Summary
Samenvatting Logica RU (Van der Sandt)
- Course
- Institution
Samenvatting en aantekeningen Syllabus Logica (RU, , Van der Sandt)
[Show more]
1 review
By: eduardderoode • 2 year ago
Seller
Follownowke
Reviews received
Content preview
Inleiding in de logicaSamenvatting
College 1
Hoofdstuk 1
1.1. Het ideaal van Leibniz
Filosofische taal (lingua philosophica) of universeel symbolisme (characteristica universalis) =
menselijk denken in een algemeen systeem inpassen: een kunsttaal waarin ieder teken voor een
gedachte of concept staat en waarin deze tekens vervolgens met formele middelen gemanipuleerd
kunnen worden.
Wilkins en Dalgarno: doel filosofische taal: begrip tussen mensen van verschillende naties bevorderen
en daarmee een bijdrage leveren aan de wereldvrede en handel.
Leibniz: filosofische taal heeft een theoretisch doel:
− Alle denkbare problemen kunnen formuleren;
− Geformuleerde problemen met een rekenprocedure (calculus ratiocinator) verwerken →
problemen beslissen.
Project van Leibniz om een filosofische taal te ontwikkelen heeft verschillende componenten:
− Een encyclopedie van de wetenschappen waarin alle bestaande kennis gesystematiseerd
en samengevat is;
− Ontwikkeling van wetenschappen → kennis opgesplitst in subdisciplines. Leibniz
was een universalist;
− Niets is toevallig, God kent alle ware proposities a priori, dus moeten we
onderlinge verbanden tussen basisnotities van verschillende wetenschappen
rationeel kunnen reconstrueren.
− De lingua philosophica: een kunsttaal waarin ieder probleem precies geformuleerd kan
worden;
− Een rekenmethode ofwel calculus ratiocinator waarmee de in deze taal geformuleerde
problemen vervolgens mechanisch beslist kunnen worden.
Wiskundige formulering van de door God bepaalde harmonie is volgens Leibniz empirie.
Echter leidde de opkomst van de empirische wetenschap tot de visie dat empirisch
onderzoek de basiskennis verschaft, waarna de kennis met formele en aprioristische
middelen gemanipuleerd en gesystematiseerd kan worden.
Gottlob Frege realiseerde het universeel symbolisme in Begriffsschrift (1879). Dit realiseerde echter
niet de calculus ratiocinator: veel problemen konden worden beslist in de universele taal, maar niet
alle problemen. Kurt Gödel (1931): geen logisch systeem kan alle wiskundige waarheden omvatten.
Alonzo Church en Alan Turing (1939): bewijzen onafhankelijk van elkaar dat er geen mechanische
methode is volgens welke alle ware stellingen beslisbaar zijn. → Triomf voor intuïtionisten (menselijk
redeneren is meer dan logisch afleiden) en einde van Leibniz’ doel tot volledige mechaniseerbaarheid
van het denken.
Leibniz ontwikkelt een metafysica volgens welke de wereld bestaat uit monaden: onafhankelijke in
zich gesloten eenheden. Hij propageert het binaire getalsysteem. Hij ontdekt de integraal- en
differentiaalrekening. Ontwikkelde de eerste rekenmachine die kon vermenigvuldigen en delen.
1.2. De erfenis van Aristoteles
Aristoteles (384-322 v. Chr.): twee leerstellingen die de voortgang van de wetenschap aanzienlijk
gehinderd hebben:
1
, 1. Het idee dat dingen een immanente vorm hebben die hen naar hun doel (telos) doet streven.
De doelmatigheid die we in de natuur herkennen, werd verklaard door aan te nemen dat de
uiteindelijke grond der dingen ligt in hun eindoorzaken (hun gerichtheid op een doel). Planten
streven naar het licht, hun wortels naar het water in de grond; een mens heeft ogen om te
kunnen zien i.p.v. een mens ziet omdat hij ogen heeft; hetzelfde geldt voor niet-levende
objecten. De telos of het doel van iets is eenvoudigweg dat wat het in laatste instantie is;
2. De aard van het denken: logisch systeem: syllogisme. Syllogisme is een soort van redenering
die drie categorische proposities bevat, waarvan twee premissen en een conclusie. Het
klassieke voorbeeld hiervan is: ‘Alle mensen zijn sterfelijk; Socrates is een mens; dus Socrates
is sterfelijk.’ Het bijzondere wordt uit het algemene afgeleid (deductie). (Frege liet zien dat
Aristotelische logica niet dé logica is en bood ons een taal met een veel rijkere
uitdrukkingskracht.)
Syllogisme
Aristoteles definieert een syllogisme als een tekst waarin vanuit bepaalde beweringen een andere
bewering met noodzakelijkheid volgt. Deze definitie suggereert dat hij een algemene theorie van
redeneringen biedt. Echter kan zijn systeem slechts omgaan met redeneringen die opgebouwd zijn uit
zinnen van de volgende vier types, de modi genoemd:
A: Alle zoogdieren zijn levendbarend - Universeel bevestigend
E: Geen zoogdier is levendbarend - Universeel ontkennend
I: Sommige zoogdieren zijn levendbarend - Particulier bevestigend
O: Sommige zoogdieren zijn niet levendbarend - Particulier ontkennend
Deze modi zijn in de Middeleeuwen vernoemd naar de eerste twee klinkers in het Latijnse afirmo (‘ik
bevestig’) en nego (‘ik ontken’).
De uitdrukkingen ‘zoogdier’ en ‘levendbarend’ worden hier de termen genoemd. De uitdrukkingen
‘Alle − zijn −’, ‘Sommige − zijn −’, ‘Sommige − zijn niet −’ en ‘Geen − is −’ geven relaties tussen
deze termen aan. Zulke beweringen zeggen iets over de relatie tussen twee klassen. Dit soort
beweringen kunnen we combineren tot redeneringen die bekend staan als syllogismen. Een typisch
voorbeeld is het volgende:
Alle zoogdieren zijn levendbarend. (premisse 1)
Alle mensen zijn zoogdieren. (premisse 2)
Alle mensen zijn levendbarend. (conclusie)
De uitdrukkingen (‘zoogdieren’ en ‘mensen’) kunnen vervangen worden door andere uitdrukkingen.
De gemeenschappelijke structuur van beide redeneringen kunnen we weergeven met behulp van het
volgende schema (redeneerschema genoemd):
Alle M zijn P
Alle S zijn M
Alle S zijn P
Syllogismen bestaan altijd uitsluitend uit A-, E-, I -, en O-zinnen, maar niet iedere aaneenschakeling
van zinnen van deze vorm is een syllogisme:
Een klassiek syllogisme bestaat uit drie zinnen en bevat op zijn hoogst drie verschillende termen.
1. De subjectterm: letter S.
2. De predikaatterm: letter P (dat wat ergens van gezegd wordt: een kwaliteit, eigenschap of gezegde).
3. De middenterm: letter M. Dit is de term die beide premissen gemeenschappelijk hebben
(‘zoogdieren’ in het voorbeeld). In de conclusie keert steeds een term van de eerste premisse en een
term van de tweede premisse terug. Afhankelijk van de positie van de middenterm zijn er vier
patronen (figuren):
2
, 1. 2. 3. 4.
M−P P−M M−P P−M
S−M S−M M−S M−S
S−P S−P S−P S−P
Figuur en modus leggen de vorm van een syllogisme eenduidig vast.
In het voorbeeld is de combinatie van modi AAA.
Het aantal mogelijke combinaties van modi per figuur is 43, dus 64.
Er zijn 4 figuren, dus 4 × 64, dus 256 vormen in totaal. Aristoteles accepteerde 14 vormen als geldig.
De geschriften van Aristoteles suggereren dat iedere geldige redenering door middel van syllogismen
weergegeven kan worden. Dit is onjuist, zoals de volgende redeneringen laten zien:
1. 3.
Als Socrates een mens is, is hij sterfelijk. Als A dan B
Socrates is een mens. A
Socrates is sterfelijk. B
2. 4.
Of de butler of de tuinman heeft de moord gepleegd. A of B
De tuinman heeft de moord niet gepleegd. Niet B
De butler heeft de moord gepleegd. A
Iedere invulling van deze schema's geeft een geldige redenering. De geldigheid van de redeneringen is
niet afhankelijk van de interne structuur van zinnen, maar wordt bepaald door de wijze waarop de
samenstellende zinnen verbonden worden door woorden als ‘niet’, ‘als … dan’ en ‘of’. De variabelen
staan hier voor zinnen, terwijl ze bij Aristoteles voor termen (zinsdelen) staan.
De Stoïcijnen (± 400-200 v. Chr.) ontwikkelden een logica waarin de variabelen staan voor zinnen.
Deze logica kan dus redeneringen zoals bovenstaande behandelen: zinslogica. Chrysippus van Sole (±
280-205 v. Chr.) poneerde vijf fundamentele redeneerschema’s:
1. Als A dan B, echter A; dus B (voorbeeld 1).
2. Als A dan B, echter niet B; dus niet A.
3. Niet zowel A als B, echter A; dus niet B.
4. Of A of B, echter A; dus niet B.
5. Of A of B, echter niet B; dus A (voorbeeld 2).
1.3. Het Grieks deductieve ideaal
In de Academie van Plato (427-347 v. Chr.) gingen de studie van filosofie en wiskunde hand in hand.
Het centrale onderwerp was meetkunde. Vermoedelijk bestonden er in de Academie reeds tekstboeken
die bestaande meetkundige kennis systematiseerden en waarin meer geavanceerde meetkundige
stellingen uit eenvoudigere afgeleid werden. Dit is de deductieve methode.
Euclides (± 325-265 v. Chr.): wiskundige. Wist op basis van een paar zorgvuldig gekozen axioma's
zo'n 500 stellingen af te leiden.
De Grieken zagen dat stellingen van de meetkunde onderling gerelateerd zijn. Sommige stellingen
kunnen uit andere afgeleid worden op basis van louter logisch redeneren. Het idee ligt dan voor de
hand om bepaalde stellingen te selecteren, deze als uitgangspunt te nemen en de andere daaruit af te
leiden. Dit stelt ons in staat bekende stellingen aan andere te relateren.
Axioma’s: uitgangsstellingen. Worden niet bewezen, maar als gegeven aangenomen.
Theorema’s: afgeleide stellingen.
Belangrijk is dat:
− de bewijsvoering zelf geen gebruik maakt van andere informatie dan de axioma’s en
theorema’s. Wanneer de resultaten worden geconfronteerd met de fysische werkelijkheid,
zal blijken dat deze de werkelijkheid perfect beschrijven;
3
, − de bewijsvoering onafhankelijk is van het object van onderzoek, ofwel: de bewijsvoering
dient puur logisch te zijn;
− alle begrippen van tevoren gegeven of gedefinieerd zijn;
− Sommige primitief: niet gedefinieerd; we veronderstellen dat ze direct intuïtief
duidelijk zijn;
− Overige worden in termen van de basisbegrippen gedefinieerd.
Vb:
Definitie: ‘Een punt is datgene wat geen delen heeft.’
Algemene stelling: ‘Dingen die beide gelijk zijn aan een ander ding, zijn gelijk aan elkaar.’
Postulaat: ‘Door twee punten gaat één rechte lijn.’
Algemene stellingen en postulaten zijn beide vormen van axioma’s. Het verschil is dat axioma’s
algemener zijn/breder gebruikt worden (voor alle wetenschappen) en dat postulaten voor een zeer
beperkt vakgebied worden gebruikt.
1.3.1. Een scheiding der geesten
Om een wetenschap deductief op te bouwen dient aan twee eisen te worden voldaan:
− De logische taal moet voldoende uitdrukkingskracht hebben om de stellingen van de
wetenschap in kwestie te formuleren;
− Het logische systeem dient krachtig genoeg te zijn om alle geldige stellingen af te leiden.
5e eeuw na Christus einde aan antieke beschaving, waarvoor de dood van Hypathia (375-415; filosofe,
wiskundige, astronome) door christenen symbool staat.
642: moslims verbranden manuscripten. Deze waren in strijd met de leerstellingen van de profeet.
Eeuwen daarop: Arabieren en Hindoes spelen belangrijke rol in ontwikkeling van wiskunde →
bereikten westerse christenen → invloed op middeleeuwse scholastici: koestering van Aristotelische
logica.
Renaissance: Griekse wiskunde krijgt weer voeten aan de grond (Descartes, Spinoza, Leibniz).
Descartes en Bacon: Aristotelische logica is nutteloos.
Kant: bewondering voor Aristotelische logica.
18e – 19e eeuw: Aristotelische systeem geïnterpreteerd als psychologische manier van denken. De
studie van logica werd onderscheiden in drie delen:
− Leer van de termen;
− Leer van de propositie;
− Leer van het syllogisme.
Hiermee corresponderend zou de mens over drie soorten mentale operaties beschikken: direct inzicht,
oordeel en redeneren.
Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770-1831): het feit dat logica sinds 2000 jaar geen vorderingen
heeft gemaakt, pleit voor een totale ‘herwerking’ (correctie). Herwerking door logica te herdefiniëren
als algemene metafysica. Hij stelt de preoccupatie met ‘technische manipulaties’ aan de kaak en
bestrijdt het idee dat we de vorm van een oordeel van haar inhoud kunnen scheiden. → Verdwijning
van de centrale verworvenheid van Aristoteles dat redeneerprocessen te verklaren zijn op basis van
onafhankelijk gegeven logische vormen. Zo ook het idee van Leibniz van een universele taal waarin
we kennis coderen en verwerken. Hierna een bloei van wiskunde en natuurwetenschappen in
Duitsland.
In Engeland kreeg de logica nieuwe impulsen. George Boole (1815-1864): van mening dat de
structuur van redeneren afhankelijk is van de structuur van de taal. Ook was hij van mening dat de
structuur van de taal de structuur van algebraïsche formules weerspiegelt en dat redeneren in de
natuurlijke taal zo met algebraïsche middelen verantwoord kan worden.
Het systeem dat Boole ontdekte, is algemeen genoeg om op tal van verschillende domeinen
toepasbaar te zijn. Ook had hij de opvatting dat logica onderdeel is van de wiskunde, waardoor het
4
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller nowke. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.88. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
53068 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now