MECÁNICA DE ROCAS PROBLEMAS
PROBLEMAS
EJERCICIO 1 (PRIMER PROBLEMA DE TODOS LOS DEL CURSO).
En un ensayo a compresión simple se ha roto una probeta cilíndrica de una determinada roca con una
carga de 35,1 t. El diámetro de la probeta es de 56 mm y la relación altura/diámetro de la probeta igual a
2. El módulo de Young de la roca es 66 GPa y su coeficiente de Poisson 0,27.
Calcúlese:
1) La tensión de rotura de la roca.
Se halla la tensión de rotura (σ) con el cociente de la fuerza (F) entre el área (A). La fuerza se ha-
lla multiplicando la masa por la acción de la gravedad y el área a partir del diámetro de la probeta.
;<<< => B
4 67,8 9 · · @,A8
;? =>
σ= = G = 140 kPa
5 EF
C · D HH ·
;I
J
G ;<<< II
2) Los desplazamientos axial y radial en la probeta sometida a una carga de 15 t.
Para el cálculo del desplazamiento axial (ΔL) y del desplazamiento radial (ΔR) en primer lugar se
halla la tensión vertical (σ1) sobre la probeta con el cociente de la fuerza entre el área con las 15 t.
;<<< => B
4 87 9 · · @,A8
;? =>
σ1 = = G = 59,7 MPa
5 C·D
EF
HH ·
;I
J
G ;<<< II
Ahora se procede al cálculo de la deformación axial (ε1) y de la radial (ε3) por medio de la tensión
vertical calculada anteriormente (σ1) usando el módulo de Young y el coeficiente de Poisson.
S; 7@,U VWX
ε1 = = ;<<< \]^ = 9,04 · 10-4 → 904 μdeformaciones
T YY Z[X ·
; _]^
S; 7@,U VWX
ε3 = = ;<<< \]^ = 2,44 · 10-4 → 244 μdeformaciones
T/b DYY Z[X · J/c,dU
; _]^
Con estas deformaciones, se puede proceder al cálculo de los desplazamientos axial (ΔL) y radial
(ΔR), no sin antes calcular fácilmente el radio (R) y la longitud (L) con el diámetro (D).
R = D/2 = 56/2 = 28 mm L/D = 2 → L = 2 · 56 = 112 mm
gh
Desplazamiento axial → ε1 = → ΔL = 9,04 · 10-4 · 112 = 0,101 mm
h
gi
Desplazamiento radial → ε3 = → ΔR = 2,44 · 10-4 · 28 = 6,83 · 10-3 mm
i
, MECÁNICA DE ROCAS PROBLEMAS
EJERCICIO 2 (SEGUNDO PROBLEMA DE TODOS LOS DEL CURSO).
En una probeta que se va a someter a un ensayo de compresión simple existe una discontinuidad que
forma un ángulo de 37,5º con la horizontal. La cohesión y la fricción de dicha junta son de 0,47 MPa y
29,5º respectivamente.
Determinar la resistencia
resistencia a compresión simple que se observará al ensayar la probeta.
La probeta, tal y como se observa en el dibujo hecho a continuidad, sufre tres tipos de variables: La
tensión vertical (σ1), la fuerza normal (Fn) y la tensión horizontal (σ3); estando cada una de ellas so-
bre las superficies señaladas (A1, A2 y A3) y relacionadas con el ángulo de 37,5º con la horizontal (β).
σ1
A1 Fn = FV · sen β + FH · cos β
Fn σ3 σ1 = FV/A1 σn = Fn/A2 σ3 = FH/A3
σ3 β
A2
A3 A1 = A2 · sen β A3 = A2 · cos β
Se calcula con las relaciones anteriores y en función de las mismas el valor de la tensión normal (σn)
y el de la tensión cortante (τ) con los que posteriormente se resolverá el ejercicio.
8 8
σn = · σ1 · (1 – cos 2 · β) + · σ3 · (1 + cos 2 · β)
d d
8
τ = d · (σ1 – σ3) · sen 2 · β
Finalmente sustituimos los valores que nos da el problema. Se ha de calcular el ángulo “β”, que no se-
rá más que restar 37,5º a 90º para hallar su valor, dando este 52,5º.
La tensión horizontal (σ3) es nula ya que se compensan las fuerzas a ambos lados de la probeta.
Se halla de esta forma la resistencia a compresión simple, puesto que esta es la tensión vertical que
sufre la probeta del ejercicio (σ1).
8 8
σn = d · σV · (1 – cos 2 · 52,5) + d · 0 · (1 + cos 2 · 52,5) = 0,483 · σ1
8
τ = d · (σ1 – 0) · sen 2 · 52,5 = 0,6294 · σ1
τ = c + σn · tan ϕ → 0,6294 · σ1 = c + (0,483 · σ1) · tan 29,5º
σ1 = 3,70 MPa
, MECÁNICA DE ROCAS PROBLEMAS
EJERCICIO 3 (TERCER PROBLEMA DE TODOS LOS DEL CURSO).
Al objeto de evaluar el comportamiento de una junta se han seleccionado en profundidad testigos de dos
sondeos diferentes que se han cortado a la junta con ángulos de 35 y 54º con la vertical respectiva
respectiva--mente.
Estas dos probetas han sido ensayadas a compresión simple, rompiéndose a través de las juntas
señaladas y obteniéndose valores de tensión de rotura de 17 y 32 MPa respectivamente. Calcúlese el valor
de la cohesión y fricción de la junta.
Se calculará a partir de la fórmula común de la tensión cortante (τ) y la hallada en el ejercicio ante-
rior una ecuación que nos relaciones la cohesión (c) y el ángulo de fricción (ϕ) para cada una de las
probetas, tanto la 1 como la 2.
La tensión horizontal (σ3) es nula, al ser un ensayo de resistencia a compresión simple (vertical).
PROBETA 1:
τ = c + σn · tan ϕ
8 8 8
d
· (σ1 – σ3) · sen 2 · β = c + [ d · σ1 · (1 – cos 2 · β) + d · σH · (1 + cos 2 · β)] · tan ϕ
8 8 8
d
· (17 – 0) · sen 2 · 35 = c + [ d · 17 · (1 – cos 2 · 35) + d · 0 · (1 + cos 2 · 35)] · tan ϕ
7,9877 = c + 5,593 · tan ϕ
PROBETA 2:
τ = c + σn · tan ϕ
8 8 8
d
· (σ1 – σ3) · sen 2 · β = c + [ d · σ1 · (1 – cos 2 · β) + d · σH · (1 + cos 2 · β)] · tan ϕ
8 8 8
d
· (32 – 0) · sen 2 · 54 = c + [ d · 32 · (1 – cos 2 · 54) + d · 0 · (1 + cos 2 · 54)] · tan ϕ
15,817 = c + 20,944 · tan ϕ
Con las dos ecuaciones obtenidas se pueden calcular tanto la cohesión (c) como el ángulo de fricción
(ϕ) para la resolución final del ejercicio.
7,9877 = c + 5,593 · tan ϕ c = 5,35 MPa
15,817 = c + 20,944 · tan ϕ ϕ = 25,21º
PROBLEMAS
EJERCICIO 1 (PRIMER PROBLEMA DE TODOS LOS DEL CURSO).
En un ensayo a compresión simple se ha roto una probeta cilíndrica de una determinada roca con una
carga de 35,1 t. El diámetro de la probeta es de 56 mm y la relación altura/diámetro de la probeta igual a
2. El módulo de Young de la roca es 66 GPa y su coeficiente de Poisson 0,27.
Calcúlese:
1) La tensión de rotura de la roca.
Se halla la tensión de rotura (σ) con el cociente de la fuerza (F) entre el área (A). La fuerza se ha-
lla multiplicando la masa por la acción de la gravedad y el área a partir del diámetro de la probeta.
;<<< => B
4 67,8 9 · · @,A8
;? =>
σ= = G = 140 kPa
5 EF
C · D HH ·
;I
J
G ;<<< II
2) Los desplazamientos axial y radial en la probeta sometida a una carga de 15 t.
Para el cálculo del desplazamiento axial (ΔL) y del desplazamiento radial (ΔR) en primer lugar se
halla la tensión vertical (σ1) sobre la probeta con el cociente de la fuerza entre el área con las 15 t.
;<<< => B
4 87 9 · · @,A8
;? =>
σ1 = = G = 59,7 MPa
5 C·D
EF
HH ·
;I
J
G ;<<< II
Ahora se procede al cálculo de la deformación axial (ε1) y de la radial (ε3) por medio de la tensión
vertical calculada anteriormente (σ1) usando el módulo de Young y el coeficiente de Poisson.
S; 7@,U VWX
ε1 = = ;<<< \]^ = 9,04 · 10-4 → 904 μdeformaciones
T YY Z[X ·
; _]^
S; 7@,U VWX
ε3 = = ;<<< \]^ = 2,44 · 10-4 → 244 μdeformaciones
T/b DYY Z[X · J/c,dU
; _]^
Con estas deformaciones, se puede proceder al cálculo de los desplazamientos axial (ΔL) y radial
(ΔR), no sin antes calcular fácilmente el radio (R) y la longitud (L) con el diámetro (D).
R = D/2 = 56/2 = 28 mm L/D = 2 → L = 2 · 56 = 112 mm
gh
Desplazamiento axial → ε1 = → ΔL = 9,04 · 10-4 · 112 = 0,101 mm
h
gi
Desplazamiento radial → ε3 = → ΔR = 2,44 · 10-4 · 28 = 6,83 · 10-3 mm
i
, MECÁNICA DE ROCAS PROBLEMAS
EJERCICIO 2 (SEGUNDO PROBLEMA DE TODOS LOS DEL CURSO).
En una probeta que se va a someter a un ensayo de compresión simple existe una discontinuidad que
forma un ángulo de 37,5º con la horizontal. La cohesión y la fricción de dicha junta son de 0,47 MPa y
29,5º respectivamente.
Determinar la resistencia
resistencia a compresión simple que se observará al ensayar la probeta.
La probeta, tal y como se observa en el dibujo hecho a continuidad, sufre tres tipos de variables: La
tensión vertical (σ1), la fuerza normal (Fn) y la tensión horizontal (σ3); estando cada una de ellas so-
bre las superficies señaladas (A1, A2 y A3) y relacionadas con el ángulo de 37,5º con la horizontal (β).
σ1
A1 Fn = FV · sen β + FH · cos β
Fn σ3 σ1 = FV/A1 σn = Fn/A2 σ3 = FH/A3
σ3 β
A2
A3 A1 = A2 · sen β A3 = A2 · cos β
Se calcula con las relaciones anteriores y en función de las mismas el valor de la tensión normal (σn)
y el de la tensión cortante (τ) con los que posteriormente se resolverá el ejercicio.
8 8
σn = · σ1 · (1 – cos 2 · β) + · σ3 · (1 + cos 2 · β)
d d
8
τ = d · (σ1 – σ3) · sen 2 · β
Finalmente sustituimos los valores que nos da el problema. Se ha de calcular el ángulo “β”, que no se-
rá más que restar 37,5º a 90º para hallar su valor, dando este 52,5º.
La tensión horizontal (σ3) es nula ya que se compensan las fuerzas a ambos lados de la probeta.
Se halla de esta forma la resistencia a compresión simple, puesto que esta es la tensión vertical que
sufre la probeta del ejercicio (σ1).
8 8
σn = d · σV · (1 – cos 2 · 52,5) + d · 0 · (1 + cos 2 · 52,5) = 0,483 · σ1
8
τ = d · (σ1 – 0) · sen 2 · 52,5 = 0,6294 · σ1
τ = c + σn · tan ϕ → 0,6294 · σ1 = c + (0,483 · σ1) · tan 29,5º
σ1 = 3,70 MPa
, MECÁNICA DE ROCAS PROBLEMAS
EJERCICIO 3 (TERCER PROBLEMA DE TODOS LOS DEL CURSO).
Al objeto de evaluar el comportamiento de una junta se han seleccionado en profundidad testigos de dos
sondeos diferentes que se han cortado a la junta con ángulos de 35 y 54º con la vertical respectiva
respectiva--mente.
Estas dos probetas han sido ensayadas a compresión simple, rompiéndose a través de las juntas
señaladas y obteniéndose valores de tensión de rotura de 17 y 32 MPa respectivamente. Calcúlese el valor
de la cohesión y fricción de la junta.
Se calculará a partir de la fórmula común de la tensión cortante (τ) y la hallada en el ejercicio ante-
rior una ecuación que nos relaciones la cohesión (c) y el ángulo de fricción (ϕ) para cada una de las
probetas, tanto la 1 como la 2.
La tensión horizontal (σ3) es nula, al ser un ensayo de resistencia a compresión simple (vertical).
PROBETA 1:
τ = c + σn · tan ϕ
8 8 8
d
· (σ1 – σ3) · sen 2 · β = c + [ d · σ1 · (1 – cos 2 · β) + d · σH · (1 + cos 2 · β)] · tan ϕ
8 8 8
d
· (17 – 0) · sen 2 · 35 = c + [ d · 17 · (1 – cos 2 · 35) + d · 0 · (1 + cos 2 · 35)] · tan ϕ
7,9877 = c + 5,593 · tan ϕ
PROBETA 2:
τ = c + σn · tan ϕ
8 8 8
d
· (σ1 – σ3) · sen 2 · β = c + [ d · σ1 · (1 – cos 2 · β) + d · σH · (1 + cos 2 · β)] · tan ϕ
8 8 8
d
· (32 – 0) · sen 2 · 54 = c + [ d · 32 · (1 – cos 2 · 54) + d · 0 · (1 + cos 2 · 54)] · tan ϕ
15,817 = c + 20,944 · tan ϕ
Con las dos ecuaciones obtenidas se pueden calcular tanto la cohesión (c) como el ángulo de fricción
(ϕ) para la resolución final del ejercicio.
7,9877 = c + 5,593 · tan ϕ c = 5,35 MPa
15,817 = c + 20,944 · tan ϕ ϕ = 25,21º
