Samenvatting hoofdstuk 7 uit theorieboek van Moore & Mccabe

STATISTIEK

3. INFERENTIE VOOR VERDELINGEN




INFERENTIE VOOR HET GEMIDDELDE VAN EEN POPULATIE
 Zowel betrouwbaarheidsintervallen als significantietoetsen voor het gemiddelde μ van een normale
populatie zijn gebaseerd op het steekproefgemiddelde x́ , dat de onbekende μ schat
 De steekproefverdeling van x́ hangt af van μ
 De standaardafwijking van de steekproef wordt gebruikt om de standaardafwijking van de populatie
te schatten

DE T-PROCEDURES VOOR EEN ENKELVOUDIGE STEEKPROEF

STANDAARDFOUT
Als de standaardafwijking van een steekproefgrootheid uit de gegevens wordt geschat, wordt het
resultaat de standaardfout van de steekproefgrootheid genoemd. De standaardfout voor het
steekproefgemiddelde is
s
S E X́ =
√n
 Het gestandaardiseerde steeproefgemiddelde vormt de basis voor z-procedures voor inferentie
omtrent μ, als σ bekend is
x́−μ
z=
σ
√n
 Deze steekproefgrootheid heeft de standaardnormale verdeling N(0,1)
s σ
 Als we de standaardfout substitueren voor de standaardafwijking van x́ , heeft de
√n √n
steekproefgrootheid niet een normale verdeling
 Het heeft een verdeling die voor ons nieuw is, namelijk een t-verdeling
DE t-VERDELINGEN
Veronderstel dat er een EAS van grootte n is getrokken uit een N( μ , σ ¿ populatie. Dan heeft de t-
toetsingsgrootheid
x́−μ
t=
s
√n
de t-verdeling met n-1 vrijheidsgraden
 Voor elke steekproefomvang is er een andere t-verdeling
 Een specifieke t-verdeling wordt gespecifieerd door het aantal vrijheidsgraden op te geven




1

,  Het aantal vrijheidsgraden van deze t-steekproefgrootheid is afkomstig van de steekproef-
standaardafwijking s in de noemer van t
 n-1 van de afwijkingen kunnen vrijelijk veranderen, en dat aantal is het aantal vrijheidsgraden
 t-verdeling met k-vrijheidsgraden worden aangeduid met t(k)
 De dichtheidskrommen van de t(k)-verdelingen lijken in vorm op standaardnormale kromme
o Ze zijn symmetrisch rondom 0 en zijn klokvormig
 De spreiding van de t-verdelingen is ietwat groter dan die van de standaardnormale verdeling
o Dit is te wijten aan de extra variabiliteit die veroorzaakt wordt door de substitutie van de
stochastische variabele s voor de vaste parameter σ
 Bij toename van het aantal vrijheidsgraden k nadert de dichtheidskromme van t(k) steeds dichter de
N(0,1)-kromme
 De gelijkvormigheid is duidelijk, evenals het feit dat de t-verdeling in vergelijking met de
standaardnormale verdeling in de staarten meer kans heeft en in het centrum minder kans


HET BETROUWBAARHEIDSINTERVAL BIJ ÉÉN-STEEKPROEF T-TOETS
 We moeten nu overschrijdingskansen en kritieke waarden uit t gebruiken, in plaats van de
overeenkomstige normale waarden z
HET t-BETROUWBAARHEIDSINTERVAL VOOR EEN ENKELVOUDIGE STEEKPROEF


Veronderstel dat er een EAS is getrokken uit een populatie met onbekend gemiddelde μ. Een
betrouwbaarheidsinterval van niveau C voor μ is
s
x́ ± t ¿
√n
waar t* de waarde is voor de t(n-1)-verdeling waarbij er een oppervlak C ligt tussen -t* en t*. De grootheid
s
t¿
√n
is de foutmarge. Dit interval is correct als de populatieverdeling normaal is en in andere gevallen voor
grote n bij benadering correct




DE ÉÉN-STEEKPROEF T-TOETS
DE t-TOETS VOOR EEN ENKELVOUDIGE STEEKPROEF
Veronderstel dat een EAS met omvang n is getrokken uit een populatie met onbekende verwachting μ.

Om de hypothese H 0 : μ=μ0 te toetsen op basis van een EAS met omvang n, berekenen we de
toetsingsgrootheid t voor een EAS




2