Summary
Samenvatting Aantekeningen voortgezette biostatistiek 2020
- Course
- Institution
Uitgebreide aantekeningen van het vak 'Voortgezette Biostatistiek' (X_) uit het studiejaar 2019/2020 van de bachelor 'Medische natuurwetenschappen'.
[Show more]
1 review
By: manjupatil • 4 year ago
Seller
Follow
wjj96
Reviews received
Content preview
Hoorcollege aantekeningen – BiostatistiekInhoudsopgave
HC1 - Stochastic processes and Markov chains (part I) ..................................................................................... 3
Markov proces .................................................................................................................................................... 3
Maximum likelihood estimation ......................................................................................................................... 5
Parameter estimation ........................................................................................................................................ 6
Example – Sequence discrimination ................................................................................................................... 7
HC2 - Stochastic processes and Markov chains (part II) .................................................................................... 8
Example – evolution of cancer............................................................................................................................ 8
Stationary distribution ........................................................................................................................................ 9
Processes back in time ...................................................................................................................................... 11
HC3 – Reconstruction of phylogenetic trees ................................................................................................... 12
Intermezzo on graphs ....................................................................................................................................... 12
A model for DNA evolution ............................................................................................................................... 13
The likelihood: a simple example...................................................................................................................... 16
The Pully principle............................................................................................................................................. 19
Example – Laurasiatherians ............................................................................................................................. 19
Assumptions ..................................................................................................................................................... 20
HC4 – Hidden Markov models ........................................................................................................................ 22
Likelihood ......................................................................................................................................................... 24
HMM vs. Markov Chain .................................................................................................................................... 25
Canonical HMM problems ................................................................................................................................ 26
The Viterbi algorithm ....................................................................................................................................... 28
The Baum-Welch algorithm.............................................................................................................................. 29
Example – Sequence alignment ........................................................................................................................ 29
Example – Array CGH ....................................................................................................................................... 30
Hidden semi-Markov model ............................................................................................................................. 31
Example: array CGH (revisited)......................................................................................................................... 32
HC5 – Undirected network reconstruction – part 1 ........................................................................................ 33
(Conditional) independence graph (CIG) .......................................................................................................... 34
Covariance and correlation .............................................................................................................................. 38
Multivariate normal distribution ...................................................................................................................... 40
HC6 – Undirected network reconstruction – part 2 ........................................................................................ 45
, Two-gene pathway ........................................................................................................................................... 45
Regression ........................................................................................................................................................ 48
Regression – Parameter estimation ................................................................................................................. 50
Multi-gene pathway & regression .................................................................................................................... 54
HC7 – Undirected network reconstruction – part 3 ........................................................................................ 57
Partial correlation............................................................................................................................................. 58
Partial correlation vs. regression ...................................................................................................................... 63
All nice … but to what end? .............................................................................................................................. 65
Interpretation pitfall revisited (or: the case for integration) ............................................................................ 67
Further topics ................................................................................................................................................... 69
2
,HC1 - Stochastic processes and Markov chains (part I)
Stochastische processen – voorbeelden:
• Intensiteit van de zon
o Xt (dagen), met 0 t T
o Xt geeft waarde R+ (alleen positieve waarden)
• DNA sequenties
o A, C, G of T
o Xi met i = 1, …, 11 (gegeven uit voorbeeld)
• Hartslag van patiënt
o Gemeten op continu interval [0, T]
o Xt = 0 (no heartbeat) en 1 (heartbeat)
• Hersenactiviteit bij experimenten
o Gemeten op continu interval [0, T]
o Xt geeft waarde R
State space S = collectie van waarden die een random variabele van een stochastisch proces kan
aannemen.
• Als S = {E1, E2, …, Es}, dan is Xt een discreet stochastische variabele
• Als S = [0, ), dan is Xt een continu stochastische variabele
• Tijd kan zowel discreet als continu zijn
Voorbeeld:
• First passage time van een bepaalde state Ei in S is de tijd t waarbij Xt = Ei voor de eerste keer
sinds de start van het proces.
• Absorbing state is de state Ei waarbij geldt: zodra Xt = Ei, dan geldt Xs = Ei voor alle s t. Het
proces verlaat de state Ei niet meer.
• Time of absorption van een absorbing state is de first passage time van die state.
• Een stochastisch proces wordt beschreven door een collectie van tijdpunten, de state space
en de verdeling van de variabelen Xt en hun afhankelijkheid
o Poisson proces: alle variabelen zijn identiek en onafhankelijk verdeeld
o Markov proces: de variabelen zijn afhankelijk op een makkelijke manier
Markov proces
• 1e orde Markov proces: hangt alleen af van de vorige variabele,
o 𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑥𝑡+1 |𝑋𝑡 = 𝑥𝑡 , … , 𝑋1 = 𝑥1 ) = 𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑥𝑡+1 |𝑋𝑡 = 𝑥𝑡 )
3
, o Betekent niet onafhankelijkheid tussen Xt-1 en Xt+1
• 0e orde Markov proces: variabelen zijn onafhankelijk van elkaar
o 𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑥𝑡+1 |𝑋𝑡 = 𝑥𝑡 , … , 𝑋1 = 𝑥1 ) = 𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑥𝑡+1 )
o 𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑥𝑡+1 , 𝑋𝑡 = 𝑥𝑡 ) = 𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑥𝑡+1 ) ∗ 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑥𝑡)
o Voorbeelden: kop-of-munt en een dobbelsteen
• m-orde Markov proces: hangt af van het aantal m voor de bepalende variabele
o m=9? De verdeling van de t+1e base hangt af van de 9 voorafgaande basen.
• een Markov proces heet een Markov chain als de state space S discreet is.
• een Markov proces heeft tijd homogeen als de transitie kansen onafhankelijk zijn van t.
• Gebruik een transitiematrix P (voorbeeld van DNA basen): let op – hierbij tellen alle kansen
op de rijen op tot 1.
• Initial distribution = (1, …, s) geeft de probabilities van de initiële state. Ook deze initiële
kansen tellen samen op tot 1.
• De initial distribution en de transitiematrix P bepalen de kansverdeling van het Markov
proces.
• Gebruik de total probability law:
𝑃(𝐴, 𝐵)
𝑃(𝐴, 𝐵) = × 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴|𝐵) × 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐵)
• Hoe bepalen (, P) de probability distribution (transition probabilities) bij tijdsstappen groter
dan 1?
o P(n) = Pn: de transitie matrix voor n-stappen is de 1-staps transitie matrix tot de macht
‘n’.
o Kolmogorov-Chapman vergelijking: (𝑃𝑛+𝑚 )𝑖𝑗 = ∑𝑆𝑘=1(𝑃𝑛 )𝑖𝑘 (𝑃𝑚 )𝑘𝑗
4
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller wjj96. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $11.30. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
69252 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 15 years now