Samenvatting statistiek 1 - deel 4 normale verdeling en toetsing

Les 1: descriptieve of beschrijvende statistiek

Lineaire transformaties

 Moeilijk om variabelen in verschillende eenheden te gaan vergelijken met elkaar

Transformeren = omzetten in dezelfde meeteenheid
→ Nodig om ze vergelijkbaar te maken met waarden van andere variabele

1. Lineaire transformaties
o Enkel rekenkundige bewerkingen
o Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen

2. Non-lineaire transformaties
o Kwadrateren van waarden van variabele

Constante bij alle waarden van variabele optellen of aftrekken → gemiddelde verandert op dezelfde
manier mee, variantie blijft onveranderd

Standaardiseren van variabelen

 Wanneer transformeren niet altijd makkelijk is
 Bv. gewicht vergelijken met lengte

Standaardiseren = alle waarden (Xi) van een variabele transformeren zodat gemiddelde 0 wordt en
de standaardafwijking → X = 0, S = 1

Z-score = nieuw gevormde waarden, standaardscores

Xi = specifieke waarneming/waarde
X = gemiddelde
S = standaarddeviatie



 Eenheden van de variabelen moeten eenheidsloos worden
 Eenheden in de teller en noemer vallen weg
 Hoe verder de z-score van het nulpunt verwijdert is, hoe meer we waarden als extreem
kunnen beschouden

Meeteenheid z-score
 Uitgedrukt in aantal standaardafwijkingen dat waarde zich bevindt van gemiddelde
 Frequentiekromme van z-scores met normale vorm wordt de standaardnormaalverdeling of
de z-verdeling genoemd
Standaardnormaalverdeling = verdeling
die zich verdeelt rond 0

1

,Standaarddeviatie = onder de curve heb
je 100 % of 1




Les 2: inferentiële of inducatieve statistiek

Belang van de normale verdeling

Histogrammen en numerieke mate (gemiddelde) gebruiken om verdeling van respondenten over
mogelijke waarden van metrische variabele te beschrijven

Dichtheidskromme
 Op histogram → zo dicht mogelijk bij balkjes aansluiten
 Oppervlakte onder kromme = proporties (relatieve percentages) van aantal eenheden
 Volledige oppervlakte onder kromme = 100 % van alle respondenten

Vorm van dichtheidskromme
 Voor elke variabele en elke steekproef uniek
 MAAR benadert bij metrische variabelen vaak de normale verdeling
o Klokvormug, ééntoppig en symmetrisch rond gemiddelde
 Vb. gewicht, lengte, bloedsuiker, IQ

Normale verdeling = vertoont telkens grootste aantal waarnemingen rond het gemiddelde

Hoe verder weg van gemiddelde in het midden
 Hoe minder respondenten
 Hoe minder een waarde voorkomt → hoe
extremer waarden

Voorbeeld:
Gewicht = weinig mensen met extreem hoog/laag
gewicht, meeste mensen zitten niet ver van gemiddelde
Lengte, bloeddruk of intelligentievermogen = normaal verdeelde variabelen

Kenmerken normale verdeling

 50 % v/d waarnemingen liggen onder gemiddelde
 50 % v/d waarnemingen liggen boven gemiddelde




68 – 95 – 99,7 – vuistregel
 68 % v/d waarden bevindt zich op minder dan één standaardafwijking vn het gemiddelde

2

,  95 % v/d waarden bevinden zich op minder dan 2 standaardafwijkingen vn het gemiddelde
 99,7 % v/d waarden bevinden zich op minder dan 3 standaardafwijkingen vn het gemiddelde

= zo makkelijk uitspraken doen over verdeling v/d waarden van eender welke normaal verdeelde
variabele, als we gemiddelde en standaardafwijking weten




Voorbeeld:
‘Variabele gewicht is normaal verdeeld, met gemiddelde (x) = 80 kg & standaarddeviatie = 10 kg’

68 % ligt tussen X – 1 s = 70 En X + 1 s = 90
95 % ligt tussen X – 2 s = 60 En X + 2 s = 100
99, 7 % ligt tussen X – 3 s = 50 En X + 3 s = 110

Adhv vuistregel kan je zeggen dat 68 % van de respondenten in steekrpoef meer dan 70 en minder
dan 90 kg weegt.

Beperkingen
Vb. hoeveel % v/d respondenten links van 94 kg en hoeveel % rechts
= exacte waarde in de verdeling

Oplossing
 Scores standaardiseren
 Dichtheidskromme = standaardnormale verdeling of z-verdeling
o Je weet bij benadering dat variabele normaal verdeelt is, dan kan je waarden
standaardiseren via berekenen v/d z-scores
o Klokvormige verdeling zoals normale verdeling, maar met gemiddelde van 0 en
standaardafwijking van 1 + mate van vorm = scheefheid & kurtosis van 0
 Scheefheid van 0 → 100 % symmetrisch
 Kurtosis van 0 → geen te spitse of vlakke top v/d curve


3

,Kennis over standaardnormale dichtheidskromme
= genoeg voor uitspraken over eender welke normaal verdeelde variabele

Voorbeeld uitwerken:
Vb. hoeveel % v/d respondenten links van 94 kg en hoeveel % rechts

 Gemiddelde gewicht = 80 kg
 Standaarddeviatie gewicht = 10 kg

1. Z-score gewicht berekenen




2. Kijken in tabel van standaardnormale verdeling (z-tabel)
o Z = 1, 40 → 91,92 % weegt minder dan 94 kg
o 8,08 % (100 – 91,92) weegt meer dan 94 kg

3. 1e kolom = z-waarde zoeken obv steekproefgegevens (stap 1)
2e kolom = info over hoe groot proportie onder z-verdeling
links is van z-score
3e kolom = info over hoe groot proportie onder z-verdeling
rechts is van z-score

Kennis van verdelingsvorm van onderzochte variabele
= vereiste om inferenties te kunnen maken over populatie obv een steekproef

 Andere gekende verdelingen naast de normale verdeling
 Vb. binominale, students t-verdeling, bernoulli- of poisson-verdeling




T-verdeling
 Lijkt harder op normaalverdeling
 Meer afgeplat in midden
 Er zitten minder gegevens rond het gemiddelde
 Gebruiken bij kleinere steekproeven

Steekproevenverdeling en centrale limietstelling

Steekproeffout



4

,  Aangezien een steekproef slechts een deel is van de populatie, kunnen de waarden van
grootheden in de steekproef afwijken van de waarden van de populatieparameter
 Het verschil tussen de steekproefuitkomst en de werkelijke populatiewaarde vanwege het
feit dat er een steekproef is getrokken
 Naarmate n groter is, benadert het gemiddelde van de steekproef dit van de populatie en is
de fout kleiner

‘Hoe groter steekproef is, hoe groter gemiddelde van de steekproef het gemiddelde van de populatie
zal benaderen (= erop lijken)

Belangrijk: standaardafwijking  standaardfout (SE)
 Standaardafwijking = spreidingsmaat voor de steekproefverdeling van variabelen
 Standaardfout = spreidingsmaat voor de steekproevenverdeling van variabelen
o Speciale naam voor de ‘standaardafwijking’ van een steekproevenverdeling
 Vb. steekproevenverdeling van

Inferentiële statistiek gaat over kansen
 Populatieparameter = onbekend
 MAAR uitspraak mogelijik met een bepaalde zekerheid of kans, o.b.v. steekproef

Frequentieverdelingen → kansverdelingen
 Kans dat een bepaalde waarde bij een variabele voorkomt
o Vb. ‘hoeveel % v/d respondenten weegt minder dan 94 kg’
 Wat is de kans dat een respondent minder dan 94 kg weegt
 Nieuwe verdeling nodig om interventies te maken → steekproevenverdeling

Verdelingen
 Populatieverdeling
o Verdeling van variabele in de populatie
o Waarden zijn zo goed als altijd onbekend, proberen schatten
 Steekproefverdeling
o Verdeling van variabele in de steekproef
o Waarden zijn altijd bekend, kunnen allemaal berekend worden
 Steekproevenverdeling
o Verdeling vn alle mogelijke steekproeven met zelfde n over een steekproefgrootheid
o ‘gedrag’ van steekproefgrootheid bij onbeperkt aantal trekkingen
o Vooraleer starten met inducatieve statistiek → studie van steekproevenverdeling van
gangbare steekproefgrootheden



Steekproevenverdeling = geeft weer hoe steekproefgrootheden variëren bij een onbeperkt aantal
herhaalde steekproeftrekkingen (theoretische verdeling) uit zelfde populatie met telkens zelfde
steekproefomvang (n)

 Vb. verdeling van steekproefgemiddelden

5