Le cours sur les suites porte sur des séquences ordonnées de nombres définis selon une règle précise. Il explore les différents types de suites (arithmétiques, géométriques, etc.), leur définition explicite ou récurrente, et les méthodes pour analyser leur comportement (convergence, div...
1.1 Raisonnement par récurrence
Théorème 1
On veut prouver qu'une certaine propriété P (n), dépendant d'un entier naturel n, est vraie
pour tout entier naturel n.
Si
• P (0) est vraie,
• pour tout entier naturel n, P (n) vraie implique P (n + 1) vraie,
Alors
pour tout entier naturel n, P (n) est vraie.
Démonstration. Ce théorème est admis ■
Il se peut que la propriété P (n) ne soit pas vraie pour quelques valeurs de n parmi les premières et
ne commence à être vraie qu'à partir d'un certain rang n0 auquel cas on utilise le théorème suivant :
Théorème 2
On veut prouver qu'une certaine propriété P (n), dépendant d'un entier naturel n, est vraie
pour tout entier naturel n supérieur ou égal à un certain entier naturel n0 .
Si
• P (n0 ) est vraie,
• pour tout entier naturel n ⩾ n0 , P (n) vraie implique P (n + 1) vraie,
Alors
pour tout entier naturel n ⩾ n0 , P (n) est vraie.
Démonstration. Ce théorème est admis ■
L'étape qui consiste à véri
er que P (n0 ) est vraie s'appelle l'initialisation et l'étape qui consiste
à véri
er que pour tout n ⩾ n0 , si la propriété P (n) est vraie alors la propriété P (n + 1) est
vraie s'appelle l'hérédité ou encore cette étape consiste à véri
er que la propriété est héréditaire.
L'hypothèse faite dans l'hérédité à savoir si P(n) est vraie s'appelle l'hypothèse de récurrence.
6
, 1.2 Limites d'une suite
1.2.1 Dé
nition de la convergence d'une suite
Dé
nition 3
Soient (un )n∈N une suite de nombre réels et ℓ un nombre réel.
On dit que la suite (un )n∈N a pour limite ℓ quand n tend vers +∞ ou aussi que la suite
(un )n∈N converge vers ℓ si et seulement si tout intervalle ouvert non vide contenant ℓ
contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Si la suite (un )n∈N a une limite ℓ qui est un réel, on dit que la suite (un )n∈N converge ou
que la suite (un )n∈N est convergente.
Dans le cas contraire, on dit que la suite (un )n∈N diverge ou que la suite (un )n∈N est
divergente.
Interprétation graphique On place ℓ sur l'axe des ordonnées puis on se donne un intervalle
ouvert I quelconque contenant ℓ. A partir d'un certain rang p dépendant de l'intervalle I que l'on
s'est donné, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle I . Pour n'importe quel intervalle
ouvert I contenant ℓ, aussi petit soit-il, on peut fournir un tel rang p.
an
ℓ
p n
Théorème 4
Si la suite (un )n∈N converge, le nombre ℓ de la dé
nition 7 est unique.
Démonstration. Soit (un )n∈N une suite réelle convergente. Supposons que la suite (un )n∈N converge
à la fois vers le réel ℓ et vers le réel ℓ′ où de plus ℓ < ℓ′ .
Soit ϵ = ℓ−ℓ un réel strictement positif.
′
2
Posons I1 = ]ℓ − ϵ; ℓ + ϵ[ et I2 = ]ℓ′ − ϵ, ℓ′ + ϵ[. Les intervalles I1 et I2 sont disjoints ou encore les
intervalles I1 et I2 n'ont aucun nombre réel en commun
ℓ ℓ + ϵ = ℓ′ − ϵ ℓ′
I1 I2
′
ϵ = (ℓ − ℓ )/2
(ℓ − ℓ′ ) = 2ϵ
7
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