College 2. Schatten van een gemiddelde
Bij een winkel zijn allerlei artikelen te koop, om te kijken wat het gemiddelde aankoopbedrag is, neemt de accountant een steekproef van 81 aankopen van
N = 800
een dag waarop 800 aankopen zijn gedaan. Hieruit komt een gemiddeld aankoopbedrag van €20,00 en een standaardafwijking van €2,50. De waarden van de n = 50
steekproef zijn normaal verdeeld. Hij hanteert een betrouwbaarheid van 95%, wat is het schattingsinterval? x# = 20,00
s = 2,5
t-waarde opzoeken in tabel 13.4 à t = 2,014 α = 0,05
" &,(
Ondergrens: 𝜇! = 𝑥̅ − 𝑡 ∗ = 𝜇% = 20,00 − 2,014 ∗ = 19,28
√$ √()
" &,(
Bovengrens: 𝜇% = 𝑥̅ + 𝑡 ∗ = 𝜇% = 20,00 + 2,014 ∗ = 20,72
√$ √()
Dit leidt tot het interval van [19,28 ; 20,72]
! Eventueel naar buiten afronden.
𝑵+𝒏
! n/N > 0,10? à eindigheidscorrectie toevoegen (/ )
𝑵+𝟏
De accountant vindt het schattingsinterval te groot en wil die verkleinen door de bovengrens te verlagen naar 20,50, hoeveel aanvullende steekproeven moet
de accountant nemen?
𝑠
𝑡∗ ≤𝐸
√𝑛
. ! ∗" ! &,)12! ∗&,(!
𝑛≥ = = 102
0! ),(!
Dit leidt tot een uitbreiding van 52 (102 – 50) steekproeven.
De accountant voert de aanvullende steekproef uit en dit leidt tot een gemiddeld aankoopbedrag van €20,20 en een standaardafwijking van €2,30. Wat wordt
het nieuwe schattingsinterval?
4" ∗$" 54! ∗$! &),)∗()5&),&∗(&
𝑥̅.3. = = 𝑥̅.3. = = 20,1
$" 5$! ()5(&
"" &,(
𝜇! = 𝑥̅.3. − 𝑡1 ∗ = 20,1 − 2,014 ∗ = 19,60
6$#$# √1)&
20,1 – 19,60 = 0,50 à Voldoet aan de eis van onnauwkeurigheid (E).
, College 3. Schatten van een percentage
In een enquête onder 80 pas benoemde managers gaven 4 van hen aan dat een statistiekcursus een belangrijk onderdeel is voor een carrière in het algemeen
management. Hierbij wordt er van uitgegaan dat de gehele populatie bestaat uit 1000 managers. Tussen welke grenzen ligt nu de populatiefractie met een
betrouwbaarheid van 95% (tweezijdig)?
Puntschatting in dit geval = p = k / n = = 0,05
Methode I. Schattingsinterval bij discrete verdelingen
F-waarde opzoeken in tabel 13.8 à F = 3,74
v1 = 2n-2k+2 = 160-8+2 = 154
v2 = 2k = 8
7 2
Ondergrens: 𝑝! = = = 0,136996
75($+751)∗:%/! 25(;)+251)∗<,=2
F-waarde opzoeken in tabel 13.8 à F = 2,18
v1 = 2k+2 = 8+2 = 10
v2 = 2n-2k = 160-8 = 152
751 251
Bovengrens: 𝑝% = '() = +,(- = 0,1254315
7515 2515 !,"+
*%/!
Dit leidt tot 0,013 ≤ p ≤ 0,126
! Eventueel naar buiten afronden.
Methode II. Schattingsinterval met Poissonbenadering
a-waardes opzoeken in tabel 13.5 à a1 = 1,089 en a2 = 10,242
pL = a1 / n = 1, = 0,0136125
pU = a2 / n = 10, = 0,128025
dit leidt tot het Interval 0,013 ≤ p ≤ 0,129
Om het aantal fouten in een populatie te berekenen doe je de grenzen keer de populatie:
ondergrens = 0,0136125*1000 = 13
bovengrens = 0,128025*1000 = 129
Bij een winkel zijn allerlei artikelen te koop, om te kijken wat het gemiddelde aankoopbedrag is, neemt de accountant een steekproef van 81 aankopen van
N = 800
een dag waarop 800 aankopen zijn gedaan. Hieruit komt een gemiddeld aankoopbedrag van €20,00 en een standaardafwijking van €2,50. De waarden van de n = 50
steekproef zijn normaal verdeeld. Hij hanteert een betrouwbaarheid van 95%, wat is het schattingsinterval? x# = 20,00
s = 2,5
t-waarde opzoeken in tabel 13.4 à t = 2,014 α = 0,05
" &,(
Ondergrens: 𝜇! = 𝑥̅ − 𝑡 ∗ = 𝜇% = 20,00 − 2,014 ∗ = 19,28
√$ √()
" &,(
Bovengrens: 𝜇% = 𝑥̅ + 𝑡 ∗ = 𝜇% = 20,00 + 2,014 ∗ = 20,72
√$ √()
Dit leidt tot het interval van [19,28 ; 20,72]
! Eventueel naar buiten afronden.
𝑵+𝒏
! n/N > 0,10? à eindigheidscorrectie toevoegen (/ )
𝑵+𝟏
De accountant vindt het schattingsinterval te groot en wil die verkleinen door de bovengrens te verlagen naar 20,50, hoeveel aanvullende steekproeven moet
de accountant nemen?
𝑠
𝑡∗ ≤𝐸
√𝑛
. ! ∗" ! &,)12! ∗&,(!
𝑛≥ = = 102
0! ),(!
Dit leidt tot een uitbreiding van 52 (102 – 50) steekproeven.
De accountant voert de aanvullende steekproef uit en dit leidt tot een gemiddeld aankoopbedrag van €20,20 en een standaardafwijking van €2,30. Wat wordt
het nieuwe schattingsinterval?
4" ∗$" 54! ∗$! &),)∗()5&),&∗(&
𝑥̅.3. = = 𝑥̅.3. = = 20,1
$" 5$! ()5(&
"" &,(
𝜇! = 𝑥̅.3. − 𝑡1 ∗ = 20,1 − 2,014 ∗ = 19,60
6$#$# √1)&
20,1 – 19,60 = 0,50 à Voldoet aan de eis van onnauwkeurigheid (E).
, College 3. Schatten van een percentage
In een enquête onder 80 pas benoemde managers gaven 4 van hen aan dat een statistiekcursus een belangrijk onderdeel is voor een carrière in het algemeen
management. Hierbij wordt er van uitgegaan dat de gehele populatie bestaat uit 1000 managers. Tussen welke grenzen ligt nu de populatiefractie met een
betrouwbaarheid van 95% (tweezijdig)?
Puntschatting in dit geval = p = k / n = = 0,05
Methode I. Schattingsinterval bij discrete verdelingen
F-waarde opzoeken in tabel 13.8 à F = 3,74
v1 = 2n-2k+2 = 160-8+2 = 154
v2 = 2k = 8
7 2
Ondergrens: 𝑝! = = = 0,136996
75($+751)∗:%/! 25(;)+251)∗<,=2
F-waarde opzoeken in tabel 13.8 à F = 2,18
v1 = 2k+2 = 8+2 = 10
v2 = 2n-2k = 160-8 = 152
751 251
Bovengrens: 𝑝% = '() = +,(- = 0,1254315
7515 2515 !,"+
*%/!
Dit leidt tot 0,013 ≤ p ≤ 0,126
! Eventueel naar buiten afronden.
Methode II. Schattingsinterval met Poissonbenadering
a-waardes opzoeken in tabel 13.5 à a1 = 1,089 en a2 = 10,242
pL = a1 / n = 1, = 0,0136125
pU = a2 / n = 10, = 0,128025
dit leidt tot het Interval 0,013 ≤ p ≤ 0,129
Om het aantal fouten in een populatie te berekenen doe je de grenzen keer de populatie:
ondergrens = 0,0136125*1000 = 13
bovengrens = 0,128025*1000 = 129
