Summary
Analyse II - Hfst 15 samenvatting
- Course
- Institution
Hfst 15: functies van meerdere variabelen gegeven door prof dr ir Jan Baetens Deze samenvatting beslaat de cursus waaraan extra inzichten en bevindingen zijn toegevoegd
[Show more]
Seller
Follow
BioIngenieur
Reviews received
Content preview
Hoofdstuk 15Functies van meerdere variabelen
Inleidende begrippen
Functie van 2 variabelen: nu heb je 2 inputs (x en y) en 1 output (z) dus gaan nu in de hoogte
𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = oppervlak in de ruimte
Met D het domein van f en het bereik van f is de verzameling van alle mogelijke outputs (welke z’s bereikt
worden), domein = alle inputs, bereik = alle outputs (z)
Niveaukromme van f(x,y)
= de krommen gegeven door f(x,y) = constante
= krommen waarop de hoogte (z) constant blijft, dus f(x1, x2, …., xn) = constante
Hier zijn het krommes, bij 3 variabelen krijg je niveau-oppervlakten
Limieten en continuïteit
Een functie f is continu in een inwendig punt c van haar domein als
▪ De limiet bestaat (niet oneindig en LL = RL)
▪ De limiet = de functiewaarde in dat punt
Open bal B in IRn met middelpunt x0 en straal r
= je pakt een punt en alles in een cirkel errond is de open bal
▪ P is een randpunt als de bal punten van S als punten buiten S bevat (P1)
▪ P is een inwendig punt als een open bal bestaat rond P met enkel punten uit S (P2)
▪ P is een ophopingspunt als er in de omgeving nog een punt ligt dat tot S behoort (rand + inwendige)
Verzameling S
▪ Is open
▪ Is gesloten
▪ Is begrensd als er een M > 0 bestaat zodat een open bal met de oorsprong als middelpunt en straal M,
S bevat, dus S helemaal insluit, dan is de verzameling begrensd. Je kiest dus een open bal rond de
oorsprong met een willekeurig grote straal zodat heel de verzameling erin past, indien dit niet kan is de
verzameling onbegrensd (naar oneindig)
Limiet
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳
𝒙→𝒙𝟎
Limiet L: als je een gebied rond L pakt met 𝜀 zal er in het xy-vlak
een open bal zijn zodat bij elke uitwijking (punt in de bal) je nog binnen
L – 𝜀 , L + 𝜀 zit → dit moet gelden zodat de limiet bestaat
Als voor iedere 𝜀 > 0 er een 𝛿 > 0 bestaat zodat voor alle x in S met x ≠ x0
geldt dat als x in de open bal ligt met middelpunt x0 en straal 𝛿, dan is
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
, Bestaat de limiet van (x,y) → (x0,y0)?
▪ Bereken de limiet vanuit verschillende richtingen bv y = x of
y = x², y = 0, … en vervang dit in het functievoorschrift en bereken de
limiet, de limieten zouden gelijk moeten zijn om te bestaan
▪ Afvragen: bestaat er een open bal als je een random punt neemt
Continuïteit
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 )
𝑥→𝑥0
De limiet = de functiewaarde in x0, dan is de functie continu in x0
Is de functie f(x,y) continu in (x0,y0)?
▪ lim 𝑓(𝑥, 𝑦) Berekenen adhv l’hopital of andere technieken zoals verschillende paden benaderen
𝑥,𝑦→𝑥0 ,𝑦0
bv x = y of y = x², x = 0 en zo bekom je dus een functie van 1 variabele en kan je de limieten vergelijken of
speciale limieten zoals sin(x)/x
▪ Kijken of de limietwaarde = de functiewaarde om continu te zijn
Partieel afgeleiden
Een functie van 2 variabelen f(x,y) kan je naar x en naar y afleiden
▪ fx(x,y) → enkel de x als variabele beschouwen, de y is een constante (1ste afgeleide van f(x,y) naar x)
= de helling van de raaklijn van de snijlijn van de kromme met het vlak (y = y0) // met de x-as (variabele)
▪ fy(x,y) → nu is x een constante (1ste afgeleide van f(x,y) naar y)
= de helling van de raaklijn van de snijlijn van de kromme met het vlak (x = x0) // met de y-as (variabele)
Notaties voor partiële afgeleiden:
Eerste orde afgeleide kan je uitbreiden naar tweede orde afgeleiden
Hetgeen dat laatst staat dus eerst naar afleiden
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller BioIngenieur. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.21. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
72042 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now