Tentamen (uitwerkingen)
MAT1503 Assignment 5 (COMPLETE ANSWERS) 2024 - DUE 10 September 2024
- Vak
- Instelling
- Boek
MAT1503 Assignment 5 (COMPLETE ANSWERS) 2024 - DUE 10 September 2024
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 42 pagina's
Voorbeeld 4 van de 42 pagina's
In winkelwagen
In winkelwagen
Gekoppeld boek
Titel boek:
Auteur(s):
- Uitgave:
- ISBN:
- Druk:
Verkoper
Volgen
Novaace1
Ontvangen beoordelingen
Voorbeeld van de inhoud
,MAT1503 Assignment 5 (COMPLETE ANSWERS)2024 - DUE 10 September 2024 ; 100% TRUSTED
Complete, trusted solutions and explanations.
Question 1: 12 Marks (1.1) Let U and V be the planes given by:
(2) U : λx + 5y − 2λz − 3 = 0, V : −λx + y + 2z + 1 = 0. Determine
for which value(s) of λ the planes U and V are: (a) orthogonal,
(2) (b) Parallel. (2) (1.2) Find an equation for the plane that
passes through the origin (0, 0, 0) and is parallel to the (3) plane
−x + 3y − 2z = 6. (1.3) Find the distance between the point
(−1,−2, 0) and the plane 3x − y + 4z = −2. (3)
Let's break down each part of the question step-by-step:
1.1 (a) Orthogonal Planes
To determine for which value(s) of λ\lambdaλ the planes UUU
and VVV are orthogonal, we need to check the dot product of
their normal vectors.
The planes are given by: U:λx+5y−2λz−3=0U: \lambda x + 5y - 2\
lambda z - 3 = 0U:λx+5y−2λz−3=0 V:−λx+y+2z+1=0V: -\lambda x
+ y + 2z + 1 = 0V:−λx+y+2z+1=0
The normal vector of plane UUU is nU=(λ,5,−2λ)\mathbf{n}_U =
(\lambda, 5, -2\lambda)nU=(λ,5,−2λ).
The normal vector of plane VVV is nV=(−λ,1,2)\mathbf{n}_V =
(-\lambda, 1, 2)nV=(−λ,1,2).
Two planes are orthogonal if their normal vectors are
orthogonal. This means their dot product should be zero:
,nU⋅nV=(λ,5,−2λ)⋅(−λ,1,2)\mathbf{n}_U \cdot \mathbf{n}_V = (\
lambda, 5, -2\lambda) \cdot (-\lambda, 1, 2)nU⋅nV
=(λ,5,−2λ)⋅(−λ,1,2)
Calculate the dot product:
nU⋅nV=λ(−λ)+5⋅1+(−2λ)⋅2\mathbf{n}_U \cdot \mathbf{n}_V = \
lambda(-\lambda) + 5 \cdot 1 + (-2\lambda) \cdot 2nU⋅nV
=λ(−λ)+5⋅1+(−2λ)⋅2 =−λ2+5−4λ= -\lambda^2 + 5 - 4\
lambda=−λ2+5−4λ
Set the dot product to zero:
−λ2+5−4λ=0-\lambda^2 + 5 - 4\lambda = 0−λ2+5−4λ=0
Rearrange into standard quadratic form:
λ2+4λ−5=0\lambda^2 + 4\lambda - 5 = 0λ2+4λ−5=0
Solve this quadratic equation using the quadratic formula
λ=−b±b2−4ac2a\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}
{2a}λ=2a−b±b2−4ac:
λ=−4±16+202\lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}
{2}λ=2−4±16+20 λ=−4±362\lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}
{2}λ=2−4±36 λ=−4±62\lambda = \frac{-4 \pm 6}{2}λ=2−4±6
λ=1 or λ=−5\lambda = 1 \text{ or } \lambda = -5λ=1 or λ=−5
Thus, the planes UUU and VVV are orthogonal for λ=1\lambda =
1λ=1 and λ=−5\lambda = -5λ=−5.
1.1 (b) Parallel Planes
, Two planes are parallel if their normal vectors are parallel. This
means that one normal vector is a scalar multiple of the other.
For planes UUU and VVV:
nU=(λ,5,−2λ)\mathbf{n}_U = (\lambda, 5, -2\lambda)nU
=(λ,5,−2λ) nV=(−λ,1,2)\mathbf{n}_V = (-\lambda, 1, 2)nV
=(−λ,1,2)
We need to find λ\lambdaλ such that:
(λ,5,−2λ)=k(−λ,1,2)(\lambda, 5, -2\lambda) = k(-\lambda, 1, 2)
(λ,5,−2λ)=k(−λ,1,2)
Equate the components:
λ=−kλ\lambda = -k\lambdaλ=−kλ 5=k5 = k5=k −2λ=2k-2\lambda
= 2k−2λ=2k
From 5=k5 = k5=k, substitute kkk into the third equation:
−2λ=2×5-2\lambda = 2 \times 5−2λ=2×5 −2λ=10-2\lambda =
10−2λ=10 λ=−5\lambda = -5λ=−5
Substitute λ=−5\lambda = -5λ=−5 into λ=−kλ\lambda = -k\
lambdaλ=−kλ:
−5=−5k-5 = -5k−5=−5k k=1k = 1k=1
So, the planes UUU and VVV are parallel when λ=−5\lambda = -
5λ=−5.
1.2 Equation of a Plane Parallel to a Given Plane
Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:
Bewezen kwaliteit door reviews
Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!
In een paar klikken geregeld
Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.
Direct to-the-point
Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper Novaace1. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor $2.57. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 71250 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen
Laatst bekeken door jou
Samenvatting ·
Ferri's Practical Guide Fast Facts for Patient Care Ninth Edition
Tentamen (uitwerkingen) ·
2022 RATED A ATI LEADERSHIP PROCTORED EXAM 2019 VERSION 2 FORM C
Tentamen (uitwerkingen) ·
AQA A-level FRENCH Paper 1 2021 QP Listening, Reading and Writing
Samenvatting ·
Summary Management Consultancy & Policy Advice (FSWBC3-080)
Tentamen (uitwerkingen) ·
HIM 2214 Module 02 Quiz GRADED A+ / HIM2214 Module 02 Quiz GRADED A+
Tentamen (uitwerkingen) ·
MCAT PRACTICE EXAM- 122 QUESTIONS WITH 100% CORRECT ANSWERS.
Overig ·
NR 508 Week 2 Case Study Discussion: Original Post (GRADED A)
Tentamen (uitwerkingen) ·
UCLA ANTHRO 1 FINAL exam 2022/2023 with 100% correct answers
