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Ejercicios de Lógica Modal
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En este documento se proporcionan una serie de ejercicios sobre Lógica Modal de la asignatura Cuestiones Especiales de Lógica.
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CarmenGH
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Ejercicios de lógica modal1.- Determine cuáles de las siguientes cadenas son fbfs y cuáles no:
Son fórmulas: p, p ∧ q, ◻(p →(◊q →p)), p →◊◻◊(p ∧ ◻q).
No son fórmulas: pq, p◻p, p →◊(◻)(p ∧ ◻q)
2- Calcula el conjunto de subfórmulas de las siguientes fórmulas:
• ◻◻p: {p, ◻p, ◻◻p}
• ◊◻(p → ◊q): {q, ◊q, p → ◊q, p, ◻(p → ◊q), ◊◻(p → ◊q)}
• ◻p → ◻p: {p, ◻p, p → ◻p, ◻p → ◻p}
• p →(◻r ∧ ◊(p ∨ ◻◊q)): {q, ◊q, ◻◊q, p, p ∨ ◻◊q, ◊(p ∨ ◻◊q), r, ◻r, ◻r ∧ ◊(p ∨ ◻◊q), p
→(◻r ∧ ◊(p ∨ ◻◊q))
3.- ¿Cuál es la lectura intuitiva de las fórmulas del ejercicio 1 si tenemos que “p” es “llueve” y
“q” es “hace calor”?
p: llueve.
p ∧ q: llueve y hace calor.
◻(p →(◊q →p)): es necesario que si llueve, entonces es posible que si hace calor, entonces
llueva.
p →◊◻◊(p ∧ ◻q): si llueve, entonces es posible que sea necesario que sea posible que llueva y
que haga calor sea necesario.
4.- Simbolice las siguientes proposiciones:
• Si llueve, entonces las calles se mojan, pero esto no es necesario: (p → q) ∧ ¬◻(p → q)
• Si cierto que, si es posible que Juan venga a la fiesta, entonces es posible que venga
María; entonces es posible que, si Juan viene a la fiesta, María venga también: (◊p →
◊q) → ◊(p → q)
• Es contingente que mañana haya una batalla naval en Pedregalejo si y solo si es
posible que la haya y que no la haya: ¬◻p ↔ ◊(p ∧ ¬p)
5.- Representa gráficamente la estructura М1 := <{w0, w1, w2, w3}, {<w0, w1>, <w0, w2>, <w2,
w2>, <w3, w2>}>
W0 W1 W2 W3
6.- Sea M = <W, R, V> un modelo cualquiera, wϵW un mundo de dicho modelo y sea ϕ una
fórmula cualquiera. Demuestre que si w es un mundo final, entonces M, w ⊧ ◻ϕ y M, w ⊭ ◊ϕ
Dado el modelo M= <W, R, V> y un mundo wϵW, decimos que w es un mundo final si y solo si
no existe ningún w’ ϵ W tal que wRw’. De este modo, suponiendo que se cumple M, w ⊧ ◻ϕ,
por la definición de ◻ ϕ decimos que es válido si todo al mundo al que accede se da ϕ. Como
hay un mundo final el cual no accede a ningún otro mundo, decimos que no hay algún caso en
el que no se de ϕ. Por esto, como no encontramos ningún contraejemplo, ◻ϕ es trivialmente
verdadera. En conclusión, es cierto que M, w ⊧ ◻ϕ.
Por último, según la definición de mundo final, dicha anteriormente, decimos ◊ϕ no se
encuentra de ningún modo; no es válida porque no hay algún mundo accesible desde nuestro
, mundo final en el que se de ϕ. Como no hay ningún mundo en el que se encuentre ϕ, ϕ es
imposible que se dé. En conclusión, M, w ⊭ ◊ϕ.
7.- Sea M = <W, R, V> donde W = {w0, w1, w2}, R = {<w0, w0>, <w0, w1>, <w2, w2>} y donde V es
tal que V(p) = {w1, w2} y V(q) = {w0}. Determine si las siguientes fórmulas son verdaderas en
cada mundo del modelo:
q p
w0 w1
p w2
En M, w0 son todas verdaderas: ⊧ p → q, ⊧ ◊◊(p → q), ⊧ ◊(p → ◻q), ⊧ ◻(p ∧ q) ↔ ◻(p ∨ q), ⊧
◻p → q.
En M, w1 es verdadera: ⊧ ◻(p ∧ q) ↔ ◻(p ∨ q). Y son falsas: ⊭ p → q, ⊭ ◊◊(p → q), ⊭ ◊(p →
◻q), ⊭ ◻p → q, ⊭ ◻(p ∧ q) ↔ ◻(p ∨ q)
En M, w2 son todas falsas: ⊭ p → q, ⊭ ◊◊(p → q), ⊭ ◊(p → ◻q), ⊭ ◻p → q, ⊭ ◻(p ∧ q) ↔ ◻(p
∨ q)
8.- Sea M = <{ w1, w2, w3, w4, w5}, R, V> donde R es tal que wiRwj si y solo si j = i + 1 y V(p) = {w2,
w3}, V(q) = W y V(r) = Ø. Usando el algoritmo de chequeo de modelos, determine si son, en qué
mundo son ciertas las siguientes fórmulas:
q pq pq q q
w1 w2 w3 w4 w5
En M, w1 son verdaderas: ⊧ ◊q, ⊧ ◻p, ⊧ q ∧ ◊(q ∧ ◊(q ∧ ◊(q ∧ ◊q))), ⊧ ◊(p ∧ ¬r). Y falsa: ⊭ ◊◻p
→p
En M, w2 son verdaderas: ⊧ ◊q, ⊧ ◻p, ⊧ ◊(p ∧ ¬r), ⊧ ◊◻p → p.
Y son falsas: ⊭ q ∧ ◊(q ∧ ◊(q ∧ ◊(q ∧ ◊q)))
En M, w3 son verdaderas: ⊧ ◊q, ⊧ ◊◻p → p
Y son falsas: ⊭ ◻p, ⊭ ◊(p ∧ ¬r), ⊭ q ∧ ◊(q ∧ ◊(q ∧ ◊(q ∧ ◊q)))
En M, w4 son verdaderas: ⊧ ◊q.
Y son falsas: ⊭ ◻p, ⊭ ◊(p ∧ ¬r), ⊭ ◊◻p → p, ⊭ q ∧ ◊(q ∧ ◊(q ∧ ◊(q ∧ ◊q)))
En M, w5 son verdaderas: ⊧ ◻p, ⊧ ◊◻p → p.
Y son falsas ⊭ ◊p, ⊭ ◊(p ∧ ¬r), ⊭ q ∧ ◊(q ∧ ◊(q ∧ ◊(q ∧ ◊q)).
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