Summary
Samenvatting Statistiek 2 UGent
- Course
- Institution
Samenvatting Statistiek 2 UGent
[Show more]
Seller
Follow
BrentUGent
Reviews received
Content preview
Samenvatting Statistiek II (A)Statistiek II (A)
H1: Puntschatters
• Een schatter θˆ voor een populatieparameter θ is zuiver als E (θˆ) = θ , zoniet is het een
vertekende schatter. De maat van onzuiverheid = vertekening (bias) = B (θˆ) = E (θˆ) − θ
• Relatieve efficiëntie voor zuivere schatters
Var θˆ1 < 1 ⇒ θˆ1 efficiënter dan θˆ2
Var θˆ2 > 1 ⇒ θˆ2 efficiënter dan θˆ1
• MSE (Mean Squared Error)
2
MSE (θˆ) = E (θˆ − θ )2 = Var θˆ + B (θˆ)
→ relatieve efficiëntie onzuivere schatters
MSE θˆ1 < 1 ⇒ θˆ1 efficiënter dan θˆ2
MSE θˆ2 > 1 ⇒ θˆ2 efficiënter dan θˆ1
• Momentenschatter
Populatiemomenten µk : µk = E X k
1 n k
Steekproefmomenten µ̂k : µˆ k = ∑ X i
n i =1
• Meest aannemelijke schatter
L(θ ) = product van de respectieve kansdichtheden = f ( x1 ;θ ) ⋅ f ( x 2 ;θ ) ⋅⋅⋅ f ( x n ;θ )
→ Meest aannemelijke schatter θˆ = waarde voor θ die L(θ ) maximaliseert
ℓ (θ ) = ln ( L (θ ) )
1/18
,Samenvatting Statistiek II (A)
H2: Betrouwbaarheidsintervallen
1) BI voor populatiegemiddelde
• Normaal verdeeld en variantie gekend
σ σ
Tweezijdig: P X − z1−α 2 µ X + z1−α 2 = 1− α
n n
→ 100(1-α)% BI
σ σ σ
X − z1−α 2 ; X + z1−α 2 met breedte: 2 ⋅ z1−α 2
n n n
X −µ σ
Eenzijdig: P z1−α = P µ X − z1−α = 1− α
σ n n
→ 100(1-α)% BI
σ
X − z1−α ; +∞
n
X −µ σ
Of P − z1−α = P µ X + z1−α = 1− α
σ n n
→ 100(1-α)% BI
σ
−∞; X + z1−α
n
• Normaal verdeeld en variantie ongekend
2
σ 2 schatten met S 2 =
1 n
(
∑ Xi − X
n − 1 i =1
)
X −µ
⇒ maar ∼ N (0,1), wel ∼ t n −1
S n
X −µ
P t n −1,α 2 t n −1,1−α 2 = 1 − α
S n
= −tn −1,1−α 2
→ 100(1-α)% BI
S S S S
X − t n −1,1−α 2 ; X + t n −1,1−α 2 −∞; X + t n −1,1−α 2 of X − t n −1,1−α 2 ; +∞
n n n n
2/18
, Samenvatting Statistiek II (A)
2) BI voor verschil in populatiegemiddelden
• Onafhankelijk, Normaal verdeeld en varianties gekend
(X 1 )
− X 2 − ( µ1 − µ2 )
∼ N (0,1)
σ 12 σ 22
+
n1 n2
→ 100(1-α)% BI
σ2 σ2 σ2 σ2
X 1 − X 2 − z1−α 2 1 + 2 ; X 1 − X 2 + z1−α 2 1 + 2
n1 n2 n1 n2
• Onafhankelijk, Normaal verdeeld en varianties ongekend maar gelijk
(X 1 )
− X 2 − ( µ1 − µ2 )
∼ t n1 + n2 −2 met S =
2 (n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22
n1 + n2 − 2
p
1 1
SP +
n1 n2
→ 100(1-α)% BI
1 1 1 1
X 1 − X 2 − t n1 + n2 − 2,1−α 2SP + ; X 1 − X 2 + t n1 + n2 − 2,1−α 2SP +
n1 n2 n1 n2
• Onafhankelijk, Normaal verdeeld en varianties ongekend en verschillend
2
S12 S22
+
(X 1 )
− X 2 − ( µ1 − µ2 )
∼ tν met ν = n1 n2 (Welch benadering)
( 1 1) + ( 2 2 )
2 2
S12 S22 S 2
n S 2
n
+
n1 n2 n1 − 1 n2 − 1
→ 100(1-α)% BI
S12 S22 S12 S22
X 1 − X 2 − tν ,1−α 2 + ; X 1 − X 2 + tν ,1−α 2 +
n1 n2 n1 n2
• Gepaarde waarnemingen, Normaal verdeeld
Nieuwe kansvariabele D = X 1 − X 2
Var [D ] = Var [ X 1 ] + Var [ X 2 ] − 2Cov [ X 1 , X 2 ] = σ 12 + σ 22 − 2σ 12
D − ( µ1 − µ2 )
⇒ ∼ t n −1
SD n
3/18
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller BrentUGent. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.23. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
67866 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now