BIOMECHANICA H2
1D
Voor een puntlichaam in 1D is 1 coördinaat genoeg om de positie vast te leggen: 1 DOF
Je spreekt van 1D als de straal L constant is en de hoek ø de positie bepaalt.
ø is altijd gegeven t.o.v. de x-as
Je kunt over verschillende variabelen spreken: Instantane waarde, gemiddelde waarde,
verandering (∆) en grootte.
De instantane snelheid is de snelheid op één bepaald moment.
Beweging is relatief (je hebt een ‘nulpunt’ nodig!)
● Plaats: ten opzichte van oorsprong van as(sen)stelsel
● Tijd: ten opzichte van arbitrair gekozen t =0
‘plaats’ coördinaat: r
verplaatsing ∆r = verandering van plaats tussen twee tijdstippen
Een plaatscoördinaat kan negatief en positief zijn, de afgelegde weg is altijd positief.
Laat de werking van de formule van vgem in een grafiek zien
De gemiddelde snelheid is niet vbegin + veind/2 (alleen bij een rechte lijn). Je bepaalt dus voor de
gemiddelde snelheid nooit de snelheid op één bepaald moment, maar kijkt altijd naar de netto verplaatsing
tussen tijdstip t1 en t2.
∆𝑟 grafisch: oppervlakte onder de v(t) grafiek (oppervlakte onder de x-as is negatief)
∆𝑠 grafisch: oppervlakte onder v(t) grafiek (alles is positief)
∆𝑟 wiskundig: integraal van (instantane) v(t) (je kunt dan ook de integraal van v(t) = 3 nemen)
Snelheidsgrootte |v| is de absolute waarde van v
|v|gem is de gemiddelde snelheidsgrootte = delta s / delta r
Let op: |v|gem is iets anders dan |vgem|.
Links staat de grafiek van v en rechts de grafiek van de snelheidsgrootte. Zie het verband hiertussen.
,Stappenplan voor kinematica:
1. Maak een tekening inclusief assenstelsel
2. Geef naam van coördinaat/coördinaten duidelijk aan
3. Kies duidelijk wat t = t1 en t = t2 etc voorstellen
4. Schrijf op: wat is bekend, wat is onbekend
5. Bedenk welke formule uit de theorie bruikbaar is
6. Schrijf deze formule(s) op in algemene vorm
7. Vul gegevens in
8. Los op
9. Ga na of het antwoord een redelijke waarde heeft.
Om vgem te bepalen kun je binnen een tijdsinterval de v(t) opdelen in 2 stukken. Bijvoorbeeld van t= 0 t/m 4
met v=3 en t = 4 t/m 7 met v = 5. Je hebt dan twee integralen voor delta r (dus in dit geval 3t en 5t) of twee
stukjes oppervlaktes. Zie hieronder het voorbeeld.
v = 0 betekent niet a = 0
Op hoogste punt v,t-diagram is a = 0.
Op hoogste punt r,t-diagram is v = 0 maar a ≠ 0. a zorgt ervoor dat in dat punt, v verandert van positief naar
negatief, bovendien is er dan nog steeds een versnelling van -9,81. Zie de grafieken hieronder.
2D
● Op rx en ry apart kun je alle berekeningen uitvoeren zoals in 1D.
● Baan: grafiek van rx tegen ry. Bevat geen informatie over de tijd.
● Wiskundige beschrijving van de baan: “baanversnelling” 𝑓(𝑟𝑥, 𝑟𝑦) = 0
Voorbeeld formule voor de baanversnelling: Je
bent opzoek naar een functie die gelijk is aan
0 (zie hierboven). Dus in dit geval moet je de
100 naar de andere kant halen. Ander
voorbeeld: stel je weet 2x + 4y = -2 dan is de
baanvergelijking 2x + 4y -2 = 0.
Voor 2D en 3D heb je vectoren nodig.
Conventie is het pijltje boven de variabele dat duidt op een vector.
Zie ook de r met het puntje erboven.
Een eenheidsvector is een vector met de lengte 1. Je vindt deze door de vector te delen door zijn eigen lengte.
,Verder geldt:
Verplaatsingsvector: verandering van de plaatsvector:
Grootte van de verplaatsingsvector (=lengte): (eerst vector delta r bepalen en dan pas de lengte met
pythagoras van deze vector)
Afgelegde weg is nooit kleiner dan de grootte van de verplaatsingsvector (logisch): s ≥
Gemiddelde snelheidsvector is:
De instantane snelheidsvector is: of de raaklijn aan de baan
Bij een oneindig korte dt staat de verplaatsingsvector langs de baan, dus de (instantane) snelheidsvector
staat altijd langs de baan!
Voorbeelden:
Zoals eerder genoemd is altijd
t.o.v de x-as en je kunt aflezen
hoeveel naar links op de x-as en
naar boven op de x-as.
Eenheidscirkel
𝑦 𝑠𝑖𝑛(ϕ)
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(ϕ) en 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(ϕ) → 𝑡𝑎𝑛(ϕ) = 𝑥
= 𝑐𝑜𝑠(ϕ)
−1 𝑦 −1 𝑦
Doordat 𝑡𝑎𝑛(ϕ) = 𝑡𝑎𝑛(ϕ + π) geldt ϕ = 𝑡𝑎𝑛 ( 𝑥 ) of ϕ = 𝑡𝑎𝑛 ( 𝑥 ) + π
Hier weer ϕ is hoek t.o.v. de x-as.
Het (eindpunt van een) vector (dus het pijltje van vector v zoals hierboven
geschetst) kun je bepalen aan de hand van alleen de hoek. Zie de formules
hierboven voor x en y. Andersom kan ook: aan de hand van de x en y de hoek ϕ
bepalen. Dus stel je hebt vector v en deze is weergegeven als bijv [2 3] dan weet je
de x en y.
, Poolcoördinaten
Poolcoördinaten geven de richting en grootte van een vector aan.
In de formules voor rx en ry geeft r (straal) de grootte aan en sin/cos fi de richting.
Hier ga je van rechthoekige coördinaten naar poolcoördinaten
Aan de hand van de rx de vx (instantaan is dat) bepalen. Dit kan je doen door ‘drx/dt’ (optie 1) of met de
‘totale differentiaal’ (optie 2)
optie 1 met r(t)=1 en fi(t)=3t
optie 2 versie 1 - Snelheid bepalen
algemeen
die x dx/dt in de laatste stap laat eigenlijk zien dat je de kettingregel toepast omdat je weet dat x ook nog afhankelijk is van
een functie van t (zie hieronder hoe dat precies te werk gaat). Bij optie 1 doe je dit allemaal zelf, hier doe je kettingregel dus
automatisch toepassen, je hoeft niet na te denken.
toegepast
1D
Voor een puntlichaam in 1D is 1 coördinaat genoeg om de positie vast te leggen: 1 DOF
Je spreekt van 1D als de straal L constant is en de hoek ø de positie bepaalt.
ø is altijd gegeven t.o.v. de x-as
Je kunt over verschillende variabelen spreken: Instantane waarde, gemiddelde waarde,
verandering (∆) en grootte.
De instantane snelheid is de snelheid op één bepaald moment.
Beweging is relatief (je hebt een ‘nulpunt’ nodig!)
● Plaats: ten opzichte van oorsprong van as(sen)stelsel
● Tijd: ten opzichte van arbitrair gekozen t =0
‘plaats’ coördinaat: r
verplaatsing ∆r = verandering van plaats tussen twee tijdstippen
Een plaatscoördinaat kan negatief en positief zijn, de afgelegde weg is altijd positief.
Laat de werking van de formule van vgem in een grafiek zien
De gemiddelde snelheid is niet vbegin + veind/2 (alleen bij een rechte lijn). Je bepaalt dus voor de
gemiddelde snelheid nooit de snelheid op één bepaald moment, maar kijkt altijd naar de netto verplaatsing
tussen tijdstip t1 en t2.
∆𝑟 grafisch: oppervlakte onder de v(t) grafiek (oppervlakte onder de x-as is negatief)
∆𝑠 grafisch: oppervlakte onder v(t) grafiek (alles is positief)
∆𝑟 wiskundig: integraal van (instantane) v(t) (je kunt dan ook de integraal van v(t) = 3 nemen)
Snelheidsgrootte |v| is de absolute waarde van v
|v|gem is de gemiddelde snelheidsgrootte = delta s / delta r
Let op: |v|gem is iets anders dan |vgem|.
Links staat de grafiek van v en rechts de grafiek van de snelheidsgrootte. Zie het verband hiertussen.
,Stappenplan voor kinematica:
1. Maak een tekening inclusief assenstelsel
2. Geef naam van coördinaat/coördinaten duidelijk aan
3. Kies duidelijk wat t = t1 en t = t2 etc voorstellen
4. Schrijf op: wat is bekend, wat is onbekend
5. Bedenk welke formule uit de theorie bruikbaar is
6. Schrijf deze formule(s) op in algemene vorm
7. Vul gegevens in
8. Los op
9. Ga na of het antwoord een redelijke waarde heeft.
Om vgem te bepalen kun je binnen een tijdsinterval de v(t) opdelen in 2 stukken. Bijvoorbeeld van t= 0 t/m 4
met v=3 en t = 4 t/m 7 met v = 5. Je hebt dan twee integralen voor delta r (dus in dit geval 3t en 5t) of twee
stukjes oppervlaktes. Zie hieronder het voorbeeld.
v = 0 betekent niet a = 0
Op hoogste punt v,t-diagram is a = 0.
Op hoogste punt r,t-diagram is v = 0 maar a ≠ 0. a zorgt ervoor dat in dat punt, v verandert van positief naar
negatief, bovendien is er dan nog steeds een versnelling van -9,81. Zie de grafieken hieronder.
2D
● Op rx en ry apart kun je alle berekeningen uitvoeren zoals in 1D.
● Baan: grafiek van rx tegen ry. Bevat geen informatie over de tijd.
● Wiskundige beschrijving van de baan: “baanversnelling” 𝑓(𝑟𝑥, 𝑟𝑦) = 0
Voorbeeld formule voor de baanversnelling: Je
bent opzoek naar een functie die gelijk is aan
0 (zie hierboven). Dus in dit geval moet je de
100 naar de andere kant halen. Ander
voorbeeld: stel je weet 2x + 4y = -2 dan is de
baanvergelijking 2x + 4y -2 = 0.
Voor 2D en 3D heb je vectoren nodig.
Conventie is het pijltje boven de variabele dat duidt op een vector.
Zie ook de r met het puntje erboven.
Een eenheidsvector is een vector met de lengte 1. Je vindt deze door de vector te delen door zijn eigen lengte.
,Verder geldt:
Verplaatsingsvector: verandering van de plaatsvector:
Grootte van de verplaatsingsvector (=lengte): (eerst vector delta r bepalen en dan pas de lengte met
pythagoras van deze vector)
Afgelegde weg is nooit kleiner dan de grootte van de verplaatsingsvector (logisch): s ≥
Gemiddelde snelheidsvector is:
De instantane snelheidsvector is: of de raaklijn aan de baan
Bij een oneindig korte dt staat de verplaatsingsvector langs de baan, dus de (instantane) snelheidsvector
staat altijd langs de baan!
Voorbeelden:
Zoals eerder genoemd is altijd
t.o.v de x-as en je kunt aflezen
hoeveel naar links op de x-as en
naar boven op de x-as.
Eenheidscirkel
𝑦 𝑠𝑖𝑛(ϕ)
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(ϕ) en 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(ϕ) → 𝑡𝑎𝑛(ϕ) = 𝑥
= 𝑐𝑜𝑠(ϕ)
−1 𝑦 −1 𝑦
Doordat 𝑡𝑎𝑛(ϕ) = 𝑡𝑎𝑛(ϕ + π) geldt ϕ = 𝑡𝑎𝑛 ( 𝑥 ) of ϕ = 𝑡𝑎𝑛 ( 𝑥 ) + π
Hier weer ϕ is hoek t.o.v. de x-as.
Het (eindpunt van een) vector (dus het pijltje van vector v zoals hierboven
geschetst) kun je bepalen aan de hand van alleen de hoek. Zie de formules
hierboven voor x en y. Andersom kan ook: aan de hand van de x en y de hoek ϕ
bepalen. Dus stel je hebt vector v en deze is weergegeven als bijv [2 3] dan weet je
de x en y.
, Poolcoördinaten
Poolcoördinaten geven de richting en grootte van een vector aan.
In de formules voor rx en ry geeft r (straal) de grootte aan en sin/cos fi de richting.
Hier ga je van rechthoekige coördinaten naar poolcoördinaten
Aan de hand van de rx de vx (instantaan is dat) bepalen. Dit kan je doen door ‘drx/dt’ (optie 1) of met de
‘totale differentiaal’ (optie 2)
optie 1 met r(t)=1 en fi(t)=3t
optie 2 versie 1 - Snelheid bepalen
algemeen
die x dx/dt in de laatste stap laat eigenlijk zien dat je de kettingregel toepast omdat je weet dat x ook nog afhankelijk is van
een functie van t (zie hieronder hoe dat precies te werk gaat). Bij optie 1 doe je dit allemaal zelf, hier doe je kettingregel dus
automatisch toepassen, je hoeft niet na te denken.
toegepast
