Tentamen Kennisbasis Toets
Rekenen II
Inhoud
Boek: Hele getallen.....................................................................................................................3
Hoofdstuk 7: Hele getallen..........................................................................................................3
Vakdidactiek rekenen-wiskunde.............................................................................................3
Boek: Meten en Meetkunde.......................................................................................................5
Hoofdstuk 1 Meetkunde en Meten: samenhang meten en meetkunde....................................5
Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde......................................................5
meten van inhoud...............................................................................................................5
lengte en oppervlakte.........................................................................................................5
Uit de geschiedenis van meten en meetkunde..................................................................6
Meten en meetkunde op de basisschool................................................................................6
Overeenkomsten tussen meten en meetkunde.................................................................6
Verschillen tussen meten en meetkunde...........................................................................6
Samenhang in activiteiten...................................................................................................6
Hoofdstuk 2: Meten....................................................................................................................6
Meten en meetgetallen zijn overal.........................................................................................6
Meetinstrumenten..............................................................................................................7
meetnauwkeurigheid..........................................................................................................7
Uit de geschiedenis van meten...........................................................................................7
Wiskundetaal bij meten......................................................................................................8
Grootheden en maten........................................................................................................8
Hoofdstuk 3: Meten op de basisschool....................................................................................10
Schets van de leerlijn meten.................................................................................................10
vergelijken.........................................................................................................................11
afpassen met een maat.....................................................................................................11
Hoofdstuk 5: Meetkunde..........................................................................................................13
Meetkunde is overal.........................................................................................................13
Deelgebied oriëntatie in de ruimte...................................................................................14
Deelgebied: viseren en projecteren..................................................................................14
Deelgebied: transformeren...............................................................................................14
Deelgebied: construeren...................................................................................................14
, Deelgebied: visualiseren en representeren......................................................................14
Meetkundige figuren.........................................................................................................14
Hoofdstuk 6: Meetkunde op de basisschool............................................................................16
Leerlijn meetkunde...............................................................................................................16
Oriëntatie in de ruimte.........................................................................................................17
Viseren en projecteren.........................................................................................................17
Transformeren......................................................................................................................18
Construeren..........................................................................................................................18
Visualiseren en representeren..............................................................................................19
samenhang met andere domeinen.......................................................................................19
Het boek: verhoudingen, procenten, kommagetallen en breuken..........................................19
Hoofdstuk 1 samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen..................19
Verhoudingen zijn de basis...................................................................................................19
Overeenkomsten en verschillen.......................................................................................19
Absoluut en relatief...........................................................................................................20
Onderlinge relaties............................................................................................................20
Hoofdstuk 2 Verhoudingen.......................................................................................................21
Verhoudingen zijn overal......................................................................................................21
evenredige verbanden......................................................................................................21
Niet-evenredige verbanden..............................................................................................22
Verhoudingen op de basisschool..........................................................................................22
schets van de leerlijn verhoudingen.................................................................................23
modellen bij verhoudingen...............................................................................................24
Hoofdstuk 3 Procenten.............................................................................................................24
Procenten kom je veel tegen................................................................................................24
Een gestandaardiseerde verhouding................................................................................25
Procenten op de basisschool............................................................................................26
Schets van de leerlijn procenten...........................................................................................26
Introductie van procenten................................................................................................26
Modellen bij procenten.....................................................................................................26
Rekenen en redeneren met procenten............................................................................27
Rekenmachine...................................................................................................................28
Samenhang met andere domeinen..................................................................................28
Hoofdstuk 4 Breuken................................................................................................................28
Getal en verhouding..............................................................................................................28
, 4.2 Schets van de leerlijn......................................................................................................29
Hoofdstuk 5 Kommagetallen....................................................................................................31
Kommagetallen in de realiteit...............................................................................................31
De leerlijn van kommagetallen.............................................................................................32
Introductie van kommagetallen........................................................................................32
Modellen en schema’s bij kommagetallen.......................................................................33
Rekenen en redeneren met kommagetallen........................................................................34
Boek: Hele getallen
Hoofdstuk 7: Hele getallen
Vakdidactiek rekenen-wiskunde
Het reken-wiskundeonderwijs is sterk beïnvloed door het zogenoemde realisme of realistisch
rekenen-wiskundeonderwijs. Het realisme gaat ervan uit dat reken-wiskundeonderwijs het
beste kan aansluiten op voor kinderen betekenisvolle realiteit. Kinderen leren het beste als
zij zich realiseren wat ze doen.
Er bestaan vijf praktische onderwijsleerprincipes:
1. Mathematiseren vanuit betekenisvolle realiteit
2. Modelleren en formaliseren
3. Ruimte voor eigen inbreng van leerlingen
4. Interactie en reflectie
5. Verstrengeling van leerlijnen
1) Mathematiseren vanuit betekenisvolle realiteit: er wordt gebruik gemaakt van
contexten. Kinderen stellen er zich iets bij voor. Betekenisvol is relatief: wat voor de
een betekenisvol is, daar kan de ander zich niets bij voorstellen.
Contexten worden op verschillende manieren ingezet:
- Probleem introduceren (bijvoorbeeld de tribune context gebruiken wanneer
kinderen eerst 1 erbij moeten doen om het tiental vol te maken en vervolgens de rest
erbij)
- Contexten gebruiken om eerder geleerde reken-wiskundige kennis en vaardigheden
toe te passen. Het gaat om het begrijpen (aanpakken, interpreteren) van de realiteit.
2) Modelleren en formaliseren
De figuurlijke afstand tussen concrete situaties en contexten en formeel rekenen is
soms groot. Om kinderen te helpen worden hulpmiddelen gebruikt zoals modellen,
schema’s en (structuur) materialen. Voorbeelden zijn: het rekenrekje, de getallenlijn
en het positieschema.
Horizontaal mathematiseren: modellen en schema’s vormen een ware brug tussen
realiteit en formele reken-wiskunde.
, Verticaal mathematiseren: modellen en schema’s ondersteunen ook deze vorm
aangezien ze het rekenen langere tijd ondersteunen. Het positieschema kan
bijvoorbeeld ook worden gebruikt voor het cijferend rekenen en rekenen met
komma’s.
Er worden grofweg drieniveaus van abstractie doorlopen bij formaliseren: (1)
informeel, context gebonden (2) semiformeel, model ondersteund rekenen (3)
formeel.
1. Concreet
2. Mode ondersteunend
3. Formeel
Bij een goede inzet van modellen en materialen zijn onderlinge verbanden voor kinderen
logisch. In het ideale geval is een model daarom zowel een model van kinderen als een
model van wiskunde. Dit houdt in dat:
1. Vanuit een concrete situatie kinderen zelf een modelmatige tekening zouden moeten
kunnen maken (voor kinderen)
2. Hieruit een modelmatige weergave wordt ontwikkeld voor het formele redeneren en
rekenen (voor wiskunde)
Modelcontext: sommige contexten hebben zo’n ondersteunende werking voor het rekenen
en redeneren, dat ze een modelcontext vormen. Een voorbeeld daarvan is de bus context.
3) Ruimte voor eigen inbreng van leerlingen:
Drie invalshoeken:
- Productief oefenen (oefenen op een open, niet voor gestructureerde manier)
- Het laten maken van eigen producties.
- Eigen oplossingswijze
4) Interactie en reflectie
Leren van rekenen-wiskunde vindt vooral plaats in interactie met anderen: luisteren
naar uitleg, uitwisselen van ideeën en oplossingsstrategieën, vragen stellen en
verwoorden van eigen aanpakken en die van anderen.
Leren van reflectie: door een dergelijke reflectie op oplossingswijzen van jezelf en
van anderen komen kinderen tot verkorting, abstrahering en het doorzien van
wiskunde relaties tussen verschillende aanpakken.
Stimultane interactie: leerlingen discussiëren onderling (horizontaal) en leerkracht
stuurt de goede kant op (verticaal) goede vragen zijn hier: open vragen.
5) Verstrengeling van leerlijnen: veel reken-wiskunde inhouden hebben met elkaar te
maken. De onderlinge verbanden tussen verschillende leerinhouden worden expliciet
aan de orde gesteld.
Rekenen II
Inhoud
Boek: Hele getallen.....................................................................................................................3
Hoofdstuk 7: Hele getallen..........................................................................................................3
Vakdidactiek rekenen-wiskunde.............................................................................................3
Boek: Meten en Meetkunde.......................................................................................................5
Hoofdstuk 1 Meetkunde en Meten: samenhang meten en meetkunde....................................5
Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde......................................................5
meten van inhoud...............................................................................................................5
lengte en oppervlakte.........................................................................................................5
Uit de geschiedenis van meten en meetkunde..................................................................6
Meten en meetkunde op de basisschool................................................................................6
Overeenkomsten tussen meten en meetkunde.................................................................6
Verschillen tussen meten en meetkunde...........................................................................6
Samenhang in activiteiten...................................................................................................6
Hoofdstuk 2: Meten....................................................................................................................6
Meten en meetgetallen zijn overal.........................................................................................6
Meetinstrumenten..............................................................................................................7
meetnauwkeurigheid..........................................................................................................7
Uit de geschiedenis van meten...........................................................................................7
Wiskundetaal bij meten......................................................................................................8
Grootheden en maten........................................................................................................8
Hoofdstuk 3: Meten op de basisschool....................................................................................10
Schets van de leerlijn meten.................................................................................................10
vergelijken.........................................................................................................................11
afpassen met een maat.....................................................................................................11
Hoofdstuk 5: Meetkunde..........................................................................................................13
Meetkunde is overal.........................................................................................................13
Deelgebied oriëntatie in de ruimte...................................................................................14
Deelgebied: viseren en projecteren..................................................................................14
Deelgebied: transformeren...............................................................................................14
Deelgebied: construeren...................................................................................................14
, Deelgebied: visualiseren en representeren......................................................................14
Meetkundige figuren.........................................................................................................14
Hoofdstuk 6: Meetkunde op de basisschool............................................................................16
Leerlijn meetkunde...............................................................................................................16
Oriëntatie in de ruimte.........................................................................................................17
Viseren en projecteren.........................................................................................................17
Transformeren......................................................................................................................18
Construeren..........................................................................................................................18
Visualiseren en representeren..............................................................................................19
samenhang met andere domeinen.......................................................................................19
Het boek: verhoudingen, procenten, kommagetallen en breuken..........................................19
Hoofdstuk 1 samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen..................19
Verhoudingen zijn de basis...................................................................................................19
Overeenkomsten en verschillen.......................................................................................19
Absoluut en relatief...........................................................................................................20
Onderlinge relaties............................................................................................................20
Hoofdstuk 2 Verhoudingen.......................................................................................................21
Verhoudingen zijn overal......................................................................................................21
evenredige verbanden......................................................................................................21
Niet-evenredige verbanden..............................................................................................22
Verhoudingen op de basisschool..........................................................................................22
schets van de leerlijn verhoudingen.................................................................................23
modellen bij verhoudingen...............................................................................................24
Hoofdstuk 3 Procenten.............................................................................................................24
Procenten kom je veel tegen................................................................................................24
Een gestandaardiseerde verhouding................................................................................25
Procenten op de basisschool............................................................................................26
Schets van de leerlijn procenten...........................................................................................26
Introductie van procenten................................................................................................26
Modellen bij procenten.....................................................................................................26
Rekenen en redeneren met procenten............................................................................27
Rekenmachine...................................................................................................................28
Samenhang met andere domeinen..................................................................................28
Hoofdstuk 4 Breuken................................................................................................................28
Getal en verhouding..............................................................................................................28
, 4.2 Schets van de leerlijn......................................................................................................29
Hoofdstuk 5 Kommagetallen....................................................................................................31
Kommagetallen in de realiteit...............................................................................................31
De leerlijn van kommagetallen.............................................................................................32
Introductie van kommagetallen........................................................................................32
Modellen en schema’s bij kommagetallen.......................................................................33
Rekenen en redeneren met kommagetallen........................................................................34
Boek: Hele getallen
Hoofdstuk 7: Hele getallen
Vakdidactiek rekenen-wiskunde
Het reken-wiskundeonderwijs is sterk beïnvloed door het zogenoemde realisme of realistisch
rekenen-wiskundeonderwijs. Het realisme gaat ervan uit dat reken-wiskundeonderwijs het
beste kan aansluiten op voor kinderen betekenisvolle realiteit. Kinderen leren het beste als
zij zich realiseren wat ze doen.
Er bestaan vijf praktische onderwijsleerprincipes:
1. Mathematiseren vanuit betekenisvolle realiteit
2. Modelleren en formaliseren
3. Ruimte voor eigen inbreng van leerlingen
4. Interactie en reflectie
5. Verstrengeling van leerlijnen
1) Mathematiseren vanuit betekenisvolle realiteit: er wordt gebruik gemaakt van
contexten. Kinderen stellen er zich iets bij voor. Betekenisvol is relatief: wat voor de
een betekenisvol is, daar kan de ander zich niets bij voorstellen.
Contexten worden op verschillende manieren ingezet:
- Probleem introduceren (bijvoorbeeld de tribune context gebruiken wanneer
kinderen eerst 1 erbij moeten doen om het tiental vol te maken en vervolgens de rest
erbij)
- Contexten gebruiken om eerder geleerde reken-wiskundige kennis en vaardigheden
toe te passen. Het gaat om het begrijpen (aanpakken, interpreteren) van de realiteit.
2) Modelleren en formaliseren
De figuurlijke afstand tussen concrete situaties en contexten en formeel rekenen is
soms groot. Om kinderen te helpen worden hulpmiddelen gebruikt zoals modellen,
schema’s en (structuur) materialen. Voorbeelden zijn: het rekenrekje, de getallenlijn
en het positieschema.
Horizontaal mathematiseren: modellen en schema’s vormen een ware brug tussen
realiteit en formele reken-wiskunde.
, Verticaal mathematiseren: modellen en schema’s ondersteunen ook deze vorm
aangezien ze het rekenen langere tijd ondersteunen. Het positieschema kan
bijvoorbeeld ook worden gebruikt voor het cijferend rekenen en rekenen met
komma’s.
Er worden grofweg drieniveaus van abstractie doorlopen bij formaliseren: (1)
informeel, context gebonden (2) semiformeel, model ondersteund rekenen (3)
formeel.
1. Concreet
2. Mode ondersteunend
3. Formeel
Bij een goede inzet van modellen en materialen zijn onderlinge verbanden voor kinderen
logisch. In het ideale geval is een model daarom zowel een model van kinderen als een
model van wiskunde. Dit houdt in dat:
1. Vanuit een concrete situatie kinderen zelf een modelmatige tekening zouden moeten
kunnen maken (voor kinderen)
2. Hieruit een modelmatige weergave wordt ontwikkeld voor het formele redeneren en
rekenen (voor wiskunde)
Modelcontext: sommige contexten hebben zo’n ondersteunende werking voor het rekenen
en redeneren, dat ze een modelcontext vormen. Een voorbeeld daarvan is de bus context.
3) Ruimte voor eigen inbreng van leerlingen:
Drie invalshoeken:
- Productief oefenen (oefenen op een open, niet voor gestructureerde manier)
- Het laten maken van eigen producties.
- Eigen oplossingswijze
4) Interactie en reflectie
Leren van rekenen-wiskunde vindt vooral plaats in interactie met anderen: luisteren
naar uitleg, uitwisselen van ideeën en oplossingsstrategieën, vragen stellen en
verwoorden van eigen aanpakken en die van anderen.
Leren van reflectie: door een dergelijke reflectie op oplossingswijzen van jezelf en
van anderen komen kinderen tot verkorting, abstrahering en het doorzien van
wiskunde relaties tussen verschillende aanpakken.
Stimultane interactie: leerlingen discussiëren onderling (horizontaal) en leerkracht
stuurt de goede kant op (verticaal) goede vragen zijn hier: open vragen.
5) Verstrengeling van leerlijnen: veel reken-wiskunde inhouden hebben met elkaar te
maken. De onderlinge verbanden tussen verschillende leerinhouden worden expliciet
aan de orde gesteld.
