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Analysis Zusammenfassung
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Das ist eine Zusammenfassung über Analysis. Alle relevanten Themen für die mündliche Prüfung des Basisfachs Mathe sind enthalten.
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deryaisbilen
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11/111/2 analyses
-
Z
X X X3
a Y a Y a Y
> X > X > X
3 5
X X X
a Y a Y a Y
> > X > X
X
1
* X
2
eX
a Y a Y a Y
* Pz(1(e)
* P, 1011)
> X > X > X
POTENZREGELN BINOMISCHE FORMELN MITTERNACHTSFORMEL
=
1avas =
av
+ s
1(a b)+ a + 2ab + b
=
2(a b| a 2ab b b -b hal
2avas av
S - -
-
=
- = -
+
2a
3(ar)" =
avs 3(a b) (a b)
+ . - =
at - b
,71117IIl
Symmetrie achsensymmetrisch punktsymmetrisch unsymmetrisch
Exponenten gerade ungerade gerade + ungerade
Beispiel 2x + x4 X3 + X 4x" + 2x3 + X
N N N
Graph
& & &
zur zum1
y-Achse Ursprung
Beweis f x fx f x f x f x fx fx
(11171171/11/171/
Am Grad und Koeffizienten a kann man das Verhalten für x
H
I
untersuchen:
a a
1
Grad gerade; a H G 2
Grad gerade; a n G
f(x) =
7 x 3x3
-
3
f(x) =
=
7x6 -
3x3 3
Für x I
gilt f x ↓ f
Für x I
gilt f x -
f
.
3
Grad ungerade; a H G a ↳
Grad ungerade; a H G a
f(x) = 7x5 3x3 -
f(x) =
7x5 3x3 -
3 3
Für x ↓ f
gilt f x ↓ f Für x ↓ f
gilt f x -
Für x -
of
gilt f x of
-
Für x -
of
gilt f x ↓ f
1111/////// /(11))I/IIII
Streckung mit Faktor a in y Richtung
9(x) =
a .
f(x -
b) +
c Verschiebung um b in x Richtung ! -
ist +!
Verschiebung um c in y Richtung
·
, 111/17/1)11 : 7/1)II7I
↳
TERME UMSCHREIBEN
BEDEUTUNG EINER ABLEITUNG
Die Ableitung der Funktion f an der Stelle a entspricht: X *
der Steigung der Tangente -Ex -
2x
1
der Steigung der Funktion f
in Anwendungsaufgaben der momentanen Änderungsrate
DEFINITION EINER TANGENTE
Die Tangente ist eine Gerade, die den Punkt P a f a enthält + die Steigung f a hat. (
ALLGEMEINE TANGENTENGLEICHUNG
t: y f a x a f a Plalf(al)
BEISPIEL
Gegeben ist f(die Funktion f 1137
1
mit f x
-1) 2 1 (1)
2x 4x -
2
. Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P 1 11( 1))
-
f =
:
a = : = . . =
- -
f(a) =
6x27 :
+(1) =
6 .
1112 -
7 =
2
+: y =
2 .
(X =
1 1))
-
+ 2
y
=
2x + 2 + 2
t: y =
2x + 4
~ f
Y
Dargestellt ist die Funktion f. Bestimme
-
-- v
f n p
-
1p f
↓
p p f f g * >
X
-
1 2 3
= I
-
2, 4 -
f'(c) 7 f (6 5)
4
ME
-
=
1
24
= =
=
1
, ,
- 1 1
-1 1
f'(z) =
-
f = =
1 f (1) =
G
-
-
2 -
f (3) =
[ =
4 f'(z 5)
.
= = =
1
-
7
-
3 -
1
11(((7/1) (11) III
Potenzregel für f x x gilt f x rx v v -
1
f(x) = 4x3 ; +'(x) =
12x
Faktorregel für f x c g x gilt f x c g x f(x) =
1 ·
sin(x) + cos(x) ; f(x) =
4 .
cos(x) -
Sin(x)
Summenregel für f x g x h x gilt f x g x h x f(x) =
5x = 2x 2it'(x) -
=
20x3 + 3x
f(x) 0 ( v(x) 8 4x b u(x) X
Kettenregel für f x u mx c gilt f x m u mx c =
Ex -E
- :
2xi
= .
,
m =
,
=
2'sox
2
v'(x) = =
f(x) = -
4 . =
-
sox
f(x) y
= :
v(x) =
4x 7 -
, m = 4 ,
u(x) =
3 =
3x
-
1
-
v'(x) 3 1 1)x
2
f'(x) m
=
-
= -
= =
x ; 72
.
-
Produktregel für f x u x v x gilt f x u x v x u x v x f(x) =
x
3 .
(0s(x) +'(x) =
3x = (s(x) =
x3sin(x)
f(x) =
5x .
(1 -
x)4 :
v =
5x ,
v'(x) =
5, v(x) =
(1 x)7
-
v'(x) =
1 .
7 ·
(1 -
x)3 ; f'(x) =
5 .
(1 -
x) 5x 1 + .
-
4(1 -
x(3)
, 11(((711) III. )
1
X Sin(x) Cos(X)
f(x) sin(x) fl > sin(x) fl
1
=
X A
G & 1
#
G
-
f(x) (s(X)
2 1
cos(x) Cos(x)
=
↑ # * * >
-
#
#
f -
1
# 3 2π -
3
2 2
2 -
1 &
-1 -
X A
2 fl -
sin(x) fl
f 1
BEISPIEL
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P.
f(x) =
3 .
(0s(X) , PIEIfl)
a = :
f(z) =
3 :
cos() =
0
f (a) = -
3 sin(x) :
f'(l = -
3 .
sint -
z
: y = -
3 .
(x -
E)
y
=
-
3x +
3π
111/7/IIl 1111111111111/171
BIDEUTUNG
Steigungsverhalten einer Funktion
1 f(x) 0 im Intervall =I [a b] :
streng monoton wachsend 1f "(x)0
: f streng monoton wachsend; Linkskurve
2 f(x) 0 im Intervall =I [a b] : streng monoton fallend 2f"(x) 0 : f streng monoton fallend; Rechtskurve
vorgehen vorgehen
1 f(x) ableiten
. 1. f(x) ableiten
.
2 f(x) =
0 setzen .
2 f(x) ableiten
. Intervalle bestimmen
3 3
. f"(x) =
0 setzen
. Testwert inf(x)
2 2
. Intervalle bestimmen
.
5 Testwert inf" (x)
BEISPIEL BEISPIEL
Bestimme für die Funktion f x 3x3 alle Intervalle, in denen f -
6x + 2
Untersuche das Krümmungsverhalten der Funktion f x (2x 3) = 12x ?
-
streng monoton wachsend bzw. fallend ist.
f(x) =
x" 6 -
f(x) =
G(2x 3)" 24x -
=
& (x) 24(2n 3)
"
f(x) =
0: x2 6 - =
f 1 + 6 = -
=
2) =
48x -
96
x2 =
6 Im
X1
= =2 45 f" (x) =
0 :
78x -
96 =
0 1 + 96
, 2 ,
48x =
961 48 :
#1 -
0 % -
2 451 ,
:
fl 3) . =
3 >
8 =
S M W
. . .
X =
2
#1-2 45 ; ,
2 ,
451 :
+(0) = <8. =
S M . .
F .
Is (2 .
45; 0) ·
f (3) =
3 >
8 = -
S M W
. . ·
In =
1 -0 ; 2) :
+" (0) =
-
96 =>
RK .
I =
(2 : 0) :
+" (3) =
48 = -
Lk .
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