Summary
Samenvatting WISKUNDE voor bedrijfskundigen II bewijzen
- Course
- Institution
Uitgetypt document van alle te kennen bewijzen van Wiskunde 2 (Academiejaar ). Gegeven door prof. Philippe Carette.
[Show more]
4 reviews
By: manudewinter • 1 year ago
By: hwugent2debach • 3 year ago
By: caroplatteeuw • 3 year ago
By: elinever • 5 year ago
Seller
Follow
nicolasdewulf
Reviews received
Content preview
.Wiskunde voor bedrijfskundigen II
Bewijzen
Handelswetenschappen
Academiejaar 2018-2019
,Bewijzen
1. Logistische groei ................................................................................................................................................. 1
𝑎 𝑏 𝑐
2. |0 𝑑 𝑒 | = 𝑎𝑑𝑓 ................................................................................................................................................ 2
0 0 𝑓
𝑎 0 0
3. |𝑏 𝑐 0| = 𝑎𝑐𝑓 ................................................................................................................................................. 2
𝑑 𝑒 𝑓
𝑎 𝑏 𝑎 𝑐
4. | |=| | .................................................................................................................................................. 2
𝑐 𝑑 𝑏 𝑑
𝑎 𝑏 𝑏 𝑎
5. | | = −| | .............................................................................................................................................. 3
𝑐 𝑑 𝑑 𝑐
𝑎 𝑏 𝜆𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
6. |𝑑 𝑒 𝜆𝑓| = 𝜆 |𝑑 𝑒 𝑓 | ............................................................................................................................. 3
𝑒 ℎ 𝜆𝑖 𝑔 ℎ 𝑖
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
7. | |=| | ............................................................................................................................. 4
𝑐 + 𝜆𝑎 𝑑 + 𝜆𝑏 𝑐 𝑑
8. Stelling. 𝐴 heeft een inverse ⟹ 𝐴 regulier ( d.w.z. det(𝐴) ≠ 0) .................................................. 4
9. Stelling. Als 𝐵 en 𝐵′ inverse matrices zijn van 𝐴, dan 𝐵 = 𝐵′. ...................................................... 5
1
10. Als 𝐴 regulier is, dan is de matrix 𝐴−1 = det(𝐴) adj 𝐴 De enige inverse matrix van 𝐴............ 5
11. (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1 ............................................................................................................................................... 6
1
12. (𝑟𝐴)−1 = 𝐴−1 ..................................................................................................................................................... 7
𝑟
13. (𝐴𝑇 )−1 = (𝐴−1 )𝑇 ................................................................................................................................................. 7
14. Karakteristieke vergelijking det(𝐴 − 𝜆𝐸𝑚 ) = 0. ................................................................................... 8
15. 𝐴𝑢 = 𝜆𝑢. ................................................................................................................................................................. 9
16. 𝐴𝑡 𝑣 = 𝑐1 𝜆1𝑡 𝑣1 + 𝑐2 𝜆𝑡2 𝑣2 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝜆𝑡𝑝 𝑝 ................................................................................................ 10
d𝑓 (𝑥 ∗ ,𝑦 ∗ )
17. d𝑐
= 𝜆∗ ...................................................................................................................................................... 11
, Logistische groei
Bewijs
Punt van snelste aangroei
Uit D.V.
1 d𝑦 𝑦
= 𝑎 (1 − )
𝑦 d𝑡 𝑁
Volgt Buigpunt? Via tweede afgeleide → 𝑦 ′′ =? Stel = 0
d𝑦 𝑦 𝑌
= 𝑎 𝑦 (1 − ) 1. 𝑦 ′ = 𝑎 𝑦 (1 − ) 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑟𝑒𝑔𝑒𝑙
d𝑡 𝑁 𝑁
′
𝑌 ↑ 𝑌 1
2. 𝑦 ′′ = [𝑎 𝑦 (1 − )] ⇒ 𝑎 [𝑦 ′ (1 − ) + 𝑦 (− ) 𝑦′]
En dus ook (via de productregel) 𝑁 𝑁 𝑁
𝑌 𝑌
= 𝑎 𝑦 ′ [(1 − ) − ]
𝑁 𝑁
d2 𝑦 d𝑦 2𝑦 2𝑌
2
=𝑎 (1 − ) ′
= 𝑎 𝑦 (1 − )
d𝑡 d𝑡 𝑁 𝑁
↓ ↓ ↓
1. 2. 3.
Wanneer is het buigpunt nu nul?
1. 𝑎 kan niet 0 zijn. Het is een evenredigheidsconstante
2. 𝑑𝑦/𝑑𝑡 is een functie en de afgeleide kan nooit 0 zijn want de functie stijgt altijd (zie grafiek)
3. Blijft over, dus
2𝑌 𝑁
1− =0 ⟺ 𝑦=
𝑁 2
Nuttige eigenschappen
1. Zijn alle elementen onder (boven) de hoofddiagonaal gelijk aan nul, dan is de determinant
gelijk aan het product van de elementen op de hoofddiagonaal.
2. Een determinant verandert niet als men het onderliggend getallenschema transponeert
(d.w.z. eerste rij wordt eerste kolom, tweede rij wordt tweede kolom enz.)
3. Als men 2 rijen (kolommen) onderling van plaats verwisselt, wijzigt de determinant van
teken.
Gevolg: Een determinant met twee identieke rijen (kolommen) is steeds gelijk aan nul.
4. Als men elk element van één rij (kolom) vermenigvuldigt met eenzelfde getal 𝜆, dan wordt
de volledige determinant met dit getal 𝜆 vermenigvuldigd.
5. Als men bij een rij (kolom) een veelvoud van een andere rij (kolom) optelt, dan verandert de
determinant niet.
1
, Eigenschap 1
Zijn alle elementen onder (boven) de hoofddiagonaal gelijk aan nul, dan is de determinant gelijk
aan het product van de elementen op de hoofddiagonaal.
Voorbeelden
𝑎 𝑏 𝑐
Bewijs
|0 𝑑 𝑒 | = 𝑎𝑑𝑓
0 0 𝑓
Bewijs: ⟶ ontwikkel rij 3
𝑎 𝑏 𝑐
|0 𝑑 𝑒 | = 0 ∙ 𝐴31 + 0 ∙ 𝐴32 + 𝑓 ∙ 𝐴33 ⟶ |𝑎 𝑏
| = 𝑎𝑑 − 0𝑏 = 𝑎𝑑 ⟶ 𝑓 ∙ 𝑎𝑑 = 𝑎𝑑𝑓
0 0 𝑓 0 𝑑
𝑎 0 0
|𝑏 𝑐 0| = 𝑎𝑐𝑓
Bewijs
𝑑 𝑒 𝑓
Bewijs: ⟶ ontwikkel kolom 3
𝑎 0 0
|𝑏 𝑐 0| = 0 ∙ 𝐴13 + 0 ∙ 𝐴23 + 𝑓 ∙ 𝐴33 ⟶ |𝑎 0
| = 𝑎𝑐 − 0𝑏 = 𝑎𝑐 ⟶ 𝑓 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑐𝑓
𝑑 𝑒 𝑓 𝑏 𝑐
Deze eigenschap zegt specifiek dat dit enkel werkt met de hoofddiagonaal. (van linksboven naar
rechtsonder). Wat indien met de nevendiagonaal? (van rechtsboven naar linksonder).
0 0 3 ≠
Vb: |0 2 5| ≠ 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6
1 −2 6
0 3
Kolom 1: = 0 ∙ 𝐴11 + 0 ∙ 𝐴21 + 1 ∙ 𝐴31 = 1 ∙ 𝐴31 = 1 ∙ | | = −6
2 5
Eigenschap 2
Een determinant verandert niet als men het onderliggend getallenschema transponeert (d.w.z.
eerste rij wordt eerste kolom, tweede rij wordt tweede kolom enz.)
Transponeren = je wisselt rijen met kolommen en kolommen met rijen.
Voorbeeld
𝑎 𝑏 𝑎 𝑐
| |=| |
𝑐 𝑑 𝑏 𝑑
Bewijs Bewijs:
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 𝑎𝑑 − 𝑐𝑏
Bij andere ordes geldt dit ook, maar enkel van deze orde moet je het bewijs kennen.
2
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller nicolasdewulf. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.20. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
52355 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now