Chapitres
0. Introduction et Rappels
1. Espace probabilisé et Variable aléatoire
2. Lois usuelles, convergence et théorèmes limites
3. Echantillon et distribution d’Echantillonnage
4. Maximum de Vraissemblance
Note: Exemples et Shemas(nombreux)
Probabilité et Statistiques L2 S3
PLAN DU COURS
Introduction et Quelques rappels
1) Statistique descriptive
2) Analyse combinatoire et dénombrements
Chapitre 1 – Espace probabilisé et Variable aléatoire
1) Espace probabilisé et mesure de probabilité
2) Lois de probabilité
3) Variables aléatoires à une seule dimension
4) Variables aléatoires a plusieurs dimensions
Chapitre 2 – Lois usuelles, convergence et théorèmes limites
I. Lois usuelles discrètes et continues
1) Lois discrètes usuelles
A. Loi de Bernoulli
B. Loi Uniforme discrète
C. Loi Binomiale
D. Loi Multinomiale
E. Loi Hypergéométrique (somme de n VA. De Bernoulli non indépendantes)
F. Loi Géométrique, loi de Pascal et loi binomiale négative
G. Loi de Poisson
2) Lois continues usuelles
A. Loi Uniforme continue
B. Loi exponentielle
C. Loi Normale (Loi de Laplace-Gauss)
D. Loi Normale centrée réduite
E. Loi Log-Normale
3) Famille des lois Gamma et lois déduites des lois gaussiennes
A. Loi de Gamma
B. Loi Beta
C. Loi de Pearson ou loi de Khi-2
D. Loi de Student
E. Loi de Fischer-Snedecor
II. Convergence et théorèmes limites.
1) Convergence en probabilité
A. Définition
B. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
C. Loi faible des grands nombres.
2) Convergence en loi
3) Le théorème de la limite centrée (ou théorème central limité)
A. Approximation de la loi Binomiale par une loi normale.
B. Approximation de la loi de Poisson par une loi normale.
Chapitre 3 – Echantillon et distribution d’Echantillonnage
1) L’échantillonnage
A. Population et échantillon
B. L’échantillonnage aléatoire et simple
2) Les distributions d’échantillonnage
A. La distribution d’échantillonnage de la moyenne
B. La méthode de maximum de vraisemblance
3) Les intervalles de Confiance
A. Intervalle de Confiance de la moyenne
, B. Détermination du nombre d’observations
Contrôle Terminale à 12 questions
Note : Plusieurs exemples, schémas et graphiques pour la meilleure compréhension
Voir aussi mes autres publications :
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MEG (Métier Eco-Gestion) L1 S2 - Présentation et le Dossier
Voies de Communication L2 S4 - Présentation et le dossier
, Probabilités et Statistiques III
Introduction 10.09.2013
,
Estimation (III) Tests – Hypothèse (IV) => DECISION (Probabilité d’une bonne décision)
Population – Composée de certain nombre des individus
On extrait un Echantillon : n=5000100
Moyenne de la population :
Donc on va estimer cette moyenne de l’échantillon
est un valeur numérique calculable.
̂
Quelques rappels :
I. Statistique descriptive
La statistique descriptive peut être définie comme l’étude d’un ensemble de N éléments (appelé
population), chaque élément (appelé individu) est caractérise par un seul ou plusieurs caractères
(âge, sexe, qualification professionnelle, etc.)
Un caractère peut être qualitatif ou quantitatif. Il est qualitatif lorsque chaque élément possède ou
non une qualité donnée. Les différentes qualités envisagées sont appelées modalités (ex :
Homme/Femme) et elles sont par exemple au nombre r. Le caractère est quantitatif lorsque à
chaque élément, i par exemple, est associe une mesure . La variable X désigne l’ensemble des
valeurs prises par le caractère quantitatif et sa distribution est définie par les couples ( , ) ou
est l’effectif observe des éléments de la même mesure . La variable X peut être continu (c'est-à-
dire susceptible de varier d’une manière continue) ou discrète.
Une première étape de la statistique consiste à synthétiser les informations relatives à l’étude d’un
ensemble d’éléments. Cette synthèse se fait par les représentations graphiques (diagramme en bâton,
histogramme, fonction de répartition, etc.) et/ou par le calcul des paramètres. On peut considérer
trois types de mesure pour l’analyse des données : les mesures de tendance centrale (moyenne), les
mesures de dispersion (variance) et les mesures de concentration (indices)
1. Les mesures de tendance centrale :
Soit donc X, une donnée d’un échantillon de taille n
a/ la moyenne arithmétique, notée ̅ , est la somme des n valeurs divisee par n :
̅ ∑
Si aux valeurs de Xi de X sont associées des poids , alors la moyenne arithmetique est dite
ponderee :
̅ ∑
b/ La moyenne géométrique notée G, est la racine n-ième du produit des valeurs
c/ La moyenne harmonique, notée H, est l’inverse de la moyenne des inverses des n valeurs :
d/ La moyenne quadratique notée Q, est la racine carre de la moyenne des carres des n valeurs :
,e/ La médiane : la médiane est la valeur de la variable statistique du milieu, l’ensemble des valeurs
étant rangées par ordre d grandeur croissante : n est pair, la médiane est Xn/2, si n est impair, la
médiane X(n+1)/2
f/ Le mode : le mode est la valeur de la variable statistique la plus frequente. Le mode peut ne pas
exister et s’il existe, il peut ne pas etre unique.
2. Les mesures de dispersion :
a/ La variance : la variance, notée (ou ), est la moyenne des carres des ecarts d’un ensemble de
nombres a leur moyenne :
∑ ̅ ou la variance ponderee : ∑ ̅
b/ L’écart-type (risque), note S (ou ), est la racine carrée de la variance :
c/ L’étendue est la différence entre les valeurs extrêmes de la variable statistique étudiée :
d/ L’écart moyen absolu : l’écart moyen absolu est la moyenne de la valeur absolue des écarts d’un
ensemble de nombres a leur moyenne : ∑| ̅|
3. Les mesures de concentration : (Gini)
CV = xbarre/sigma ou sigma/xbarre ?
II. Analyse combinatoire et dénombrements
L’analyse combinatoire a pour but le dénombrement des dispositions que l’on peut former à l’aide
des éléments d’un ensemble fini.
1. Paires et Multiplets
Soient deux ensembles A={a1,…,ai) et B={b1,…, bi). L’ensemble A comporte i éléments et
l’ensemble B comporte i éléments. On appelle une paire, une disposition ordonnes de deux éléments
notée (ai, bi) dont le 1er élément appartient a l’ensemble A et l’autre a B. Le nombre de paires est
alors égal au produit :
2. Permutations, Combinaisons et arrangements sans répétition. (voir le cours L1)
Calculer le nombre d’événement favorable, réalisable, etc.
E = désigne un ensemble à n éléments que l’on suppose distinguable.
1. Permutations
, Définition : On appelle permutation des n éléments de l’ensemble E, toute disposition ordonné
de ces n éléments.
Remarque : Le nombre de permutation de n éléments ne diffère que par l’ordre de n éléments.
Le nombre de permutation de n éléments est le nombre de manière possibles d’ordonner ces n
éléments.
Explicite : Les permutations de l’ensemble sont :
Proposition : Le nombre de permutation d’un ensemble à n éléments est
Démonstration : On démontre par récurrence :
Initialisation :
Il y a manière de permuter un élément.
Généralisation : Supposons qu’il y a manières de permuter elements. Alors
étant donné k éléments, on choisit 1 parmi k, ce qui donne k possibilités, et il reste
éléments à ordonner, soit possibilités. Le total fait donc :
Exemple de référence : Dans une urne contenant n boules distinguables (numérotées). On tire les
n boules l’une après l’autre (on s’intéresse à l’ordre) sans les remettre dans l’urne (on n’autorise
pas les répétitions). Le nombre de tirages possibles est le nombre de permutation de l’ensemble
c'est-à-dire
2. Arrangement sans répétition
Définition : On appelle arrangement sans répétition de p éléments pris parmi les n éléments
de E toute disposition ordonnée de p éléments de E.
Remarque : Un arrangement de n éléments pris parmi les n éléments de E est une permutation.
Explicite : Les arrangements à 2 éléments de l’ensemble {1,2,3} sont :
{1,2} ; {1,3} ; {2,1} ; {2,3} ; {3,1} ; {3,2}.
Proposition : Le nombre d’arrangements sans répétition de p éléments pris dans un ensemble à n
éléments est :
Démonstration :
Il y a façons de choisir le 1er élément de l’arrangement parmi les éléments de . Pour le 2nd
élément de l’arrangement, il y a façons de le choisir.
On vérifie qu’il y a façons de choisir le « p »ième éléments de l’arrangement.
Au total, le nombre d’arrangement est donc :
Exemple de référence : Dans une urne contenant boules distinguables, on tire les boules
l’une après l’autre (on s’intéresse à l’arrangement sans les remettre dans l’urne (pas de
répétition)). Le nombre de tirage possibles est le nombre d’arrangement sans répétition à
éléments de l’ensemble , {1,2, … n} c'est-à-dire
3. Combinaison sans répétition
Définition : On appelle combinaison sans répétition de éléments pris parmi les éléments de
E, toute disposition non ordonnée de p élément de .
, Remarque : Deux combinaisons ne différent que par la nature des éléments qui les composent
(l’ordre de ces éléments est indifférent).
Exemple : Les combinaisons à deux éléments de l’ensemble {1, 2, 3} sont : {1,2} ; {1,3} et
{2,3}
Proposition : Le nombre de combinaisons sans répétition de éléments pris parmi les éléments
de est :
( )
Démonstration : Considérons d’abord le nombre d’arrangement sans répétition de p éléments
pris parmi n élément :
Pour une combinaison de p éléments donnée, il y a arrangement différents de ces p éléments
(correspondant au nombre de permutation des p éléments de la combinaison).
Au final : le nombre de combinaisons sans répétition de p éléments pris parmi n est :
Proposition : On a les propriétés suivantes :
Exemple : Soit 7 salariés convoqués à un bilan de santé. 2 doivent voir un cardiologue et les 5
autres font une prise de sang.
Question : a) De combien de façons peut-on choisir les personnes qui commencent la visite pour
les cardiologues ?
b) De combien de façons peut-on choisir 5 personnes qui commencent par une prise de sang ?
Réponse : a) Il y a façons de choisir deux personnes parmi sept :
b) Il y a façons de choisir cinq parmi sept :
Suite de l’expérience :
Question : De combien de façons peut-on constituer le groupe de 5 qui commence par la prise de
sang si :
- l’on impose que Jean fasse partie de ce groupe ?
- qu’il n’en fasse pas partie ?
Réponse :
- Si Jean fait partie du groupe, il ne reste à choisir que quartes personnes parmi six, ce qui
donne : groupes possibles.
- Si Jean n’en fait pas partie, il faut choisir cinq parmi six, qui donne groupes
Exemple de référence : Dans une urne avec n boules distinguables (numérotées), on tire p boules
simultanément (sans ordre et répétition).
Le nombre de tirages possibles de p éléments parmi n est
TRIANGLE DE PASCAL et le BINOME DE NEWTON
On appelle triangle de Pascal le tableau des nombres suivants :
, Formule du binôme de Newton :
∑
Explicite :
3. … avec répétition. (voir le cours L1)
4. Arrangements avec répétition
Définition : On appelle arrangement avec répétition de p éléments pris parmi les n éléments d’un
ensemble E, toute disposition ordonnée de p éléments.
Explicite : des arrangements à 2 éléments avec répétition de l’ensemble {1 ; 2 ; 3} :
{1 ; 1} ; {1 ; 2} ; {1 ; 3} ; {2 ; 1} ; {2 ; 2} ; {2 ; 3} ; {3 ; 1} ; {3 ; 2} ; {3 ; 3}
Proposition : Le nombre d’arrangement avec répétition de p éléments puis parmi un ensemble à
n éléments est
Exemple de référence : Dans un verre contenant n boules distinctes (numérotées) on tire p boules
l’une après l’autre (on s’intéresse à l’ordre) en les mettant dans l’urne après chaque tirage (on
accepte les répétitions). Le nombre de tirage possibles est .
29.01.2013
5. Combinaisons avec répétitions
Définition : on appelle combinaison avec répétition de p éléments pris parmi les n éléments de E
toute disposition non ordonnée de p éléments, non nécessairement distincts de E.
Explicite : Les combinaisons avec répétition à 2 éléments de l’ensemble {1, 2,3} sont :
{1 ; 1} ; {1 ; 2} ; {1 ; 3} ; {2 ; 2} ; {2 ; 3} ; {3 ; 3}
Proposition : Le nombre de combinaisons avec répétition de p éléments pris dans un ensemble à
n éléments est :
=>
Exemple de référence : Dans une urne contenant n boules distinguables (numérotées), on tire p
boules en les remettant dans l’urne après chaque tirage (on accepte bien les répétitions).
On ne s’intéresse pas à l’ordre d’apparition des boules. Le nombre de tirages est :
6. Permutation avec répétition
, Définition : Supposons que les u éléments de E se repartissent en l catégories : il y a éléments
de type 1, éléments de type 2, …, éléments de type l.
(Avec )
On appelle permutation avec répétition de n éléments de E, toute disposition ordonnée de n
éléments où figure fois un élément de type 1, fois un élément de type 2, …, fois un
élément de type l.
Proposition : Le nombre de permutation avec répétition des n éléments de E (se répartissant :
est :
Exemple de référence : Dans une urne contenant n boules de l couleurs différentes se répartissant
ainsi : boules de couleur , …, boules de couleur ( ). On tire les n boules
l’une après l’autre (on s’intéresse a l’ordre), sans les remettre dans l’urne. La répétition jouée au
niveau de tirage possible est :
Exercice : Quel est le nombre de mots de 6 lettres que l’on peut écrire à partir des lettres : A, G,
E, R, E, A ?
7. Pratique de dénombrement
Soit une expérience aléatoire E composée de r expériences successives, la 1er peut produire un
résultat quelconque parmi résultats possibles, la 2e produit un résultat possible etc. … la
produit 1 résultat quelconque parmi possibles. Le nombre total de resultats possibles
pour l’expérience aléatoire E est égal au produit .
Autrement dit, le nombre de choix possibles pour une expérience aléatoire consistant à faire un
choix et un choix est obtenu en effectuant le produit du nombre de ces choix.
Ex. : Calculons le nombre de plaques minéralogiques distinctes disponibles par département
avec une numérotation : « 4 chiffres, 2 lettre ».
Sol : On choisit 4 chiffres parmi 10 avec ordre et avec remise et on choisit 2 lettres parmi 26
avec ordre et avec remise. Le nombre total de possibilités est :
Si une expérience aléatoire peut être réalisée de r manières différentes, la première fournissant
resultats distincts possibles, …, la .
Alors le nombre total de resultats possibles est égal à . Autrement dit, le
nombre de choix possibles pour une expérience aléatoire consistant à faire un choix ou un choix
est obtenu en effectuant la somme du nombre des ces choix.
Ex. : Dans une urne contenant 49 boules numérotées de 1 à 49, on tire simultanément 6 boules.
Calculons le nombre de tirages possibles ayant (au moins) 5 numéros entre 1 et 6.
Sol : Au moins 5 boules c’est exactement 5 boules ou 6 boules.
Il y a 1 seul tirage donnant 6 numéros entre 1 et 6.
Le nombre de tirages possibles avec exactement 5 bons numéros est : (on choisit
sans ordre est sans remise 5 numéros parmi les 6 « bons » et on choisit 1 numéro parmi les
43 « mauvais »).
Au total : tirages possibles.
8. Synthèse
On considère 1 urne de n boules distinguables et on effectue p tirages successifs.
Combien y a-t-il de tirages ?
Sans Avec
Remise Remise
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