100% tevredenheidsgarantie Direct beschikbaar na je betaling Lees online óf als PDF Geen vaste maandelijkse kosten
logo-home
MAT1503 Assignment 5 (COMPLETE ANSWERS) 2024 - DUE 10 September 2024 $2.57
In winkelwagen

Tentamen (uitwerkingen)

MAT1503 Assignment 5 (COMPLETE ANSWERS) 2024 - DUE 10 September 2024

 1 keer verkocht
  • Vak
  • Instelling
  • Boek

MAT1503 Assignment 5 (COMPLETE ANSWERS) 2024 - DUE 10 September 2024

Voorbeeld 4 van de 42  pagina's

  • 24 augustus 2024
  • 42
  • 2024/2025
  • Tentamen (uitwerkingen)
  • Vragen en antwoorden
avatar-seller
,MAT1503 Assignment 5 (COMPLETE ANSWERS)
2024 - DUE 10 September 2024 ; 100% TRUSTED
Complete, trusted solutions and explanations.
Question 1: 12 Marks (1.1) Let U and V be the planes given by:
(2) U : λx + 5y − 2λz − 3 = 0, V : −λx + y + 2z + 1 = 0. Determine
for which value(s) of λ the planes U and V are: (a) orthogonal,
(2) (b) Parallel. (2) (1.2) Find an equation for the plane that
passes through the origin (0, 0, 0) and is parallel to the (3) plane
−x + 3y − 2z = 6. (1.3) Find the distance between the point
(−1,−2, 0) and the plane 3x − y + 4z = −2. (3)
Let's break down each part of the question step-by-step:
1.1 (a) Orthogonal Planes
To determine for which value(s) of λ\lambdaλ the planes UUU
and VVV are orthogonal, we need to check the dot product of
their normal vectors.
The planes are given by: U:λx+5y−2λz−3=0U: \lambda x + 5y - 2\
lambda z - 3 = 0U:λx+5y−2λz−3=0 V:−λx+y+2z+1=0V: -\lambda x
+ y + 2z + 1 = 0V:−λx+y+2z+1=0
The normal vector of plane UUU is nU=(λ,5,−2λ)\mathbf{n}_U =
(\lambda, 5, -2\lambda)nU=(λ,5,−2λ).
The normal vector of plane VVV is nV=(−λ,1,2)\mathbf{n}_V =
(-\lambda, 1, 2)nV=(−λ,1,2).
Two planes are orthogonal if their normal vectors are
orthogonal. This means their dot product should be zero:

,nU⋅nV=(λ,5,−2λ)⋅(−λ,1,2)\mathbf{n}_U \cdot \mathbf{n}_V = (\
lambda, 5, -2\lambda) \cdot (-\lambda, 1, 2)nU⋅nV
=(λ,5,−2λ)⋅(−λ,1,2)
Calculate the dot product:
nU⋅nV=λ(−λ)+5⋅1+(−2λ)⋅2\mathbf{n}_U \cdot \mathbf{n}_V = \
lambda(-\lambda) + 5 \cdot 1 + (-2\lambda) \cdot 2nU⋅nV
=λ(−λ)+5⋅1+(−2λ)⋅2 =−λ2+5−4λ= -\lambda^2 + 5 - 4\
lambda=−λ2+5−4λ
Set the dot product to zero:
−λ2+5−4λ=0-\lambda^2 + 5 - 4\lambda = 0−λ2+5−4λ=0
Rearrange into standard quadratic form:
λ2+4λ−5=0\lambda^2 + 4\lambda - 5 = 0λ2+4λ−5=0
Solve this quadratic equation using the quadratic formula
λ=−b±b2−4ac2a\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}
{2a}λ=2a−b±b2−4ac:
λ=−4±16+202\lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}
{2}λ=2−4±16+20 λ=−4±362\lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}
{2}λ=2−4±36 λ=−4±62\lambda = \frac{-4 \pm 6}{2}λ=2−4±6
λ=1 or λ=−5\lambda = 1 \text{ or } \lambda = -5λ=1 or λ=−5
Thus, the planes UUU and VVV are orthogonal for λ=1\lambda =
1λ=1 and λ=−5\lambda = -5λ=−5.
1.1 (b) Parallel Planes

, Two planes are parallel if their normal vectors are parallel. This
means that one normal vector is a scalar multiple of the other.
For planes UUU and VVV:
nU=(λ,5,−2λ)\mathbf{n}_U = (\lambda, 5, -2\lambda)nU
=(λ,5,−2λ) nV=(−λ,1,2)\mathbf{n}_V = (-\lambda, 1, 2)nV
=(−λ,1,2)
We need to find λ\lambdaλ such that:
(λ,5,−2λ)=k(−λ,1,2)(\lambda, 5, -2\lambda) = k(-\lambda, 1, 2)
(λ,5,−2λ)=k(−λ,1,2)
Equate the components:
λ=−kλ\lambda = -k\lambdaλ=−kλ 5=k5 = k5=k −2λ=2k-2\lambda
= 2k−2λ=2k
From 5=k5 = k5=k, substitute kkk into the third equation:
−2λ=2×5-2\lambda = 2 \times 5−2λ=2×5 −2λ=10-2\lambda =
10−2λ=10 λ=−5\lambda = -5λ=−5
Substitute λ=−5\lambda = -5λ=−5 into λ=−kλ\lambda = -k\
lambdaλ=−kλ:
−5=−5k-5 = -5k−5=−5k k=1k = 1k=1
So, the planes UUU and VVV are parallel when λ=−5\lambda = -
5λ=−5.
1.2 Equation of a Plane Parallel to a Given Plane

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Direct to-the-point

Direct to-the-point

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper Novaace1. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor $2.57. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 71250 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Begin nu gratis

Laatst bekeken door jou


$2.57  1x  verkocht
  • (0)
In winkelwagen
Toegevoegd