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Teoria y Calculos de Derivadas parciales
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Definiciones, tipos, calculos y formulas de derivadas parciales, ejemplos de derivadas parciales
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jackvic1006
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República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Arquitectura
Matemática
, Introducción
Desde la más remota antigüedad el concepto de matemáticas se identificó con el
de ciencia de los números y de las figuras. Ninguna otra disciplina posee como las
matemáticas el factor de abstracción en un grado tan profundo y preciso; esta
característica ha permitido el desarrollo de las matemáticas en dos planos
diferenciados; uno como ciencia en si misma y otro como ciencia auxiliar
fundamental de otras disciplinas como la Física, Química, Biología y otras tantas.
Es por ello que como Ciencia en si misma las matemáticas son un excepcional
ejercicio para el desarrollo de la mente y de la capacidad intelectual.
En este sentido, una de las aplicaciones importante de las matemáticas es el uso
de derivadas, ya que representa un papel fundamental en las Matemáticas debido
a su gran cantidad de aplicaciones en la ciencia, la tecnología o la economía, tales
como Cálculo de la velocidad y la aceleración instantánea de cualquier objeto en
movimiento, asi como para la optimización de funciones, cálculo de máximos y
mínimos. De igual forma en procesos productivos es fundamental conocer las
condiciones en qué podemos obtener los mayores beneficios; y finalmente para
construir carreteras de modo que las curvas se puedan tomar de la forma más
natural posible.
Como muchos de los conceptos matemáticos que estudiamos, el concepto de
derivada es fruto de varios siglos de evolución. Cabe mencionar que los problemas
típicos que dieron origen al "Cálculo infinitesimal" comenzaron a plantearse en la
época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos
sistemáticos de resolución hasta 2000 años después. Sin embargo en cuanto a las
derivadas son tres problemas los que la dieron origen: El cálculo de máximos y
mínimos de una función, El cálculo de la tangente a una curva en un punto, y el
cálculo del área encerrada bajo una curva.
En este contexto, la derivación constituye una de las operaciones de mayor
importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos
indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor
determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una
,función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha
función y para el valor concreto de la variable.
Por su parte, un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función
es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto
representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la
inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor
de la función en las proximidades del punto. Además de saber calcular la derivada
de una función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente
la función derivada de cualquier función. La derivada nos informará de con qué
celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado.
, Derivadas Parciales
Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función de varias
variables respecto a una de sus variables independientes se utiliza el proceso de
derivación parcial. En cálculo una derivada parcial de una función de diversas
variables es su derivada respecto a una de esas variables con las otras
manteniéndolas constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial
y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa como
𝜕𝑓
o 𝜕𝑥 𝑓 o fx (donde 𝜕 es una 'd' redondeada conocida como el símbolo de la
𝜕𝑥
derivada parcial)
Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir: A =
f(x,y,z,...) Al realizar esta derivada obtenemos la pendiente de dicha función A
paralela al eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada.
Ejemplo:
Considera el volumen V de un cono; Éste depende de la altura h del cono y su
radio r de acuerdo con la fórmula:
𝑟 2 ℎ𝜋
𝑉=
3
La derivada parcial de V respecto a r es:
𝜕𝑉 2𝑟ℎ𝜋
=
𝜕𝑟 3
De esta forma describe la velocidad de cambio con que el volumen de un cono
cambia si su radio varía y su altura se mantiene constante. La derivada parcial
respecto a h es:
𝜕𝑉 𝑟 2 𝜋
=
𝜕ℎ 3
Lo que representa la velocidad de cambio con que el volumen cambia si su altura
varía y su radio se mantiene constante.
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