Le chapitre sur les limites de fonction en analyse mathématique explore la notion de limite d'une fonction en un point ou à l'infini, un concept clé pour comprendre le comportement des fonctions lorsque les valeurs d’entrée s’approchent d’un certain point. Ce chapitre aborde les définiti...
3.1 Limite in
nie en l'in
ni
3.1.1 Dé
nition
Dé
nition 1
Soit f une fonction dé
nie sur un intervalle de la forme ]α, +∞[ ou [α, +∞[.
1. On dit que f tend vers +∞ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout inter-
valle de la forme ]A, +∞[ contient f (x) pour x positif assez grand. On écrit alors
lim f (x) = +∞.
x→+∞
2. On dit que f tend vers −∞ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout inter-
valle de la forme ]−∞, A[ contient f (x) pour x positif assez grand. On écrit alors
lim f (x) = −∞.
x→+∞
Pour tout réel A, f (x) > A dès que x est Pour tout réel A, f (x) < A dès que x est
su
samment grand lim f (x) = +∞ su
samment grand lim f (x) = −∞
x→+∞ x→+∞
Dé
nition 2
Soit f une fonction dé
nie sur un intervalle de la forme ]−∞, α[ ou ]−∞, α].
1. On dit que f tend vers +∞ quand x tend vers −∞ si et seulement si tout intervalle
de la forme ]A, +∞[ contient f (x) pour x négatif assez grand en valeur absolue. On
écrit alors lim f (x) = +∞.
x→−∞
2. On dit que f tend vers −∞ quand x tend vers −∞ si et seulement si tout intervalle
de la forme ]−∞, A[ contient f (x) pour x négatif assez grand en valeur absolue. On
écrit alors lim f (x) = −∞.
x→−∞
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, Pour tout réel A, f (x) > A dès que x est négatif Pour tout réel A, f (x) < A dès que x est négatif
et su
samment grand en valeur absolue et su
samment grand en valeur absolue
lim f (x) = +∞ lim f (x) = −∞
x→−∞ x→−∞
3.1.2 Limites de référence in
nies en l'in
ni
Théorème 3
1. a. Pour tout entier naturel non nul n, x→+∞
lim xn = +∞
b. Pour tout entier naturel non nul p, lim x2p = +∞ et lim x2p+1 = −∞ ou
x→−∞ x→−∞
encore, pour tout entier naturel non nul n,
+∞ si n est pair
®
lim xn =
x→−∞ −∞ si n est impair
√
2. lim
x→+∞
x = +∞
√
Démonstration. Nous allons démontrer que lim x = +∞ et que lim x2 = +∞
x→+∞ √ x→−∞
• Soit A un réel. Si A < 0, alors pour √tout réel
√ x ⩾ 0, x > A. √
Si A ⩾ 0, alors pour x √ ⩾ A2 , on a x > A2 (par stricte croissance de la fonction t 7→ t
sur [0, +∞[) ou encore x > A. √
Ainsi, tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient x pourvu que x soit su
samment grand
et donc √
lim x = +∞
x→+∞
• Soit A un réel. Si A < 0, alors pour tout
√ réel x, x2 > A. √ 2
2
Si A ⩾ 0, alors pour tout réel x ⩽ − A, on a x > (− A) (par stricte décroissance de la
fonction t 7→ t2 sur ]−∞, 0]) ou encore x2 > A.
Ainsi, tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient x2 pourvu que x soit négatif et su
samment
grand en valeur absolue. Donc
lim x2 = +∞
x→−∞
■
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