Summary
Samenvatting VWO Wiskunde A (alle examenstof)
- Course
- Level
Dit is alle stof voor het eindexamen voor vwo wiskunde a
[Show more]
9 reviews
By: huub199279 • 8 months ago
By: mugekayaalp15 • 1 year ago
By: grevenanna • 1 year ago
By: reuscorien • 2 year ago
By: ktervoort • 2 year ago
By: ilsesterke2004 • 2 year ago
By: giulia1 • 3 year ago
Seller
Follow
ek99
Reviews received
Content preview
Voorrangregels Voorbeeld Rekenregels voor machten Voorbeeld 15 − (2 × 42 − 8 + 2 × 6) 23 × 22 = 23+2 = 25
1. Haakjes = 5 − (2 × 16 − 8 + 2 × 6) - 𝑎𝑝 × 𝑎𝑞 = 𝑎𝑝+𝑞
2. Machten en wortels = 5 − (32 − 8 + 12) Voorbeeld 2
3. Vermenigvuldigen en delen = 5 − (36) 𝑎𝑝
= 𝑎𝑝−𝑞 25
-
𝑎𝑞
= 25−2 = 23
4. Optellen en aftrekken = −31 22
- (𝑎𝑝 )𝑞 = 𝑎𝑝×𝑞 Voorbeeld 3
Haakjes wegwerken Voorbeeld 1 (23 )2 = 23×2 = 26
0
- 𝑎 =1
3𝑥(2 + 3𝑥) = 6𝑥 + 9𝑥 2
Voorbeeld 4
- 𝐴(𝑥 + 𝑦) = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 1
Voorbeeld 2 - 𝑎−𝑝 = 70 = 1
𝑎𝑝
- (𝐴 + 𝐵)(𝑥 + 𝑦) = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑥 + 𝐵𝑦 (3 + 𝑥)(2 − 𝑥) = 3 × 2 − 3𝑥 + 2𝑥 − 𝑥 2 = 6 − 𝑥 − 𝑥 2
- (𝑎𝑏)𝑝 = 𝑎𝑝 𝑏 𝑝 Voorbeeld 5
1 3 1 3×1 3
Voorbeeld 3 3 × 2−𝑥 = 3 × = × = =
2𝑥 1 2𝑥 1×2𝑥 2𝑥
(1 + 𝑥) 2 = (1 + 𝑥)(1 + 𝑥) = 1 + 2𝑥 + 𝑥 2
Voorbeeld 6
(5𝑥)2 = 52 ⋅ 𝑥 2
Breuken optellen Voorbeeld 1
1 1 1×5 4×1 5 4 9
+ = + = + =
1 1 1×𝐵 𝐴×1 𝐵+𝐴 4 5 4×5 4×5 20 20 20
- + = + = Machten en wortels
𝐴 𝐵 𝐴×𝐵 𝐴 ×𝐵 𝐴𝐵
Voorbeeld 2 1
1 1 𝐴 1+𝐴 1 1 4 5 𝑞 met 𝑎 > 0
- +1 = + = +1= + = - √𝑎 = 𝑎𝑞
𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 4 4 4 4
- √𝑎𝑏 = √𝑎√𝑏 met 𝑎 ≥ 0 en 𝑏 ≥ 0
𝐶 𝐷 𝐶×𝐵 𝐴×𝐷 𝐶𝐵+𝐴𝐷 Voorbeeld 3
- 𝐴
+ 𝐵 = 𝐴×𝐵 + 𝐴×𝐵 = 𝐴𝐵 2 3 2×6 5×3 12 15 27
5
+ 6 = 5×6 + 5×6 = 30 + 30 = 30 𝑎 √𝑎 met 𝑎 ≥ 0 en 𝑏 > 0
- √𝑏 = √𝑏
- √𝑎 + 𝑏 met 𝑎 + 𝑏 ≥ 0
Breuken vermenigvuldigen Voorbeeld 1
1 5 1 5×1 5
5 × 4 = 1 × 4 = 1×4 = 4
-
𝐵
𝐴 ×𝐶 =1×𝐶 =
𝐴 𝐵 𝐴×𝐵 Wortelvergelijkingen Voorbeeld
𝐶
Voorbeeld 2 √𝑥 + 2 = 𝑥
𝐴 𝐵 𝐴×𝐵 2 3 2×3 6 1 1. Isoleer de wortel
- × 𝐶 = 𝐷×𝐶 × 6 = 5×6 = 30 = 5 2. Kwadrateer beide kanten
𝐷 5 1. √𝑥 = 𝑥 − 2
3. Los op 2. 𝑥 = (𝑥 − 2)2 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4
4. Controleer op oplossingen die niet voldoen 3. 0 = 𝑥 2 − 5𝑥 + 4
Breuken delen → delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde 0 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 4)
𝑥 = 1∨𝑥 = 4
𝐴 𝐶 𝐴 𝐶 𝐴×𝐶
- 𝐵 =𝐴 ×𝐵=1×𝐵= Voorbeeld 4. 𝑥 = 1 voldoet niet!
(𝐶) 𝐵 5 4 5 4 5×4 20
1 = 5 × 1 = 1 × 1 = 1×1 = 1 = 20
(4)
Oplossen van vergelijkingen Voorbeeld
2
8 + 𝑥 = 16 + 3 𝑥
Breuken vereenvoudigen Voorbeeld 1. Werk zoveel mogelijk breuken en haakjes weg
12 3×4 4
= = 2. De onbekende naar links, de getallen naar rechts 2
-
𝐴×𝐵
=
𝐵 15 3×5 5 2. 𝑥 − 3 𝑥 = 16 − 8
𝐴×𝐶 𝐶
3. Uitrekenen wat je overhoudt
1
4. Delen door het getal dat voor de onbekende staat 3. 𝑥=8
3
8
4. 𝑥= 1 = 8 × 3 = 24
3
Algemene vormen van vergelijkingen
- 𝐴×𝐵 = 0 Dan 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0
𝐴
- =0 Dan 𝐴 = 0 en 𝐵 ≠ 0
𝐵
- 𝐴×𝐵 = 𝐴 ×𝐶 Dan 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝐶
𝐴
- =𝐶 Dan 𝐴 = 𝐵 × 𝐶 en 𝐵 ≠ 0
𝐵
- 𝐴2 = 𝐵2 Dan 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = −𝐵
𝐴 𝐶
- =𝐷 Dan 𝐴 × 𝐷 = 𝐵 × 𝐶
𝐵
,Substitueren → vervangen van een getal of uitdrukking Machtsfuncties
- 𝑇 = 7𝑉 + 4 − 5𝑊 Substitueren geeft Functies van de vorm 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 met 𝑛 een geheel getal
met 𝑉 = 2 en 𝑊 = 3 𝑇 = 7×2+4−5×3 = 3
- 𝑂𝑚𝑧𝑒𝑡 = 𝑝𝑟𝑖𝑗𝑠 × ℎ𝑜𝑒𝑣𝑒𝑒𝑙ℎ𝑒𝑖𝑑 = 𝑝 × 𝑞 Substitueren geeft
met 𝑞 = −2𝑝 + 10 𝑂𝑚𝑧𝑒𝑡 = 𝑝 × (−2𝑝 + 10) = −2𝑝2 + 10𝑝
Formules optellen en aftrekken Voorbeeld
Gegeven zijn de formules −6𝑥 + 3𝑦1 = 36 en 24𝑥 + 3𝑦2 = 15
1. Maak de juiste variabelen vrij Bereken het verschil 𝑦1 − 𝑦2
2. Bereken de som of het verschil door te substitueren
→ maak gebruik van haakjes 1. −6𝑥 + 3𝑦1 = 36 24𝑥 + 3𝑦2 = 15
3𝑦1 = 36 + 6𝑥 3𝑦2 = 15 − 24𝑥
𝑦1 = 12 + 2𝑥 𝑦2 = 5 − 8𝑥
2. 𝑦1 − 𝑦2 = (12 + 2𝑥) − (5 − 8𝑥) = 10𝑥 + 7
Functies
- Tweedegraads functies 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Met 𝑎 ≠ 0
(kwadratische functies)
- Hogeremachts functies 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 Met 𝑎 ≠ 0
𝑎
- Gebroken functie 𝑏(𝑥) = 𝑎𝑥 −1 = 𝑥 Met 𝑥 ≠ 0
Functies van de vorm 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 + 𝑏 met 𝑎 > 0
1
- Wortelfuncties 𝑤(𝑥) = √𝑎𝑥 = (𝑎𝑥) 2
Met 𝑎𝑥 ≥ 0
Eigenschappen
𝑡
𝑛 even 𝑛 oneven
- Exponentiële functies 𝐸(𝑡) = 𝑏 ⋅ 𝑔 Met 𝑔 > 0 en 𝑔 ≠ 1 𝑛>1 Domein: alle waarden voor 𝑥 Domein: alle waarden voor 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 + 𝑏 Bereik: 𝑦 ≥ 𝑏 Bereik: alle waarden voor 𝑦
- Logaritmische functies 𝐿(𝑥) = 𝑔log(𝑥) Met 𝑥 > 0 𝑛 ≤ −1 Domein: alle waarden voor 𝑥 ≠ 0 Domein: alle waarden voor 𝑥 ≠ 0
𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 −1 + 𝑏 = + 𝑏 Bereik: 𝑦 > 𝑏 Bereik: alle waarden voor 𝑦 ≠ 𝑏
𝑥
Asymptoot: verticaal 𝑥 = 0 Asymptoot: verticaal 𝑥 = 0
Begrippen horizontaal 𝑦 = 𝑏 horizontaal 𝑦 = 𝑏
- Domein: alle waarden die ingevuld mogen worden voor 𝑥
- Bereik: alle waarden die uit de formule kunnen komen voor 𝑦
Wortelfuncties
- Asymptoot: een lijn waar de grafiek steeds dichterbij komt
Functies van de vorm 𝑓(𝑥) = √𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐 met 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0
- De grafiek zal de asymptoot nooit raken of snijden
- Horizontale asymptoot: 𝑦 = ⋯
- Verticale asymptoot: 𝑥 = ⋯
Eigenschappen
Tweedegraads functie Voorbeeld 𝑏
- Domein: 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 → 𝑥 ≥ − 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 met 𝑎 ≠ 0 𝑥 -2 -1 0 1 2 3 4 - Bereik: 𝑦≥𝑐
𝑓(𝑥) 4 1 0 1 4 9 16
Eigenschappen Verschil -3 -1 1 3 5 7
- Domein: alle waarden voor 𝑥 opeenvolgende
- Bereik: bereken hiervoor de top 𝑦-waarden
- Asymptoot: de lijn waar de grafiek dichtbij komt Verschil 2 2 2 2 2
- Symmetrie: de functie heeft een symmetrie-as door de top opeenvolgende
verschillen
,Exponentiële functies Lineaire formule → 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Voorbeeld
Functies van de vorm 𝐸(𝑡) = 𝑏 ⋅ 𝑔𝑡 met 𝑏 ≠ 0, 𝑔 > 0 en 𝑔 ≠ 1 1. Schrijf de lineaire formule 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 op
2. Bepaal twee punten (𝑥1 , 𝑦1 ) en (𝑥2 , 𝑦2 )
Δ𝑦 𝑦 −𝑦
3. Bereken 𝑎 met 𝑎 = = 2 1
Δ𝑥 𝑥2−𝑥1
4. Bereken 𝑏 door een punt in te vullen
5. Schrijf de formule in zijn geheel op
1. 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
1 1
2. (𝑥1 , 𝑦1 ) = (−1, 7 ) (𝑥2 , 𝑦2 ) = (3, 1 )
Eigenschappen 2
1 1
2
Δ𝑦 𝑦 −𝑦 12−72 −6 1
- Domein: alle waarden voor 𝑥 3. 𝑎 = Δ𝑥 = 𝑥2−𝑥1 = = = −1 2
3−−1 4
- Bereik: 𝑦 > 0 als 𝑏 positief 2 1
1 1
𝑦 < 0 als 𝑏 negatief 4. (𝑥1 , 𝑦1 ) invullen geeft 7 = −1 ⋅ −1 + 𝑏 → 𝑏 = 6
2 2
1
- Asymptoot: de horizontale lijn 𝑦 = 0 5. 𝑦 = −1 𝑥 + 6
2
Voorbeeld
Exponentiële formule → 𝐸 = 𝑏 ⋅ 𝑔𝑡 Voorbeeld
𝑡 0 1 2 3 4
𝐸(𝑡) 400 712 1270 2260 4020 1. Schrijf de exponentiële formule 𝐸 = 𝑏 ⋅ 𝑔 op 𝑡
2. Bepaal twee punten (𝑥1 , 𝑦1 ) en (𝑥2 , 𝑦2 )
𝐸(𝑡+1) 𝑛𝑖𝑒𝑢𝑤
Groeifactor 𝑔 bereken je door = 3. Bepaal de groeifactor 𝑔 per juiste stap
𝐸(𝑡) 𝑜𝑢𝑑
𝐸(1) 712 𝐸(2) 1270 𝐸(3) 2260 4. Bereken begingetal 𝑏 door een punt in te vullen
Hieruit volgt: 𝑔 = 𝐸(0) = 400 ≈ 1,78 𝑔 = 𝐸(1) = ≈ 1,78 𝑔 = 𝐸(4) = 1270 ≈ 1,78
712 5. Schrijf de formule in zijn geheel op
De groeifactor kun je op twee manieren bepalen, met
Logaritmische functies 1. Een tabel of twee punten:
𝑛𝑖𝑒𝑢𝑤
𝑔 = 𝑜𝑢𝑑
𝑔𝑟𝑜𝑒𝑖𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒
Functie van de vorm 𝐿(𝑥) = 𝑔log(𝑥) 2. De groeipercentage: 𝑔 =1+
100
Bepaal altijd de groeifactor per 1 tijdseenheid. Om van 𝑘
1
tijdseenheden naar 1 tijdseenheid te gaan, neem je 𝑔𝑘 .
Stijgende lijn als 𝑔 > 1
Dalende lijn als 0 < 𝑔 < 1
Beiden gaan door het punt (1,0) 1. 𝐸 = 𝑏 ⋅ 𝑔𝑡
2. (𝑥1 , 𝑦1 ) = (1,4) (𝑥2 , 𝑦2 ) = (3,1)
Eigenschappen 𝑛𝑖𝑒𝑢𝑤 1
3. Groeifactor 𝑔 per 2 tijdseenheden: 𝑔 = 𝑜𝑢𝑑 = 4
- Domein: 𝑥>0 1
1 2 1
- Bereik: alle waarden voor 𝑦 Groeifactor 𝑔 per 1 tijdseenheid: 𝑔=( ) =
4 2
- Asymptoot: verticale lijn 𝑥 = 0 1 1
4. (𝑥1 , 𝑦1 ) invullen geeft 4 = 𝑏 ⋅ ( ) → 𝑏 = 8
2
1 𝑡
5. 𝐸 = 8 ⋅ (2)
, Translatie → verschuiven Snijpunten van twee grafieken → oplossen van de vergelijking 𝑦1 = 𝑦2
Los op → Maak gebruik van je GR en optie Intersect.
Algebraïsch → Zonder rekenmachine tot de laatste stap
Exact → Helemaal zonder rekenmachine. Laat wortels, logaritmes e.d. staan en rond niet af.
Horizontaal verschuiven
Naar rechts: 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎) Ontbinden in factoren
Naar links: 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎)
Buiten haakjes halen: 𝑥 2 − 6𝑥 = 0 → 𝑥(𝑥 − 6) = 0
Product-som methode: 𝑥 2 − 9𝑥 + 8 = 0 → (𝑥 − 1)(𝑥 − 8) = 0
ABC formule
Functie van de vorm 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 met 𝑎 ≠ 0
Verticaal verschuiven
1. Bepaal de discriminant 𝐷 = 𝑏 2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐
−𝑏±√𝐷
Naar boven: 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 2. Bepaal 𝑥 = 2⋅𝑎
Naar beneden: 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐
Het aantal oplossingen
- 𝐷<0 Geen oplossingen (want negatieve wortel bestaat niet)
- 𝐷=0 1 oplossing
- 𝐷>0 2 oplossingen
Rekken Exponentiële vergelijking Voorbeeld 1
2𝑥 = 8
1. Herschrijf naar de vorm 𝑥
𝑎 =𝑏 𝑥 = 2log(8) = 3
2. Los op 𝑥 = 𝑎log(𝑏)
Voorbeeld 2
Als er staat ‘los exact op’ dan is 𝑥 = 𝑎log(𝑏) het antwoord. 2𝑥 = 9
𝑥 = 2log(9)
𝑎 log(𝑏)
Vermenigvuldigen t.o.v. de 𝑥-as met 𝑎: 𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑓(𝑥) log(𝑏) is gelijk aan log(𝑎)
Voorbeeld 3
50 + 5 ⋅ 22𝑥−2 = 100
5 ⋅ 22𝑥−2 = 50
22𝑥−2 = 10
22𝑥 ⋅ 2−2 = 10
22𝑥 = 40
(22 ) 𝑥 = 40
4𝑥 = 40
𝑥 = 4log(40)
Rekenregels voor logaritmes Voorbeeld 1
1 2
Vermenigvuldigen t.o.v. de 𝑦-as met 𝑎: 𝑦 = 𝑓 (𝑎 ⋅ 𝑥) log(8) + 2log(4) = 2log(8 ⋅ 4) = 2log(32)
𝑔 𝑔 𝑔
- log(𝑎) + log(𝑏) = log(𝑎 ⋅ 𝑏)
Voorbeeld 2
𝑔 𝑎 8
- log(𝑎) − 𝑔log(𝑏) = 𝑔log (𝑏 ) 2
log(8) − 2log(4) = 2log (4) = 2log(2)
- 𝑛 ⋅ 𝑔log(𝑎) = 𝑔log(𝑎𝑛 ) Voorbeeld 3
3 ⋅ 2log(8) = 2log(83 )
𝑝
𝑔 log(𝑎)
Spiegelen → Vermenigvuldigen t.o.v de 𝑥-as met een 𝑎 < 0 - log(𝑎) = 𝑝
Voorbeeld 4
log(𝑔)
2log(64)
4
log(64) = 2log(4)
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller ek99. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.95. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
60434 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now