Summary
Samenvatting syllabus
- Course
- Institution
Samenvatting syllabus
[Show more]
Seller
Follow
m_vu_bws
Reviews received
Content preview
SAMENVATTING DYNAMICA VAN LINEAIRE SYSTEMEN2. Systemen
2.1 Systemen en signalen
Een systeem is een gerichte selectie van onderdelen uit de totale werkelijkheid, met het doel om
deze selectie nader te kunnen bestuderen.
De omgeving van het systeem is het overblijvende deel van de werkelijkheid.
De systeemgrens is de afscheiding tussen het systeem en de omgeving. Dit is altijd een
gesloten oppervlak, dus er zitten geen gaten in.
Er is een wisselwerking tussen systeem en omgeving.
Ingangsvariabelen beïnvloeden vanuit de omgeving het systeem en uitgangsvariabelen (y) zijn
variabelen van het systeem waar we om de een of andere manier belang in stellen (hier zijn we
geïnteresseerd in)
- Ingangsvariabelen worden verdeeld in
o Stuurvariabelen (u) – zijn beïnvloedbaar
o Stoorvariabelen (v/w) – zijn niet beïnvloedbaar
Parameters worden gebruikt bij de beschrijving van systemen. Dit zijn constanten waarvan de
waarde invloed heeft op het gedrag van het systeem.
2.2 Onderverdeling van systemen
Dynamica loze en dynamische systemen
Een systeem heet dynamica loos als de uitgang van het systeem alleen wordt bepaald door de
ingang op dat moment. De in- en uitgang zijn gekoppeld door een algebraïsche relatie.
Een systeem heet dynamisch als de uitgang (ten dele) bepaald wordt door de waarden van de ingang
op eerdere tijdstippen.
De relatie tussen ingang en uitgang van een dynamisch systeem wordt beschreven door een
differentieelvergelijking.
- In zo’n vergelijking treden er per definitie tijdsafgeleiden van de uitgang op (soms ook van de
ingang). Y moet dus als functie van de tijd beschouwd worden, want zo kunnen we de
tijdsafgeleiden bepalen y(t) & u(t)
Lineaire en niet-lineaire systemen
Een lineair systeem heeft de volgende twee eigenschappen:
1. Als een lineair systeem voor twee willekeurige ingangen bekend is wat de bijbehorende
uitgang is, dan is de uitgang voor de som van de twee ingangen gelijk aan de som van de
twee bekende uitgangen.
- Gesommeerde ingang u1 + u2= y1 + y2
2. Als van een lineair systeem bekend is welke uitgang bij een bepaalde willekeurige ingang
hoort, dan vinden we bij een α maal zo grote ingang een α maal zo grote uitgang
- De ingang αu levert uitgang αy op (waarbij α een willekeurige constante is)
Combinatie van beide voorwaarde heet het superpositiebeginsel
een lineaire diff. vergelijking
Tijdsonafhankelijke en tijdsafhankelijke systemen
Een tijdsonafhankelijk systeem gedraagt zich altijd hetzelfde; het is dus geen functie van de tijd
hetzelfde ingangssignaal levert steeds hetzelfde uitgangssignaal, onafhankelijk van het moment
waarop het het systeem in gaat.
1
, SAMENVATTING DYNAMICA VAN LINEAIRE SYSTEMEN
- Langzame veranderingen hebben een verwaarloosbaar effect op snelle veranderingen
In deze cursus houden we ons alleen bezig met tijdsonafhankelijke systemen.
SISO en MIMO systemen
SISO = Single-Input, Single-Output
MIMO = Multi-Input, Multi-Output
Stabiele en instabiele systemen
Een systeem is stabiel als voor elk begrensd ingangssignaal de uitgang ook begrensd is; is dit niet het
geval , dan is het systeem instabiel.
- Een signaal x is begrensd als er een getal K bestaat, waarvoor geldt dat |x(t)| < K voor alle t
mag dus nooit naar oneindig gaan
- Uit de differentiaalvergelijking van een systeem kan bepaald worden of een systeem stabiel
is
Compacte en verdeelde systemen
Verdeelde systemen worden beschreven door partiële differentiaalvergelijkingen. In deze cursus
beperken we ons tot compacte systemen, waarbij alleen afgeleiden naar de tijd een rol spelen
2.3 Standaard ingangssignalen
Stap
Bij een stapvormig signaal verandert de waarde op een zeker moment van een bepaalde vaste
waarde naar een bepaalde andere vaste waarde.
Impuls
Als een stap wordt gevolgd door een omgekeerde stap van dezelfde grootte, dan ontstaat een
blokvormig signaal. We kunnen de duur van het blok laten afnemen op een zodanige manier dat de
oppervlakte onder het blok steeds gelijk blijft
- Als de oppervlakte onder het blok gelijk is aan 1, dan spreken we van een eenheidsblok.
o Noemen we de duur van het blok T, dan is de hoogte precies 1/T
Als we de duur T verder laten afnemen naar 0 & de hoogte van 1/T verder
laten toenemen, dan krijgen we een eenheidsimpuls heeft dus een
oneindig korte duur, een oneindig grote hoogte en een oppervlakte 1
Een impulsresponsie is de responsie op een dergelijke eenheidsimpuls, op
dezelfde manier als een stapresponsie de responsie is op een eenheidsstap
De eenheidsstap is de integraal van de eenheidsimpuls
De integraal van een eenheidsblok is dus een signaal dat voor t<0 de
waarde 0 heeft, dan over de duur van het blok lineair toeneemt tot 1
en daarna een constante waarde 1 houdt. Duurt het eenheidsblok
oneindig kort dan gaat zijn integraal van 0 naar 1 in oneindig korte
tijd precies een eenheidsstap
Helling
Een hellingvormig signaal heeft waarde 0 voor t<0 en neemt dan lineair toe met de tijd.
De eenheidshelling is de integraal van de eenheidsstap en de eenheidsstap is de afgeleide van de
eenheidshelling.
- Een hellingvormig ingangssignaal is met name geschikt om te zien hoe het systeem zich
gedraagt wanneer de ingang continu verandert.
- De ingang blijft vanaf t=0 steeds toenemen in de tijd
Sinusoïde
We gebruiken sinusoïde met eenheidsamplitude:
2
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller m_vu_bws. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $8.45. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
49051 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 15 years now