Summary
Samenvatting Inleiding Logica Deeltentamen 1
- Course
- Institution
Dit is een samenvatting van het eerste deeltentamen van het vak Inleiding Logica van de Universiteit van Amsterdam. De samenvatting is op volgorde van de colleges.
[Show more]
1 review
By: paulelsinghorst • 1 year ago
Seller
Follow
kimgouweleeuw
Reviews received
Content preview
Hoofdstuk 2In de wiskunde is een verzameling simpelweg een of andere collectie van dingen. De dingen die
samen in een verzameling zitten heten de leden of elementen van die verzameling. De elementen
van een verzameling A hoeven niets met elkaar gemeen te hebben (behalve dan het feit dat ze
samen in A zitten). Die elementen mogen zelf ook verzamelingen zijn. Verzamelingen geef je als
volgt weer:
A = {3, Johannes Paulus II,Parijs}
We kunnen verzamelingen op verschillende manieren definiëren. Wanneer het gaat om eindige
verzamelingen (dat wil zeggen om verzamelingen waarvan je de leden kunt opsommen, zo dat
die opsomming op een gegeven moment afgelopen is), dan kun je gewoon alle elementen
noemen. Zoals in het voorbeeld hierboven. Dit heet: definitie door opsomming.
We kunnen verzamelingen ook invoeren door middel van omschrijving. Deze methode werkt
ook voor oneindige verzamelingen. Voorbeeld:
B = {x | x is een natuurlijk getal en x is even}.
We voeren nu de volgende notatie in:
• a ∈ B “a is een element van B.”
• a ∉ B “a is geen element van B.”
• A ⊆ B “A is bevat in B”; “A is een deelverzameling van B” (dit wil zeggen: elk element van A is
een element van B).
• A ⊈ B “A is niet bevat in B”; “A is geen deelverzameling van B” (dit wil zeggen: niet elk element
van A is een element van B).
• A ⊂ B “A is echt bevat in B”; “A is een echte deelverzameling van B” (dit wil zeggen: elk element
van A is een element van B en niet elk element van B is een element van A).
• A ⊄ B “A is niet echt bevat in B”; “A is geen echte deelverzameling van B.”
Om het denken over verzamelingen te vergemakkelijken is het nuttig om plaatjes te tekenen.
Een verzameling A geven we als volgt aan met behulp van een cirkel:
A
De punten die binnen de cirkel liggen zijn de elementen van A. Wanneer A een eindige
verzameling is, kunnen we de afzonderlijke elementen in de cirkel tekenen:
A
Het gegeven dat A ⊆ B kan nu in het volgende plaatje worden uitgedrukt:
A
B
Als A = B dan is het buitengebied leeg, als A ⊂ B dan bevat het buitengebied een of meer
elementen.
Verzamelingen die precies één element hebben worden atomaire verzamelingen of singletons
genoemd.
Dat twee verzamelingen A en B aan elkaar gelijk zijn, kunnen we als volgt uitdrukken: A = B. Dat
twee verzamelingen A en B niet aan elkaar gelijk zijn drukken we als volgt uit: A ≠ B
, Als twee verzamelingen aan elkaar gelijk zijn dan hebben ze dezelfde elementen. Met andere
woorden: als A = B geldt voor iedere x: als x ∈ A dan x ∈ B en als x ∈ B dan x ∈ A. Nog anders
gezegd: als A = B dan geldt A ⊆ B en B ⊆ A. A = B desda A en B dezelfde elementen hebben.
Axioma: Verzamelingen zijn ongeordend, dus het maakt niet uit in welke volgorde de elementen
staan.
• {a, b} = {b, a}
• {a, b, c} = {b, c, a}.
• {a, a} = {a}.
Een verzameling met 0 elementen heet een lege verzameling. De lege verzameling wordt vaak
aangeduid als ∅. Soms wordt ook wel de notatie {} gebruikt, maar wij houden het op ∅.
Vereniging: De vereniging van A en B = de verzameling van alle elementen uit A plus alle
elementen uit B. We noteren de vereniging van A en B als A ∪ B. A ∪ B is het gearceerde gebied:
Verenigen heeft een aantal elementaire eigenschappen:
• A ∪ A = A (deze eigenschap heet idempotentie)
• A ∪ B = B ∪ A (deze eigenschap heet commutativiteit)
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (deze eigenschap heet associativiteit)
Doorsnede: De doorsnede of doorsnijding van twee verzamelingen A en B = de verzameling van
de dingen die zowel element van A als van B zijn, de overeenkomende elementen. De
doorsnijding van A en B wordt aangegeven als: A ∩ B. Dan is het gearceerde gebied de
verzameling A ∩ B:
Net als ‘verenigen’ heeft ‘doorsnijden’ de volgende eigenschappen:
• A ∩ A = A (idempotentie)
• A ∩ B = B ∩ A (commutativiteit)
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativiteit).
Verschil: Het verschil van A en B = de verzameling van alle elementen van A die niet in B zitten.
Notatie voor het verschil van A en B: A − B. A − B is nu het gearceerde gedeelte:
Wanneer A een deelverzameling is van E noemen we het verschil van E en A ook wel: het
complement van A ten opzichte van E. Het gearceerde gedeelte in het plaatje is het complement
van A ten opzichte van E. De notatie voor het complement van A wordt nu: Ac of A’.
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller kimgouweleeuw. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.34. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
53022 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now