Summary
Summary Calculus 1
- Course
- Institution
- Book
Complex numbers, mathematical induction, limits, differentiation, transcendental functions, integrals
[Show more]
Connected book
Book Title:
Author(s):
- Edition:
- ISBN:
- Edition:
1 review
By: rang92 • 7 year ago
Seller
Follow
Suzanvaneijden
Reviews received
Content preview
1.1 Calculus 1R reële getallen
N natuurlijke getallen ,0,1,2,…-
Z gehele getallen ,…,-2,-1,0,1,2,…-
Q rationale getallen (te schrijven als een breuk van gehele getallen)
C complexe getallen
Complexe getallen
Dictaat: Complex H1-H7
We voeren twee nieuwe, niet reële getallen in, die we i en –i noemen via de definitie i2 = (-i)2 = -1.
Complexe getallen zijn alle getallen van de vorm a + bi, waar a en b reëel zijn. We noteren de
verzameling van de complexe getallen met c. Dus c = { a + bi | a, b є r }
Vb: z = 3 + 2i w = -1 – i
z+w=2+i
z – w = 4 + 3i
z ∙ w = (3 + 2i)(-1 – i) = -3 - 5i – 2i2 = -1 – 5i
z = 3 + 2i = (3 + 2i)(-1 + i) = -5 + i = -5 + i om een term x + by uit de noemer weg te
w -1 – i (-1 – i)(-1 + i) 2 2 2 halen, vermenigvuldigen we teller en noemer
met x – by.
Voor het complexe getal z = a + bi noemen we het getal z = a – bi de complex geconjugeerde of
complex toegevoegde van het getal z. Voor z is a het reële deel en b het imaginaire deel. We noteren
het imaginaire deel met Im z = a en het reële deel met Re z = b.
We identificeren een complex getal met een punt in het platte vlak: x + iy (x, y), waarbij 1 dus op
(1, 0), i op (0, 1) en een reëel getal x op (x, 0) ligt.
Getallen van de vorm iy heten imaginaire getallen, de verzameling { iy: y є r } heet de imaginaire as.
Punten in het platte vlak kun je ook met poolcoördinaten weergeven: elk punt P wordt eenduidig
bepaald door de afstand r tot (0, 0) en de hoek φ die het lijnstuk van P naar 0 maakt met de positieve
x-as. Het paar (r, φ) zijn de poolcoördinaten van P, met de afspraak –π < φ ≤ π.
x = r cos φ en y = r sin φ
r = √(x2 + y2)
, cos φ = x . sin φ = y .
√(x2 + y2) √(x2 + y2)
r = modulus = |z|
φ = hoofdwaarde van het argument van z = Arg z
We spreken van het argument van z als we ons niet langer beperken tot –π < 0 ≤ π. Notatie: arg z.
Bij vermenigvuldigen van complexe getallen moet je de moduli van de complexe getallen met elkaar
vermenigvuldigen en de argumenten bij elkaar optellen.
|z1z2| = |z1| ∙ |z2| arg(z1z2) = arg z1 + arg z2
We hanteren als notatie eiφ = cos φ + i sin φ, dus een complex getal z met modulus r en argument φ
is te schrijven als: z = r cos φ + ir sin φ = r(cos φ + i sin φ) = reiφ.
De Moivre’s stelling: zn = rn(cos nφ + i sin nφ). Dus we verheffen de modulus tot macht n en
vermenigvuldigen de argumenten met n.
Volledige inductie
Dictaat: Inductie H1, H3
Somnotatie:
∑
Volledige inductie is een methode om beweringen te bewijzen die voor alle natuurlijke getallen n
waar zijn. De manier waarop je hierbij te werk gaat is als volgt:
1) Basisstap: laat zien dat de bewering waar is voor n=1.
2) Inductiestap: laat zien dat de bewering waar is voor het getal m+1 als deze waar is voor m.
∑ ∑
Het binomium van Newton
De uitwerking van de tweeterm (a + b)n voor willekeurige n є N.
Voor een geheel getal n ≥ 0 schrijven we
n! =1∙2∙…∙n als n є N (Spreek uit: n-faculteit)
=1 als n = 0
(n + 1)! = n! ∙ (n + 1)
Verder: ( )
( )
( ) ( )
De binomiaalformule van Newton:
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller Suzanvaneijden. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.21. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
53068 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now