Het is een uitgebreide samenvatting van de theorie van de cursus aangevuld met theorie uit de powerpointslides muv van het hoofdstuk limieten. De samenvatting is geschreven in volgorde waarin de hoofdstukken behandeld zijn tijdens de hoorcolleges.
Hoofdstuk 3: Vergelijkingen
3.2. Lineaire vergelijking
Lineaire vergelijking:
=vergelijking waarbij de onbekende voorkomt in de eerste graad
Vorm: ax + b = 0
−b
Één oplossing: x 1=
a
Algemene regels:
Zowel bij linker als rechterlid mag het zelfde getal worden
opgeteld/afgetrokken worden
Zowel bij linkerlid als rechterlid mag met hetzelfde getal worden
vermenigvuldigd of door hetzelfde getal gedeeld, uitgezonderd 0!
Het getal wijzigt van teken bij wisselen van lid bij optelling of
aftrekking en de bewerking verandert bij vermenigvuldiging en
deling
Indien het antwoord strijdig is voor elke 𝑥∈ℝ, dan wordt de
oplossingsverzameling gezien als ledig en genoteerd als volgt: 𝑉=∅
indien het antwoord geldig is voor elke 𝑥∈ℝ, dan wordt de
oplossingsverzameling genoteerd als volgt: 𝑉=ℝ
3.3. De vierkantsvergelijking of kwadratische
vergelijking
vierkantsvergelijking/ kwadratische vergelijking:
=vergelijking waarbij de term met de hoogste graad van de tweede graad
is
vorm: ax² + bx + c = 0
discriminant: D = b² - 4ac
Discriminant # oplossingen Oplossing(en)
D>0 2 oplossingen −b+ √ D
V={ ,
2a
−b−√ D
}
2a
D=0 1 dubbele oplossing −b
V={ }
2a
D<0 Geen oplossingen V=∅
basisregel:
√ x 2 = |x|
x kan dus zowel positief als negatief zijn
, Som- en product regel:
D > 0 en x 1 ≠ x 2
−b
Som: = x 1+ x2
a
c
Product: = x 1∗x 2
a
Ontbinden in factoren:
ax² + bx + c (x + x 1 ¿ (x + x 2 ¿
ax² - bx - c of ax² + bx (x - x 1 ¿ (x + x 2 ¿
-c
ax² - bx + c (x - x 1 ¿ (x - x 2 ¿
Merkwaardige producten:
(a + b)² a² + 2ab + b²
(a – b)² a² - 2ab + b²
(a + b)² (a – b)² a² - b²
(a + b)³ a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a + b)(a² - 2ab + a³ + b³
b²)
(a – b)(a² + 2ab – a³ - b³
b²)
(a + b + c)² a² + b² + c² + 2ab +
2bc + 2ac
3.4. Bikwadratische vergelijking
Bikwadratische vergelijking:
Vorm: a x 4 +b x 2 +c of a x 6 +b x 3+ c
Herleiden tot vierkantsvergelijking door substitutie: t = x²
3.5. Hogere-graadsvergelijkingen:
Hogere-graadsvergelijking:
Vorm V(x) = 0 met V(x) veelterm van graad 3 of hoger
Linkerlid ontbinden in factoren
Regel van Horner:
Verkorte wijze van euclidische staartdeling
Algemene methode: mogelijkst restterm
Volgens criterium deelbaarheid: geen restterm
Functie van hogere graad: T(x)
Deler: N(x) = x – a
Quotiënt veelterm: Q(x)
Restterm: R(x)
, Noteren: T(x) = (x – a) * Q(x) + R(x)
Indien restterm nul is, is a een nulpunt van de functie
3.6. Rationale vergelijkingen
Rationale vergelijking:
T 1 (x ) T 2 ( x )
Vorm: =
N 1 (x) N 2 ( x)
Bestaansvoorwaarde: N 2 ( x ) ≠ 0
Wegwerken noemers zodaning dat we hogere-graadsvergelijking
bekomen
3.7. Irrationale vergelijkingen
Irrationale vergelijking:
=vergelijking waarbij de onbekende onder een wortelteken staat
Wegwerken door bede leden tot een bepaalde macht te verheffen
Bij evenmachtswortel: bestaansvoorwaarde dat alles onder te wortel
groter dan of gelijk aan 0 moet zijn
√ n n
a=B { A=B als n oneven en A=B n en A ≥ 0 als n even
Soms kwadrateringsvoorwaarde: alles wat gelijk is aan een
vierkantswortel moet positief zijn
3.8. Eigenschappen ongelijkheden in één
onbekende
Eigenschap 1:
=worden beide leden van een ongelijkheid met eenzelfde positief getal
vermenigvuldigd of gedeeld wordt een ongelijkheid in de zelfde zin
bekomen
Eigenschap 2:
=worden beide leden van ongelijkheid met eenzelfde negatief getal
vermenigvuldigd wordt een ongelijkheid in tegengestelde zin bekomen
Eigenschap 3:
=wordt in beide leden van een ongelijkheid eenzelfde getal opgeteld of
afgetrokken, dan wordt een ongelijkheid in zelfde zin bekomen
Bijzondere gevallen:
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller vertentencaitlin. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $7.61. You're not tied to anything after your purchase.
