Heldere uitgetypte samenvatting van alle hoorcolleges gegeven door prof. Philippe Carette in het academiejaar , inclusief alle bewijzen. In deze samenvatting komt de theorie van Wiskunde 2 aan bod.
In het oorspronkelijk document zaten er fouten. Deze zijn gecorrigeerd en het document is geüpdatet.
Bepaalde integraal
Definitie
Interpretatie: oppervlakte
Belangrijkste eigenschappen
Economische toepassing: consumenten- en producentensurplus
Oneigenlijke integralen
Definities
Voorbeelden
Convergentie en divergentie
Bepaalde integraal
Bij een bepaalde integraal ga je de
oppervlakte berekenen van gebieden die
begrensd zijn door rechten /functies /
curves / grafieken…
Definitie 𝑎 = ondergrens / 𝑏 = bovengrens
Zij 𝑓 continu op [ 𝑎, 𝑏 ], dan
𝑏 𝑏 = altijd een getal als uitkomst → geen 𝑥-waarde
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = [ 𝐹(𝑥) ] = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) → geen functie
𝑎 𝑎
Waarbij 𝐹 een primitieve functie is van 𝑓 op ] 𝑎, 𝑏 [.
𝑎𝑙𝑠
𝐹 is een primitieve van 𝑓 ⇔ 𝐹 ′ = 𝑓
1
, Voorbeeld
1 1
∫ (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = [ 𝑥 2 + 𝑥 ] = (12 + 1) − (02 + 0) = 2 (bij moeilijke functies kan men dus gebruik
0 0 maken van P.I. of substitutiemethode.
𝑓 𝐹 𝐹(1) 𝐹(0)
Opmerking
Men mag de integratieconstante weglaten bij het vinden van 𝐹(𝑥).
[𝑥 2 + 𝑥 + 𝐶]10 = 𝐹(1) − 𝐹(0) = (12 + 1 + 𝐶) − (02 + 0 + 𝐶) +𝐶 − (+𝐶) = 0
⟶ 𝐶 valt weg
⟶ indien je ze wel schrijft, geen probleem. Hiervoor zullen geen
punten voor worden afgetrokken.
Oppervlakte als 𝑓 positief op [ 𝑎, 𝑏 ]
𝑏
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
Oefening
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van 𝑦 = 2𝑥 + 1, de 𝑋-as, de
𝑌-as en de rechte 𝑥 = 1.
1+3
1. oppervlakte = ( )∙1=2
2
1
2. de bepaalde integraal: oppervlakte = ∫ (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥
0
1
= [ 𝑥 2 + 𝑥 ]0
= (12 + 1) − (02 + 0)
=2−0=2
𝑏1 + 𝑏2
De oppervlakte (een trapezium) heeft als formule ∙ℎ
2
OF
De oppervlakte van een rechthoek + driehoek
2
, Opgelet!
Opmerking: wanneer een functie over een (gedeeltelijk) negatief oppervlakte beschikt, zoals
hieronder, moet je de positieve oppervlakte splitsen met de negatieve oppervlakte. Bij het negatief
oppervlak moet je als volgt een minteken ervoor plaatsen. Achteraf sommeren we de twee
oppervlaktes om de totale oppervlakte te weten.
… …
Het basisidee is: oppervlakte tussen twee grafieken: [∫ boven 𝑓 − ∫ onder 𝑓 ]
… …
𝑨𝟏
= −
𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐
𝑐 𝑐
𝐴1 = ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎 𝑎
𝑨𝟐
= −
𝑐 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 𝑏
𝑏 𝑏
𝐴2 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑐 𝑐
4
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller nicolasdewulf. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $9.16. You're not tied to anything after your purchase.
