Les 1 Independent samples t-toets
Wanneer de standaarddeviatie σ onbekend is kan een sample standaarddeviatie s worden gebruikt.
s wordt gebruikt als schatting van de SD van x . Omdat het een schatting is, is het belangrijk rekening
te houden met een foutmarge, error:
s
S E x=
√n
Wanneer SD onbekend is en we werken met een schatting. Hierdoor kan het geen normale
distributie hebben, maar een t-distributie.
x−μ
De formule van 1-sample t statistiek is: t= t distributie met n-1 vrijheidsgraden (df)
s ∕ √n
T-toets is onzekerder dan een z-toets, want de t-score is gebaseerd op een schatting van s je krijgt
dan een bredere steekproevenverdeling. De breedte is afhankelijk van vrijheidsgraden (df). Hoe
groter de steekproef hoe meer t-verdeling gaat lijken op z-verdeling. Als n > 100 wordt t gelijk aan z.
Voor een significant resultaat heb je bij t-toets grotere waardes nodig dan bij z-toets, staart groter.
Standaardnormaalverdeling (z)
t-verdeling met df= 5 (n=6)
De t-waardes vind je terug in Tabel D, geen exacte p-waarde maar waar t ligt tussen die 2 waarden.
Zonder z kan je geen betrouwbaarheidsinterval vinden, dan gebruik je ook t in de formule:
¿ sx
Voor betrouwbaarheidsintervallen met t: x ± t ⋅
√n
t* waarde waarbij het oppervlak onder de t-verdeling met n–1 vrijheidsgraden tussen –t* en t*,
gelijk is aan C% (percentage dat je wilt weten) = grens betrouwbaarheidsinterval
Als t* < is dan t-waarde is het significant.
,Powerpoint
multimethod research: verschillende benaderingen of methodes om resultaten te werven.
Subject variabelen: onafhankelijke variabelen die we niet kunnen manipuleren, zoals oogkleur.
Matched subject design: mensen verdelen in groepen op basis van relevante subject variabele. Hierin
maak je paren die je random gaat verdelen over condities.
Oneway within subjects design: experimenteel design waarin alle participanten alle condities
doorlopen waardoor je het individu kan vergelijken met zichzelf.
Repeated measure design: meerdere malen herhalen. Meer power door gelijke groepen en je
hebt minder deelnemers nodig. Nadeel is de volgorde, practice fatigue en sensitization. Dit kan je
oplossen door counterbalancing, door te husselen in de volgorde van taken.
Paired samples t-toets
Paired samples toets meet verschillen tussen 2 metingen bij dezelfde proefpersoon. Oftewel oneway
within subject meting. Er wordt gekeken of het gemiddelde verschil afwijkt van 0.
De toets kent een aantal voorwaarden:
- 1 afhankelijke variabele Hij is continu (interval of ratio)
- 1 onafhankelijke variabele afhankelijke groepen, dezelfde persoon is 2x gemeten
2 scores waarin je wilt weten hoe significant ze van elkaar verschillen. De formule hiervoor:
d
t=
s d ∕ √n
d is het gemiddelde verschil
sd is de standaard deviatie van d
MMC 7.2
Variatie van verschil x 1−x 2 is:
2 2
σ1 σ 2
+
n 1 n2
Stel dat x 1het gemiddelde is van een SRS (simple random sample) van een grootte van n1 als je dan
een twee sample z-toets wilt krijg je:
( x 1−x 2 )−( μ1 −μ 2 )
z=
√
2
σ 1 +σ 2
n1 n2
Bij een t-toets is het precies hetzelfde, maar verander je σ in s.
Voor een two-sample t-toets interval gebruik je:
√
2 2
¿ s 1 s2
( x 1−x 2 ) ±t +
n 1 n2
, Cohen’s d voor effectgrootte
Hierin is µ het gemiddelde van beide populaties met dezelfde σ . Om Cohen’s effect te meten is de
formule: d=
|μ1 −μ 2| of d=|x 1−x 2|
σ sp
Het is lastig te bepalen welke σ je moet gebruiken, sommige geven aan dat de je hierin de
controlegroep kan gebruiken. Wanneer dit ook niet bekend is kan je s p gebruiken, deze formule is
voor 2 zijdige hypothese die onafhankelijk zijn. waardoor je deze formule krijgt:
s p=
√ ( n1 −1 ) s21 + ( n2−1 ) s 22
n1+ n2−2
Voor een paired samples toets kan je Cohen’s d gebruiken door:
|x1 −x2|
d=
Sd ∕ √ 2 ( 1−r )
MMC 15.1 & 15.2 Wilcoxon test
Er zijn nog andere niet-parametrische procedures die geen specifieke vorm voor de verdeling van de
populatie vereisen. In tegenstelling tot bootstrap- en permutatiemethoden maken gewone niet-
parametrische procedures geen gebruik van de feitelijke waarden van de waarnemingen. Hieruit kan
je door middel van rangschikken alsnog uitspraken maken. Ze vervangen dus ook de t-toetsen.
Setting Normale toets Rank test
One sample One-sample t-toets Wilcoxon signed rank test
Matched pairs Past one-sample toets toe aan verschillen in paren
2 onafhankelijke samples Two-sample t-toets Wilcoxon rank sum test
Om rank tests uit te voeren moet eerst alle data gerangschikt worden, met rank 1 de kleinste
observatie.
Voor wilcoxon’s rank sum toets zouden de 2 populaties dezelfde continue distributie behouden
waardoor deze formule gebruikt kan worden:
n1 ( N +1 )
μw = hierin is N de totale observaties oftewel n1+n2.
2
σ w=
√ n1 n2 ( N +1 )
12
voor de standaard deviatie.
n1
W is de som van de rangnummers uit één groep: W =∑ rank ( x i )
i=1
Bij 2 dezelfde waardes krijg je een ‘tie’ dus als beide waardes rank 2 zouden hebben wordt het 2,5 en
ga je verder ranken naar 4.
Op een gegeven moment begint W te lijken op een normaalverdeling waardoor je ook een z-
statistiek kan uitrekenen door:
Wanneer de standaarddeviatie σ onbekend is kan een sample standaarddeviatie s worden gebruikt.
s wordt gebruikt als schatting van de SD van x . Omdat het een schatting is, is het belangrijk rekening
te houden met een foutmarge, error:
s
S E x=
√n
Wanneer SD onbekend is en we werken met een schatting. Hierdoor kan het geen normale
distributie hebben, maar een t-distributie.
x−μ
De formule van 1-sample t statistiek is: t= t distributie met n-1 vrijheidsgraden (df)
s ∕ √n
T-toets is onzekerder dan een z-toets, want de t-score is gebaseerd op een schatting van s je krijgt
dan een bredere steekproevenverdeling. De breedte is afhankelijk van vrijheidsgraden (df). Hoe
groter de steekproef hoe meer t-verdeling gaat lijken op z-verdeling. Als n > 100 wordt t gelijk aan z.
Voor een significant resultaat heb je bij t-toets grotere waardes nodig dan bij z-toets, staart groter.
Standaardnormaalverdeling (z)
t-verdeling met df= 5 (n=6)
De t-waardes vind je terug in Tabel D, geen exacte p-waarde maar waar t ligt tussen die 2 waarden.
Zonder z kan je geen betrouwbaarheidsinterval vinden, dan gebruik je ook t in de formule:
¿ sx
Voor betrouwbaarheidsintervallen met t: x ± t ⋅
√n
t* waarde waarbij het oppervlak onder de t-verdeling met n–1 vrijheidsgraden tussen –t* en t*,
gelijk is aan C% (percentage dat je wilt weten) = grens betrouwbaarheidsinterval
Als t* < is dan t-waarde is het significant.
,Powerpoint
multimethod research: verschillende benaderingen of methodes om resultaten te werven.
Subject variabelen: onafhankelijke variabelen die we niet kunnen manipuleren, zoals oogkleur.
Matched subject design: mensen verdelen in groepen op basis van relevante subject variabele. Hierin
maak je paren die je random gaat verdelen over condities.
Oneway within subjects design: experimenteel design waarin alle participanten alle condities
doorlopen waardoor je het individu kan vergelijken met zichzelf.
Repeated measure design: meerdere malen herhalen. Meer power door gelijke groepen en je
hebt minder deelnemers nodig. Nadeel is de volgorde, practice fatigue en sensitization. Dit kan je
oplossen door counterbalancing, door te husselen in de volgorde van taken.
Paired samples t-toets
Paired samples toets meet verschillen tussen 2 metingen bij dezelfde proefpersoon. Oftewel oneway
within subject meting. Er wordt gekeken of het gemiddelde verschil afwijkt van 0.
De toets kent een aantal voorwaarden:
- 1 afhankelijke variabele Hij is continu (interval of ratio)
- 1 onafhankelijke variabele afhankelijke groepen, dezelfde persoon is 2x gemeten
2 scores waarin je wilt weten hoe significant ze van elkaar verschillen. De formule hiervoor:
d
t=
s d ∕ √n
d is het gemiddelde verschil
sd is de standaard deviatie van d
MMC 7.2
Variatie van verschil x 1−x 2 is:
2 2
σ1 σ 2
+
n 1 n2
Stel dat x 1het gemiddelde is van een SRS (simple random sample) van een grootte van n1 als je dan
een twee sample z-toets wilt krijg je:
( x 1−x 2 )−( μ1 −μ 2 )
z=
√
2
σ 1 +σ 2
n1 n2
Bij een t-toets is het precies hetzelfde, maar verander je σ in s.
Voor een two-sample t-toets interval gebruik je:
√
2 2
¿ s 1 s2
( x 1−x 2 ) ±t +
n 1 n2
, Cohen’s d voor effectgrootte
Hierin is µ het gemiddelde van beide populaties met dezelfde σ . Om Cohen’s effect te meten is de
formule: d=
|μ1 −μ 2| of d=|x 1−x 2|
σ sp
Het is lastig te bepalen welke σ je moet gebruiken, sommige geven aan dat de je hierin de
controlegroep kan gebruiken. Wanneer dit ook niet bekend is kan je s p gebruiken, deze formule is
voor 2 zijdige hypothese die onafhankelijk zijn. waardoor je deze formule krijgt:
s p=
√ ( n1 −1 ) s21 + ( n2−1 ) s 22
n1+ n2−2
Voor een paired samples toets kan je Cohen’s d gebruiken door:
|x1 −x2|
d=
Sd ∕ √ 2 ( 1−r )
MMC 15.1 & 15.2 Wilcoxon test
Er zijn nog andere niet-parametrische procedures die geen specifieke vorm voor de verdeling van de
populatie vereisen. In tegenstelling tot bootstrap- en permutatiemethoden maken gewone niet-
parametrische procedures geen gebruik van de feitelijke waarden van de waarnemingen. Hieruit kan
je door middel van rangschikken alsnog uitspraken maken. Ze vervangen dus ook de t-toetsen.
Setting Normale toets Rank test
One sample One-sample t-toets Wilcoxon signed rank test
Matched pairs Past one-sample toets toe aan verschillen in paren
2 onafhankelijke samples Two-sample t-toets Wilcoxon rank sum test
Om rank tests uit te voeren moet eerst alle data gerangschikt worden, met rank 1 de kleinste
observatie.
Voor wilcoxon’s rank sum toets zouden de 2 populaties dezelfde continue distributie behouden
waardoor deze formule gebruikt kan worden:
n1 ( N +1 )
μw = hierin is N de totale observaties oftewel n1+n2.
2
σ w=
√ n1 n2 ( N +1 )
12
voor de standaard deviatie.
n1
W is de som van de rangnummers uit één groep: W =∑ rank ( x i )
i=1
Bij 2 dezelfde waardes krijg je een ‘tie’ dus als beide waardes rank 2 zouden hebben wordt het 2,5 en
ga je verder ranken naar 4.
Op een gegeven moment begint W te lijken op een normaalverdeling waardoor je ook een z-
statistiek kan uitrekenen door:
