 1 4
Opgave 5. Gegeven het stelsel lineaire vergelijkingen:
2x1 + x2 = 3
−3x1 + x3 = 4
αx1 − x2 − x3 = −7
Bepaal voor welke waarden van α het stelsel geen oplossing oplossing heeft, voor welke waarden
van α het stelsel een unieke oplossing heeft, voor welke waarden van α de oplossingen van het stel-
sel een 1-dimensional ruimte vormen en voor welke het van α de oplossingen van het stelsel een
2-dimensionale ruimte (een vlak) vormen. Geef de oplossing of oplossingen verzamelingen in de
gevallen dat er oplossingen zijn.
Opgave 6. Gegeven een verzameling vectoren
2 −3 1 0 4
v1 = 1 , v2 = 0 , v3 = 1 , v4 = 3 , v5 = 2 .
0 1 1 4 1
6a. Vormen v1 , v2 , v3 en v5 een basis voor de IR3 ? Motiveer je antwoord.
6b. Vormen v1 , v2 en v3 een basis voor de IR3 ? Motiveer je antwoord.
6c. Vormen v2 , v3 en v4 een basis voor de IR3 ? Motiveer je antwoord.
Opgave 7. Gegeven is de matrix
1 2 3 1 0
−3 −6 −12 1 2 .
A= 1 2 0 5 2
−2 −4 −3 −6 −2
Na toepassen van Gauss (vegen met de rijen) heeft A de gereduceerde driehoeksvorm
1 2 3 1 0
0 0 1 −4 −2
R= 3 3 .
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
7a. Geef aan wat de dimensie is van de (i) kolomruimte van A, (ii) de rijruimte van A en (iii) de
nulruimte van A. Dit mag je zonder uitleg doen.
7b. Geef bij ieder van de in onderdeel 5a. genoemde deelruimten een basis.
Opgave 8. Gegeven de matrix
1 0 0
A = 2 1 0 .
2 1 4
Ga na of deze matrix diagonaliseerbaar is.
, 1
A NTWOORDEN VAN TENTAMEN L INEAIRE A LGEBRA 11 JANUARI 2008
Opgave 1. Met behulp van Gauss-Jordan:
1 0 1
2 1 3
2 1 4
Trek 2× rij 1 van rij 2 en van rij 3 af. Dit geeft
1 0 1
0 1 1 .
0 1 2
Trek 1× rij 2 en van rij 3 af. Dit geeft
1 0 1
0 1 1 .
0 0 1
Dus Ax = 0 heeft alleen de triviale oplossing.
Opgave 2. Met behulp van Gauss-Jordan:
1 −2 3
2 −4 6 .
2 −4 6
Trek 2× rij 1 van rij 2 en van rij 3 af. Dit geeft
1 −2 3
0 0 0 .
0 0 0
Dus de oplossingen van Ax = 0 worden gegeven door te nemen x2 = s,x3 = t en dan wordt
x1 = 2s −3t. Ofwel, de parametrische voorstelling van het vlak wordt gegeven door
x1 2 −3
x2 = s 1 + t 0 .
x3 0 1
Opgave 3a. We bepalen de normaalvector van het vlak als de vector die loodrecht staat op v1 en
v2 , dus de vector n die de eigenschap heeft dat n • v1 = 0 en n • v2 = 0. Dit geeft het stel-
sel lineaire vergelijkingen:
2n 1 + n 2 = 0
−3n 1 + n3 = 0
