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Valor absoluto
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Resumen Valor absoluto Cálculo 1
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isidorapaz
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Cálculo 1sábado, 20 de abril de 2024 16:48
Cosas importantes:
Teorema 1.3.2 → : Número positivo.
← : Número Negativo.
El valor absoluto: 1. |a|≥ 0 Ley de tricotomía: propone que todo número real
|a|= a si a≥0 2. |a|=|-a| debe cumplir una de las siguientes dos condiciones
-a si a˂0 3. -|a| ≤ a ≤ |a| sin excepciones: debe ser menor, igual o mayor a otro
4. |a|= 0 ↔ a = 0 número real.
Formas equivalentes de definir el valor 5. |a * b| = |a| * |b|
absoluto: 6. Si b ≥ 0, |a| ≤ b ↔ -b ≤ a ≤ b
Ej. 7. Si b ≥ 0, |a| ≥ b ↔ a ≥ b ó a ≤ -b
|a|= máx a, -a ó |a| = √a² 8. |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdad triangular).
Def.1.4.1: dice |0|=0, |4|=4, |-4|=4.
- Deducimos que el número a y su inverso
aditivo -a están a igual distancia del Demostración: 2. Axioma de tricotomía: 3. Si a ≥ 0 entonces |a| = a. Además, siendo a positivo (-a) es negativo o cero, por tanto
cero. - Si a > 0 entonces -a < 0, por tanto: |a| = a -|a| ≤ a ≤|a|.
- Usando consecuencias de orden de los 1. Si a E R, por tricotomía tenemos las y |-a| = - (-a) = a. - Si a < 0 entonces |a| = -a y -a > 0. Por tanto a< -a y tenemos que -|a| = a < -a = |a|,
Reales, sabemos que todo número posibilidades: a > 0 o a = 0 o a < 0. Se cumple: Sí -> |a| = |-a| La cumple: Sí -> -|a| ≤ a ≤ |a|
negativo es menor que uno positivo.
- Si a > 0 entonces |a| = a > 0 - Si a = 0 entonces |0| = |-0| = 0
- Si a = 0 entonces |0| = 0
- Si a < 0 entonces -a = |a| > 0 - Si a < 0 entonces -a > 0, por tanto:
a a = |a| a 0 -a = |a| Así en todos los casos |a| ≥ 0 |a| = - a, |-a|= -a
Se cumple: Sí -> |a| = | -a|.
4. (←) Si a = 0, o sea |a| = |0| = 0
(→) a E R, por tricotomía a > 0 ó a<0 ó a = 0, 5. Dado a, b E R, por tricotomía se tiene que (a * b > 0) ó (a * b < 0) ó (a * b < 0).
cómo debe quedar a = 0: - Si a * b > 0 , por teorema 1.2.12, (a > 0 y b > 0) ó (a < 0 y b < 0).
- Si a > 0 entonces |a| = a > 0 Por def. de v.a. se tiene que |a * b| = a * b , donde la 1era posibilidad |a| = |a| y |b| = 0,
Se cumple: no Por lo que |a| * |b| = a * b.
- Si a < 0 entonces |a| = -a > 0 Se cumple: Sí -> |a| * |b| = |a| * |b|
Se cumple: no - Si usamos una 2da posibilidad, entonces |a|= -a y |b| = - b, así |a| * |b| = (- a) * (- b) =
- El único que si cumple es a = 0 a*b
Se cumple: Sí -> |a| * |b| = a * b.
- Si a * b = 0 entonces por teorema 1.1.5, a = 0 o b = 0, entonces |a*b| = 0 = |a| * |b|
- Si a * b < 0 se deja como ejercicio, es análoga al caso a * b > 0.
7 . Si b ≥ 0, |a| ≥ b ↔ a ≥ b ó a ≤ -b
(→)
Supongamos |a| ≥ b.
- Si a ≥ 0 entonces |a| = a y por tanto a ≥ b.
- Si en cambio a ˂ 0, entonces |a| = -a y en este caso -a ≥ b, ( debido a teorema 1.2.10, a ≤ -b. 6. Si b ≥ 0, |a| ≤ b ↔ -b ≤ a ≤ b
(←) Es análoga a la correspondiente implicación (6). (→)
- Si a ≥ 0 entonces |a| = a y por teoría |a| ≤ b lo que implica que a ≤ b.
-b 0 b Como b ≥ 0 entonces -b ≤ 0.
Se cumple: Sí -> - b ≤ a ≤ b
Distancia al cero mayor o igual a b. - Si a < 0 entonces |a|= -a y por hipótesis -a ≤ b y como -a ≥ 0 y -b ≤ 0, se tiene que -b ≤ a ≤ -a ≤
b
Se cumple: Sí -> - b ≤ a ≤ b
8 . |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdad triangular). (←)
(→) - Si a ≥ 0 entonces |a| = a. Por hipótesis |a| ≤ b.
En virtud de (ejr.6), demostrar (ejr.7) es equivalente a demostrar: - Si a ˂ 0 entonces |a| = -a. Por hipótesis -a ≤ b y por tanto |a| ≤ b.
-(|a|+|b|) ≤ a+b ≤ |a| + |b|, que es lo que se va hacer a continuación: -b 0 b
Distancia al cero menor o igual a b.
Por (ejr.3)
-|a| ≤ a ≤ |a|
-|b| ≤ b ≤ |b|
Sumando miembro a miembro ambas desigualdades se obtiene (ejr.8).
- Si a y b son positivos.
- Si a y b son negativos.
|a+b|= distancia al cero de a + b = -a - b.
- Si a y b tienen distintos signos
a > 0, b < 0
|a + b| < |a| + |b|.
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