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Funktionen
Ableitung: gibt für jeden Punkt von f ( x ) die Steigung an f ' (x)
Ableitung einer Funktion zeichnerisch bestimmen
1) Hochpunkte (HP), Tiefpunkte (TP) und Sattelpunkte
(SaP) bestimmen
2) HP, TP, SaP bei der Ableitungsfunktion als Nullstelle
HP eintragen, da an diesen Punkten die Steigung Null ist
WP 3) Steigung pro Abschnitt (von HP zu TP / von TP zu HP)
bestimmen, ob der Graph steigt (positiv) oder fällt
TP
(negativ)
4) Wendepunkte bei f ( x ) bestimmen die neuen HP,
TP oder SaP bei f ' ( x)
5) Hat f ( x ) eine negative Steigung, so verläuft f ' ( x)
unterhalb der x-Achse
Hat f ( x ) eine positive Steigung so verläuft f ' (x)
oberhalb der x-Achse
6) Punkte verbinden
Wichtige Merkmale:
o f ' gibt die Steigung von f an
o f ' ' gibt die Steigung von f ' und die Krümmung von f
an
o TP liegt in einer Linkskrümmung: f ' ( x )=0 und
f ' ' ( x ) >0
o HP liegt in einer Rechtskrümmung: f ' ( x )=0 und
f ' ' ( x ) <0
o Bei einem SaP gibt es kein VZW (Vorzeichenwechsel)
und es gilt: f ' ( x )=0 und f ' ' ( x ) =0
Kurvendiskussion
1) Ableitungen bilden
2) Verhalten für x → ± ∞
3) Auf Symmetrie prüfen
4) Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen (SPy-Achse)
5) Nullstellen bestimmen
6) Extrempunkte bestimmen
7) Wendepunkte bestimmen
8) Graph zeichnen
Verhalten für x → ± ∞ : durch das Vorzeichen des Leitkoefinzienten und dem höchsten Exponenten
bestimmbar (beispiel...)
Symmetrie: Bedingung für Achsensymmetrie f ( x )=f (−x )
Bedingung für Punktsymmetrie f ( x )=−f (−x ) oder [ −f ( x)=f (−x)]
SPy-Achse: bei f ( 0 ) = ? SPy (0/?)
Nullstellen: Bedingung: f ( x )=0 setzen und die Gleichung nach x auflösen
Extrempunkte notwendige Bedingung: f ' ( x )=0
hinreichende Bedingung: f ' ( x )=0 und f ' ' ( x ) ≠ 0
, Wendepunkte notwendige Bedingung: f ' ' ( x ) =0
hinreichende Bedingung: f ' ' ( x ) =0 und f ' ' ' ( x ) ≠ 0
f ( x ) gibt den y-Wert pro x-Wert an Bei Anwendungsaufgaben:
f ' ( x ) gibt die Steigung für jeden x-Wert an f ' ( x ) Geschwindigkeit m/s
f ' ' ( x ) wie eng/ breit der Graph gekrümmt ist f ( x ) Beschleunigung m/s2
Tangentengleichung für einen Graphen mithilfe eines Punktes erstellen:
Gleichung t : y =m× x+b
1) m bestimmen den x-Wert vom gegebenen Punkt in f ' ( x ) einsetzne und berechnen
2) b bestimmen Koordinaten des gegebenen Punktes in die Tangentengleichung mit m
einsetzne und berechnen
Beispiel:
4 2
f ( x )=−0.05 x + 1.2 x +2 WP (2/6)
' 3
f ( x )=−0.2 x + 2.4 x
' 4 2
1) m t =f ( 2 )=−0.05 × 2 +1.2× 2 + 2=3.2
y=3.2 x +b
2) WP (2/6) in die Gleichung einsetzen
6=3.2× 2+b
6=6.4+ b −6.4
−0.4=b
t : y =3.2 x−0.4
Rekonstrucktion von Funktionen
o Aus vorgegebenen Bedingungen eine zugehörige Funktion erstellen
o Für jeden unbekannten Koeffizienten der Gleichung wird eine bedingung benötigt, d.h sind
da 4 unbekannte Koeffizienten so werden 4 Bedingungen benötigt
o Aus einem Extrempunkt lassen sich 2 Bedingungen bilden, mit f ( x ) und f ' ( x )
o Aus einem Sattelpunkt lassen sich 3 Bedingungen bilden, mit f ( x ) , f ' ( x ) und f ' ' ( x )
o Aus einem Wendepunkt lassen sich 2 Bedingungen bilden
Ableiten einer Funktion
f ( x )=a × x r f ' ( x )=a × r × x r−1
Eine Funktion zum Ableiten vereinfachen/umschreiben:
x3 1 3 Abgeleitet: 3 x 2
o = x
2 2 2
o x wird 1 wenn abgeleitet wird
3 −6
o
2
=3 x−2 Ableitung: −6 x−3= 3
x x
3 1
o
√4 x 3=x 4 / √ x=x 2
Graphisches Zeichnen der übergeordneten Funktion
f ( x ) hat einen EP f ( x ) hat einen WP an dieser Stelle
o '
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