Exam (elaborations)
Lineaire Algebra, 4 oude tentamens + uitwerkingen
- Course
- Institution
Bevat 4 oude tentamens + uitwerkingen van het vak Lineaire Algebra.
[Show more]
Seller
Follow
TUETechnischeBedrijfskunde
Reviews received
Content preview
1Lineaire Algebra, 2DD12, Tentamen 11 Januari 2008
Het tentamen bestaat uit 13 onderdelen verdeeld over 8 opgaven. De puntenverdeling is als volgt:
1 2 3a 3b 3c 4 5 6a 6b 6c 7a 7b 8
10 10 10 5 5 10 10 5 5 5 5 10 10
Dus in totaal kunnen maximaal 100 punten gehaald worden. Het resultaat zal verkregen worden door
het totaal aantal punten door 10 te delen.
Laat telkens duidelijk zien hoe je aan je antwoord bent gekomen, behalve als er aangegeven
wordt dat dit niet hoeft. Een antwoord ZONDER UITLEG wordt als een gok beschouwd en
daarom NIET GOED gerekend en levert dus 0 punten op.
Opgave 1. Gegeven een matrix A. Bepaal of de verzameling oplossingen van het homogene stelsel
lineaire vergelijkingen Ax = 0 alleen de triviale 0-oplossing is, of een lijn door de oorsprong, of een
vlak door de oorsprong. Als het een lijn is geef dan de parametrische beschrijving van die lijn. Als
het een vlak is geef dan de lineaire vergelijking van dat vlak.
1 0 1
A = 2 1 3 .
2 1 4
Opgave 2. Gegeven een matrix A. Bepaal of de verzameling oplossingen van het homogene stelsel
lineaire vergelijkingen Ax = 0 alleen de triviale 0-oplossing is, of een lijn door de oorsprong, of
een vlak door de oorsprong. Als het een lijn of een vlak is geef dan de parametrische beschrijving
van die lijn of dat vlak.
1 −2 3
A = 2 −4 6 .
2 −4 6
Opgave 3. Gegeven twee vectoren
2 −3
v1 = 1 en v2 = 0 ,
0 1
en een punt P = (1, 1, 1).
3a. Geef een lineaire vergelijking van het vlak dat opgespannen wordt door de twee vectoren en door
het punt P gaat.
3b. Geef ook de lineaire vergelijking van het vlak dat evenwijdig is aan het vorige vlak maar door het
punt Q = (1, −3, 4) gaat. Hint: Als je bij onderdeel 3a. het vlak niet uit hebt kunnen rekenen, kan
je voor dit en voor het volgende onderdeel toch de punten halen door een (willekeurig) vlak bij 3a. te
nemen (wat wel door P gaat natuurlijk).
3c. Bereken de afstand tussen deze twee vlakken.
,2
Opgave 4. Bereken de inverse van de matrix
1 0 1
A = 2 1 3 .
2 1 4
Opgave 5. Gegeven het stelsel lineaire vergelijkingen:
2x1 + x2 = 3
−3x1 + x3 = 4
αx1 − x2 − x3 = −7
Bepaal voor welke waarden van α het stelsel geen oplossing oplossing heeft, voor welke waarden
van α het stelsel een unieke oplossing heeft, voor welke waarden van α de oplossingen van het stel-
sel een 1-dimensional ruimte vormen en voor welke het van α de oplossingen van het stelsel een
2-dimensionale ruimte (een vlak) vormen. Geef de oplossing of oplossingen verzamelingen in de
gevallen dat er oplossingen zijn.
Opgave 6. Gegeven een verzameling vectoren
2 −3 1 0 4
v1 = 1 , v2 = 0 , v3 = 1 , v4 = 3 , v5 = 2 .
0 1 1 4 1
6a. Vormen v1 , v2 , v3 en v5 een basis voor de IR3 ? Motiveer je antwoord.
6b. Vormen v1 , v2 en v3 een basis voor de IR3 ? Motiveer je antwoord.
6c. Vormen v2 , v3 en v4 een basis voor de IR3 ? Motiveer je antwoord.
Opgave 7. Gegeven is de matrix
1 2 3 1 0
−3 −6 −12 1 2 .
A= 1 2 0 5 2
−2 −4 −3 −6 −2
Na toepassen van Gauss (vegen met de rijen) heeft A de gereduceerde driehoeksvorm
1 2 3 1 0
0 0 1 −4 −2
R= 3 3 .
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
7a. Geef aan wat de dimensie is van de (i) kolomruimte van A, (ii) de rijruimte van A en (iii) de
nulruimte van A. Dit mag je zonder uitleg doen.
7b. Geef bij ieder van de in onderdeel 5a. genoemde deelruimten een basis.
Opgave 8. Gegeven de matrix
1 0 0
A = 2 1 0 .
2 1 4
Ga na of deze matrix diagonaliseerbaar is.
, 1
A NTWOORDEN VAN TENTAMEN L INEAIRE A LGEBRA 11 JANUARI 2008
Opgave 1. Met behulp van Gauss-Jordan:
1 0 1
2 1 3
2 1 4
Trek 2× rij 1 van rij 2 en van rij 3 af. Dit geeft
1 0 1
0 1 1 .
0 1 2
Trek 1× rij 2 en van rij 3 af. Dit geeft
1 0 1
0 1 1 .
0 0 1
Dus Ax = 0 heeft alleen de triviale oplossing.
Opgave 2. Met behulp van Gauss-Jordan:
1 −2 3
2 −4 6 .
2 −4 6
Trek 2× rij 1 van rij 2 en van rij 3 af. Dit geeft
1 −2 3
0 0 0 .
0 0 0
Dus de oplossingen van Ax = 0 worden gegeven door te nemen x2 = s,x3 = t en dan wordt
x1 = 2s −3t. Ofwel, de parametrische voorstelling van het vlak wordt gegeven door
x1 2 −3
x2 = s 1 + t 0 .
x3 0 1
Opgave 3a. We bepalen de normaalvector van het vlak als de vector die loodrecht staat op v1 en
v2 , dus de vector n die de eigenschap heeft dat n • v1 = 0 en n • v2 = 0. Dit geeft het stel-
sel lineaire vergelijkingen:
2n 1 + n 2 = 0
−3n 1 + n3 = 0
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller TUETechnischeBedrijfskunde. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.23. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
67474 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now