Hfst 19: Diagonalisering gegeven door prof Willem Waegeman Deze samenvatting beslaat de cursus waaraan extra inzichten en bevindingen zijn toegevoegd + !!stappenplannen voor verschillende soorten oefeningen uit te werken!!
Diagonalisering
Een vierkante matrix A is diagonaliseerbaar als er een diagonaalmatrix D en een inverteerbare matrix P
bestaat zodat A = PDP-1 een lineair onafhankelijke verzameling bestaat die n eigenvectoren van A bevat
▪ Diagonaalmatrix D bestaat uit de eigenwaarden van A op de hoofddiagonaal, de rest is 0
▪ Inverse matrix P bestaat uit de lineaire onafhankelijke eigenvectoren van A
=> de eigenvectoren zijn onafhankelijk want P is inverteerbaar
Ga na of A diagonaliseerbaar is:
▪ Bereken de eigenwaarden
▪ Bereken de eigenvectoren (eigenruimte berekenen)
▪ Stel P en D op !!!let op: de eigenvector in kolom 1 van P komt overeen met het eerste element op de
diagonaal van D enzo verder, eigenwaarden moeten hier niet van groot naar klein
▪ A = PDP-1 → AP = PD als P inverteerbaar is heb je A = PDP-1 AP = PD
▪ Of korter, heb je allemaal verschillende eigenwaarden? Is 𝛼 = 𝛾 voor alle eigenwaarden
Als je twee dezelfde eigenwaarden hebt zal je niet n eigenvectoren hebben bij n verschillende eigenwaarden
Zal niet diagonaliseerbaar zijn want je zal geen lineair onafhankelijke verzameling eigenvectoren
hebben, dus P zal ook niet inverteerbaar zijn
Is niet hetzelfde als twee eigenvectoren binnen eigenruimte van een eigenwaarde hebben
Machten van matrices
Indien A diagonaliseerbaar is: Ak = PDkP-1
Aangezien D een diagonaalmatrix is (enkele elementen op de diagonaal) mag je elk element afzonderlijk tot die
macht doen op de hoofddiagonaal
Discrete dynamische systemen
Het beschrijft een verandering in een biologisch, fysisch of chemisch proces doorheen discrete tijdstappen
𝑥⃗ 0 = starttoestand van de variabelen en met A = overgangsmatrix
𝑥⃗ 1 = A𝑥⃗ 0
𝑥⃗ 2 = A𝑥⃗ 1 = A²𝑥⃗ 0
⃗⃗k = Ak𝒙
𝒙 ⃗⃗0
Indien A ook diagonaliseerbaar is
Hebt n lineair onafhankelijke eigenvectoren die samen een basis voor IRn vormen 𝒙
⃗⃗k = Ak𝒙
⃗⃗0 = PDkP-1𝒙
⃗⃗0
Elke 𝑥⃗ 0, element van IR kan als een lineaire combo ervan geschreven worden
n
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller BioIngenieur. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.25. You're not tied to anything after your purchase.
