Samenvatting die handig is voor het (sinds 2020 nieuwe) vak STAWIDA. Industrieel ingenieur, UGent
De volgende onderwerpen worden in de samenvatting besproken.
*Verdelingsfuncties van een populatie
*Discrete verdelingen
*Continue verdelingen
*Schattingstheorie
*Testen van hypothesen
*ANOVA
...
Statistiek samenvatting
(Algemeen: Griekse letters zijn voor gegevens van de populatie (σ), gewone letters voor steekproef (s).
Hoofdstuk 3: Verdelingsfuncties van een populatie
Kansfunctie = dichtheidsfunctie:
Bij discreet: f(xi) = P(x=xi) als xi ∈ de waarden van de functie.
Bij continu: Bovendien geldt P(x=c)=0
Cumulatief wordt het cumulatieve distributiefunctie of verdelingsfunctie genoemd.
De verwachte waarde van een functie E[g(x)] : Discreet:
Continu:
Gemiddelde E[x]:
Modus: x-waarde waarvoor f(x) zijn maximum bereikt.
Mediaan: F(mediaan) = 0.5
Variantie ²:
Standaardafwijking : vierkantswortel uit variantie. ² = V[x] = E[x²] - µ² Var(G) = E(G²) – [E(g)]²
Eigenschappen: E[ax+b] = a E[x] + b en V[ax+b]=a²V[x]
Fractielen: eerste deciel X0.10, eerste kwartiel X0.25, derde kwartiel X0.75, tweede kwartiel is de mediaan
Kwartieldeviatie K = 0,5 * (X0.75 – X0.25)
Moment van toevalsveranderlijke x van orde k t.o.v. punt c = E[ ( x – c )k ]
voor c=0: µ’k = E[xk] voor c=µ: µk = E[(x-µ)k] = centrale momenten
Momentenfunctie M(t) = E[etx]
= verwachte waarde voor etx
Scheefheid S = α3 = µ3/σ3 = S>1 is staart naar rechts. S=0 symmetrisch
Steilheid K = kurtosis = α4 = µ4/σ4 = K>3 = steiler, K<3 = platter. Excess E = K – 3
Ongelijkheid van Chebychev:
𝑃(|𝑋 – 𝜇| ≥ 𝑘𝜎) ≤ 1/k² en 𝑃(|𝑋 – 𝜇| < 𝑘𝜎) ≥ 1 - 1/k²
!examen: “bepaal de kans dat x-µ groter is dan…” als f(x) gegeven is, niet
met Chebychev doen. Alleen schattingen mogen met Chebychev gemaakt
worden.
1
,Hoofdstuk 4: Discrete verdelingen
µ’s en σ’s gegeven op formularium, f(i)’s niet.
Uniforme discrete verdeling:
alle uitkomsten even waarschijnlijk. F(i) = P(x=xi) =
Eigenschappen:
Bernouilli verdeling:
2 mogelijke uitkomsten: p = kans op succes. 1-p is kans op geen succes
Binomiale verdeling:
Een experiment (2 mogelijke uitkomsten; Bernouilli-experiment) wordt aantal keren (onafhankelijk)
herhaald. Volgorde is dus willekeurig.
Geometrische verdeling:
Een experiment (Bernouilli: 2 mogelijke uitkomsten), wordt (onafhankelijk) herhaald tot verschijnsel A voor
het eerst optreedt.
f(i) = P(x=i) = (1-p)i-1 p E[x] = µ = V[x] = σ² =
Hypergeometrische verdeling:
N elementen waarvan M de eigenschap A bezitten, er worden n elementen getrokken. De kans dat i van die
n elementen eigenschap A bezitten is:
f(i) = (hfst 1) E[x] = µ = V[x] = σ² = 𝑛 (1 − )
Bij een kleine n t.o.v. N zal de kans op succes benaderd worden door p = M/N
Poisson verdeling:
“Een aantal per tijdsinterval/volume/gewicht/…” Het aantal successen in elk interval is onafhankelijk van
aantal successen in elk ander interval én de kans op succes is rechtevenredig aan de grootte van het
interval.
f(i) = P(x=i) = 𝑒 E[x] = µ = λ V[x] = σ² = λ
!
Eigenschap: voor n -> ∞ en p -> 0 nadert de binomiale verdeling naar de Poissonverdeling met λ = np .
Recursieformule: f(i+1) = f(i)
2
, Hoofdstuk 5: Continue verdelingen
Uniform continue verdeling
Dichtheidsfuntie is constant binnen een interval [a,b]. ∫ 𝑘𝑑𝑥 = 1 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑘 =
Normale verdeling = Gaussdistributie
N(µ, σ)
( µ)²
𝑓(𝑥) = 𝑒 ² 𝑥𝜖ℝ µ=µ u2’ = µ² + σ² σ² =µ2’-µ² = 𝜎²
√
Dichtheidsfunctie f(x) heeft maximum in x=µ en buigpunten in x = µ - σ en x = µ + σ.
Als y=ax+b normaal verdeeld is met µ en σ, dan is y ook normaal verdeeld met µy=aµ+b en σy = |a| σ.
Bij een steekproef van n willekeurige elementen uit N(µ0, σ0) verdeling, dan is 𝑥̅ verdeeld als N(µ0, ).
√
µ
Genormeerde normale verdeling: als x N(µ, σ) verdeeld is, is z = genormeerd normaal verdeeld: N(0,1)
Als x binomiaal verdeeld is met n en p, nadert die naar N(np, 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑)) als np≥5 en n(1-p)≥5.
Als x poisson verdeeld is met λ, nadert die naar N(𝛌, √𝛌) als λ groot genoeg is (≥ 15)
Centrale limietstelling: n onafhankelijke toevalsvariabelen met zelfde verdeling somvariabele Sn is
asymptotisch normaal verdeeld met gemiddelde nµ en variantie nσ². (n≥ 30)
! Overgang van discrete variabele naar continue variabele: continuïteitscorrectie. Bv. P(i≥ 10) = P(x≥ 9,5)
De χ² verdeling
x is som van kwadraten van n genormeerde normaal verdeelde variabelen zi met k verbindingsvgl (v = n - k).
χ²(v d.f.) x steeds positief µ=v σ² = 2v
Voor v ≥30 is z = benaderd N(0,1) verdeeld.
√
Eigenschap: als x χ²(v1 d.f.) en y χ²(v2 d.f.) met x en y onderling onafhankelijk, dan is x+y χ²(v1+v2 d.f.).
Als n>30, nadert de χ²-verdeling met n d.f. naar N(n,√2𝑛)
²( ) ̅
=∑ ² χ²(n-1 d.f.) verdeeld
De t verdeling (= student verdeling)
Verhouding van normaal verdeelde variabele z tot de vkw van χ² verdeelde veranderlijke y, gedeeld door v.
t(v d.f.) x= µ=0 σ² =
µ
t(n-1 d.f.) verdeeld, (x normaal verdeeld). Voor v ≥ 30 is het nagenoeg N(0,1) verdeeld.
√
De F verdeling (=Fisher distributie)
x is quotiënt van 2 onafhankelijke χ² verdeelde variabelen u en v, beiden gedeeld door hun vrijheidsgraden
²( )
F(v1,v2 d.f.) x= steeds positief µ= voor 𝑣 >2 σ² = ( )( )²
voor 𝑣 >4
Eigenschappen: x: F(v1,v2 d.f.) : F(v2,v1 d.f.) en F1-α (v2,v1 d.f.) = ( , . .)
/
Eigenschap: als z: N(0,1) en y: χ²(v d.f.), dan is x = t(v d.f.), en is x²= /
F(1,v d.f.) verdeeld.
3
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller indinginf. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $6.00. You're not tied to anything after your purchase.
