Basiswiskunde- en Integraalrekening Aviation V2
2021 - 2022
Samengesteld door Sebastiaan Oudendijk
,Inhoudsopgave
Deeltoets 1 (DT1)..................................................................................................................................................... 4
Logaritmen ........................................................................................................................................................... 4
Deeltoets 2 (DT2) Differentiëren: .......................................................................................................................... 5
Somregel .............................................................................................................................................................. 5
Productregel ........................................................................................................................................................ 5
Kettingregel.......................................................................................................................................................... 5
Quotiëntregel ....................................................................................................................................................... 5
Verdere voorbeelden met betrekking tot afgeleiden ............................................................................................ 6
Hogere afgeleide functies .................................................................................................................................... 7
Partieel differentiëren (Partiële afgeleiden) ........................................................................................................ 7
Hogere Partiële afgeleiden .................................................................................................................................. 8
Voorbeelden............................................................................................................................................................. 9
Twee keer naar 𝒙 differentiëren........................................................................................................................... 9
Naar 𝒚 differentieren en daarna naar 𝒙 .............................................................................................................. 9
Naar 𝒙 differentieren en daarna naar 𝒚 .............................................................................................................. 9
Twee keer naar 𝒚 differentiëren........................................................................................................................... 9
Deeltoets 3 (DT3) Integreren: .............................................................................................................................. 10
Hoofdstelling van de Integraalrekening: ........................................................................................................... 10
Standaard Integralen ......................................................................................................................................... 10
Substitutiemethode ............................................................................................................................................. 11
Partieel Integreren ............................................................................................................................................. 12
Breuksplitsen ...................................................................................................................................................... 14
Matrices ................................................................................................................................................................. 15
Matrix ................................................................................................................................................................. 15
Getransformeerde Matrix .................................................................................................................................. 15
Optellen van Matrices ........................................................................................................................................ 15
Vermenigvuldigen van Matrices ........................................................................................................................ 15
Formuleblad: ......................................................................................................................................................... 16
Afgeleide functies ............................................................................................................................................... 16
Primitieve functies ............................................................................................................................................. 17
Created by Sebastiaan Oudendijk 2 Aviation Engineering
,Created by Sebastiaan Oudendijk 3 Aviation Engineering
,Deeltoets 1 (DT1)
Logaritmen
“Logaritmen is de inverse bewerking van een exponent”
Algemene stelling:
𝑦 = log ! (𝑥)
Hieruit volgt dat:
𝑔" = 𝑥
De internationale manier van het schrijven van een logaritme is als volgt:
log ! (𝑥)
In Nederland schrijven we een Logaritme als:
g log (𝑥)
In de komende voorbeelden zal de Internationale manier worden gehanteerd.
Rekenregels voor Logaritmen
De meest voorkomende regels voor Logaritmen zijn:
log ! (𝑎) + log ! (𝑏) = log ! (𝑎𝑏)
𝑎
log ! (𝑎) − log ! (𝑏) = log ! / 0
𝑏
𝑛 ∗ log ! (𝑎) = log ! (𝑎# )
log $ (𝑎) log(𝑎)
log ! (𝑎) = =
log $ (𝑔) log(𝑔)
log % (𝑎) = −log ! (𝑎)
!
Created by Sebastiaan Oudendijk 4 Aviation Engineering
,Deeltoets 2 (DT2) Differentiëren:
“Het berekenen van de snelheid in een punt, Het berekenen van de richtingscoëfficiënt in een
punt”
Als je de snelheid in een bepaald punt van de grafiek wilt uitrekenen, kan dit doormiddel van
differentiëren. Dit heet ook wel de afgeleide functie berekenen. Met de afgeleide functie
kan je de snelheid in een specifiek punt bepalen. Dit is hetzelfde als de richtingscoëfficiënt
van de raaklijn in dat specifieke punt.
Differentiëren kent vier regels. Dit zijn:
- Somregel
- Productregel
- Kettingregel
- Quotiëntregel
Somregel
&
3𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)5 = 𝑓 & (𝑥) + 𝑔′(𝑥)
Productregel
&
3𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)5 = 𝑓 & (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔& (𝑥)
Kettingregel
Als er een functie in een functie zit ‘verpakt’ bereken je de afgeleide als volgt:
𝑓(𝑥) = 𝑓3𝑢(𝑥)5
Dan is de afgeleide functie:
𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑢
= ∙
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
Quotiëntregel
&
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓 & (𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔& (𝑥)
: ; =
𝑔(𝑥) (𝑔(𝑥))'
Created by Sebastiaan Oudendijk 5 Aviation Engineering
, Op de afbeelding hiernaast is de functie
𝑓(𝑥) = 𝑥 ' − 2𝑥 weergegeven.
De afgeleide hiervan is 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 2 (somregel).
Merk hierbij op dat hoe groter de waarde van 𝑥 wordt,
hoe steiler de raaklijn wordt. Dat wil dus zeggen als je de
top of het dal van een grafiek wilt berekenen, de afgeleide
gelijk moet stellen aan 0. Op dit punt de raaklijn namelijk
vlak. De richting van de raaklijn in punt 𝑥 = 3 is 4.
Dit kun je controleren door 𝑥 = 3 in te vullen in de
afgeleide.
Als je de afgeleide gelijkstelt aan 0, en oplost voor 𝑥, dan
vind je de coördinaten van de top of het dal.
𝑓 & (𝑥) = 2𝑥 − 2 = 0
2𝑥 = 2
𝑥=1
Dit is te zien in de afbeelding. Door 𝑥 in te vullen in de normale functie 𝑓(𝑥), krijg je de 𝑦-
coördinaat. Dat is (1, −1).
Verdere voorbeelden met betrekking tot afgeleiden
Somregel:
&
3𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)5 = 𝑓 & (𝑥) + 𝑔′(𝑥)
𝑓(𝑥) = 5𝑥 ' + 3𝑥 + 2
𝑓 & (𝑥) = 10𝑥 + 3
Productregel:
&
3𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)5 = 𝑓 & (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔& (𝑥)
𝑓(𝑥) = 5𝑥 ' ∙ 3𝑥
𝑓 & (𝑥) = 10𝑥 ∙ 3𝑥 + 5𝑥 ' ∙ 3
= 30𝑥 ' + 15𝑥 '
= 45𝑥 '
Kettingregel:
𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑢
= ∙
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 3
𝑑𝑓 1 2 1
= ∙2= =
𝑑𝑥 2√2𝑥 + 3 2√2𝑥 + 3 √2𝑥 + 3
Created by Sebastiaan Oudendijk 6 Aviation Engineering
2021 - 2022
Samengesteld door Sebastiaan Oudendijk
,Inhoudsopgave
Deeltoets 1 (DT1)..................................................................................................................................................... 4
Logaritmen ........................................................................................................................................................... 4
Deeltoets 2 (DT2) Differentiëren: .......................................................................................................................... 5
Somregel .............................................................................................................................................................. 5
Productregel ........................................................................................................................................................ 5
Kettingregel.......................................................................................................................................................... 5
Quotiëntregel ....................................................................................................................................................... 5
Verdere voorbeelden met betrekking tot afgeleiden ............................................................................................ 6
Hogere afgeleide functies .................................................................................................................................... 7
Partieel differentiëren (Partiële afgeleiden) ........................................................................................................ 7
Hogere Partiële afgeleiden .................................................................................................................................. 8
Voorbeelden............................................................................................................................................................. 9
Twee keer naar 𝒙 differentiëren........................................................................................................................... 9
Naar 𝒚 differentieren en daarna naar 𝒙 .............................................................................................................. 9
Naar 𝒙 differentieren en daarna naar 𝒚 .............................................................................................................. 9
Twee keer naar 𝒚 differentiëren........................................................................................................................... 9
Deeltoets 3 (DT3) Integreren: .............................................................................................................................. 10
Hoofdstelling van de Integraalrekening: ........................................................................................................... 10
Standaard Integralen ......................................................................................................................................... 10
Substitutiemethode ............................................................................................................................................. 11
Partieel Integreren ............................................................................................................................................. 12
Breuksplitsen ...................................................................................................................................................... 14
Matrices ................................................................................................................................................................. 15
Matrix ................................................................................................................................................................. 15
Getransformeerde Matrix .................................................................................................................................. 15
Optellen van Matrices ........................................................................................................................................ 15
Vermenigvuldigen van Matrices ........................................................................................................................ 15
Formuleblad: ......................................................................................................................................................... 16
Afgeleide functies ............................................................................................................................................... 16
Primitieve functies ............................................................................................................................................. 17
Created by Sebastiaan Oudendijk 2 Aviation Engineering
,Created by Sebastiaan Oudendijk 3 Aviation Engineering
,Deeltoets 1 (DT1)
Logaritmen
“Logaritmen is de inverse bewerking van een exponent”
Algemene stelling:
𝑦 = log ! (𝑥)
Hieruit volgt dat:
𝑔" = 𝑥
De internationale manier van het schrijven van een logaritme is als volgt:
log ! (𝑥)
In Nederland schrijven we een Logaritme als:
g log (𝑥)
In de komende voorbeelden zal de Internationale manier worden gehanteerd.
Rekenregels voor Logaritmen
De meest voorkomende regels voor Logaritmen zijn:
log ! (𝑎) + log ! (𝑏) = log ! (𝑎𝑏)
𝑎
log ! (𝑎) − log ! (𝑏) = log ! / 0
𝑏
𝑛 ∗ log ! (𝑎) = log ! (𝑎# )
log $ (𝑎) log(𝑎)
log ! (𝑎) = =
log $ (𝑔) log(𝑔)
log % (𝑎) = −log ! (𝑎)
!
Created by Sebastiaan Oudendijk 4 Aviation Engineering
,Deeltoets 2 (DT2) Differentiëren:
“Het berekenen van de snelheid in een punt, Het berekenen van de richtingscoëfficiënt in een
punt”
Als je de snelheid in een bepaald punt van de grafiek wilt uitrekenen, kan dit doormiddel van
differentiëren. Dit heet ook wel de afgeleide functie berekenen. Met de afgeleide functie
kan je de snelheid in een specifiek punt bepalen. Dit is hetzelfde als de richtingscoëfficiënt
van de raaklijn in dat specifieke punt.
Differentiëren kent vier regels. Dit zijn:
- Somregel
- Productregel
- Kettingregel
- Quotiëntregel
Somregel
&
3𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)5 = 𝑓 & (𝑥) + 𝑔′(𝑥)
Productregel
&
3𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)5 = 𝑓 & (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔& (𝑥)
Kettingregel
Als er een functie in een functie zit ‘verpakt’ bereken je de afgeleide als volgt:
𝑓(𝑥) = 𝑓3𝑢(𝑥)5
Dan is de afgeleide functie:
𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑢
= ∙
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
Quotiëntregel
&
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓 & (𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔& (𝑥)
: ; =
𝑔(𝑥) (𝑔(𝑥))'
Created by Sebastiaan Oudendijk 5 Aviation Engineering
, Op de afbeelding hiernaast is de functie
𝑓(𝑥) = 𝑥 ' − 2𝑥 weergegeven.
De afgeleide hiervan is 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 2 (somregel).
Merk hierbij op dat hoe groter de waarde van 𝑥 wordt,
hoe steiler de raaklijn wordt. Dat wil dus zeggen als je de
top of het dal van een grafiek wilt berekenen, de afgeleide
gelijk moet stellen aan 0. Op dit punt de raaklijn namelijk
vlak. De richting van de raaklijn in punt 𝑥 = 3 is 4.
Dit kun je controleren door 𝑥 = 3 in te vullen in de
afgeleide.
Als je de afgeleide gelijkstelt aan 0, en oplost voor 𝑥, dan
vind je de coördinaten van de top of het dal.
𝑓 & (𝑥) = 2𝑥 − 2 = 0
2𝑥 = 2
𝑥=1
Dit is te zien in de afbeelding. Door 𝑥 in te vullen in de normale functie 𝑓(𝑥), krijg je de 𝑦-
coördinaat. Dat is (1, −1).
Verdere voorbeelden met betrekking tot afgeleiden
Somregel:
&
3𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)5 = 𝑓 & (𝑥) + 𝑔′(𝑥)
𝑓(𝑥) = 5𝑥 ' + 3𝑥 + 2
𝑓 & (𝑥) = 10𝑥 + 3
Productregel:
&
3𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)5 = 𝑓 & (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔& (𝑥)
𝑓(𝑥) = 5𝑥 ' ∙ 3𝑥
𝑓 & (𝑥) = 10𝑥 ∙ 3𝑥 + 5𝑥 ' ∙ 3
= 30𝑥 ' + 15𝑥 '
= 45𝑥 '
Kettingregel:
𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑢
= ∙
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 3
𝑑𝑓 1 2 1
= ∙2= =
𝑑𝑥 2√2𝑥 + 3 2√2𝑥 + 3 √2𝑥 + 3
Created by Sebastiaan Oudendijk 6 Aviation Engineering
