Summary
Samenvatting hoofdstuk 3 - Verandering en groei
- Course
- Institution
- Book
Samenvatting van hoofdstuk 3, duidelijke uitleg met paar handige tips om de stof eigen te maken
[Show more]
Connected book
Book Title:
Author(s):
- Edition:
- ISBN:
- Edition:
More summaries for
-
Samenvatting Wiskunde 2
Seller
Follow
timodiederik
Reviews received
Content preview
Hoofdstuk 3 Verandering en GroeiAfgeleide en verandering
De formule van de raaklijn is: g ( x )=f ( a ) +f ' (a)( x−a)
Hierbij geldt f ( a )=g ( a ) en ook f ' ( a )=g '( a)
g ( x ) wordt ook wel de eerste orde benadering genoemd (lineaire benadering) van f (x) waarbij x
rond de a ligt.
Benaderingen worden gebruikt om schattingen van veranderingen in functies te maken als gevolg
van een kleine verandering in de variabele x.
Deze verandering moet klein zijn, want alleen rond punt a is er een grotere zekerheid dus als x veel
afwijkt van a, is er een grotere onzekerheid in x en dus ook in de functie.
f ( x ) ≅ g ( x )=f ( a )+ f ' (a)(x−a)
f ( x )−f ( a ) ≅ f ' (x)( x−a)
∆ f =f ( x )−f (a) als x → a dan ∆ f →0 oftewel de onzekerheid in de functie wordt minder en
dus een betere benadering.
∆ x=( x−a) als x → a dan ∆ x →0
∆ f ≅ f ' ( x ) ∆ x als ∆ x →0 dan ook ∆ f →0
Dus naarmate x kleiner wordt geeft dit een betere benadering van de functie.
Om de invloed van ∆ x op ∆ f te bepalen gebruiken we de relatieve fout:
∆f f '(x)∆ x
= Voorbeeld
f (x) f (x )
Je meet de afmetingen van een
kubus (alle zijdes even lang dus).
Wat is de relatieve fout in de
inhoud?
I ( x )=x 3
I ' ( x )=3 x 2
Invullen geeft:
∆ f 3 x2 ∙ ∆ x ∆x
= 3
=3
f (x) x x
De relatieve fout in de inhoud is
driemaal de relatieve fout in de
afmeting.
, Een eerste orde benadering is in sommige gevallen niet genoeg. Om een groter bereik van de functie
te bereiken, gebruiken we tweede orde benaderingen en hoger.
Deze tweede orde benadering voldoet aan:
f ( a )=g ( a )
f ' ( a )=g' ( a )
f ' ' ( a ) =g ' ' ( a )
' 1
Hieruit volgt: f ( x ) ≅ f ( a ) +f ( a ) ( x−a )+ f ' ' (a)( x−a)2
2
Taylorreeksen
Dit zijn reeksen die rond punt a steeds beter lijken op de oorspronkelijke functie.
1 1 1 1
f ( x )=f ( a ) + f ( a ) ( x −a ) + f '' ( a ) ( x−a)2+ f ' ' ' ( a ) (x−a)3+...+ f ( n) (a)( x−a)n
1! 2! 3! n!
n (k )
1
f ( x )= ∑ f (a) (x−a)k
k=0 k!
Met deze reeksen zijn tevens limieten te berekenen van functies.
Ook de regel van L’Hôpital berekent limieten in punt a, mits deze aan één van de volgende
voorwaarde voldoet f ( a )=g ( a )=0 of f ( a )=± ∞ en g ( a )=± ∞ .
Bij deze voorwaardes geldt dan:
f (x) f '( a)
lim =lim
x→ a g(x ) x→ a g ' (a)
Modellen voor continue groei
Groeisnelheid en relatieve groeisnelheid
De groeisnelheid van een grootheid y is y’(t). De relatieve groeisnelheid is y’(t) gedeeld door de
y ' (t)
grootheid y:
y (t)
Exponentiële functies
y ( t ) =c er t
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller timodiederik. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.21. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
67447 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now