Antwoorden - Moderne wiskunde - wiskunde B - VWO 5 - H4 - Integreren

22 juni 2020




Hoofdstuk 4: Integreren

V-1
1
a. f (x)  x  3 c. h( x ) 5 x 2 x 5 x
2 21

x3
4 1 1 1  11
b. g(x )   54   54 x  1 d. k( x)   31  11  13 x 2
5x x 3x x x2

V-2
3 x 4  5 x 2  2x
a. f (x)  3 x 3  5 x  2
x
x  8x 3  5x 2
4
x 4 8x 3 5x 2 1
b. g(x )  3
 3
 3 3
 2 x  4  2 12 x  1
2x 2x 2x 2x
3 2
3(2 x  3) 3(2 x  3)(2 x  3)
c. h( x )   1 21 (2 x  3)2 6 x 2  18 x  13 12
4x  6 2(2 x  3)
2( x  5)2 2 x 2  20 x  50
d. k(x)  2
 2
2  20 x  1  50 x  2
x x

V-3
a. f ( x ) (2 x  5)(2 x  1) 4 x 2  8 x  5 f '( x ) 8 x  8
2 2
g ( x ) (2 x  2) 4 x  8 x  4 g '( x ) 8 x  8
x  1(2  x )  2  1(2  x ) 2 2
b. h( x )      1   1  k ( x )
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x
c. h '( x ) k '( x )

V-4
3
y log(3,1)  3 log(3)
a.
x
 3, 3.1  3,1  3
0,2985
3
y log(3,01)  3 log(3)
b.  3, 3.01  0,3029
x 3,01  3
3
y log(3,001)  3 log(3)
 3, 3.001  0,3034
x 3,001  3
c. De helling in (3, 1) is ongeveer 0,30

V-5
y log(4,0001)  log(4)
a.  4, 4.0001  0,1086
x 0,0001
y 1,24,0001  1,24
b.  4, 4.0001  0,3781
x 0,0001
y h(4,0001)  h(4)
c.  4, 4.0001  4,3334
x 0,0001
y k (4,0001)  k (4)
d.  4, 4.0001  0,0400
x 0,0001



1
Uitwerkingen 5 vwo wiskunde B, hoofdstuk 4

, 22 juni 2020



V-6
a. u( x ) 2 x  5 en f (u ) 3u 4 f '( x ) 2 12u 3 24(2 x  5)3
3  15
b. u( x ) 5 x  1 en h(u )  3u  1 h '( x ) 5  3u  2  15(5 x  1) 2 
u (5 x  1)2
1 1
c. u( x ) 3  4 x en g (u )  21 u g '( x )  4 21  
2 u 3  4x
4 1  121  10
d. u( x ) 5 x  6 en k (u )   34 u 2 k '( x ) 5 34  21 u  11
3 u 3(5 x  6) 2

V-7
a. f ( x ) (2 x 3  1)2 4 x 6  4 x 3  1 f '( x ) 24 x 5  12 x 2
g ( x ) 4( x 6  x 3 ) 4 x 6  4 x 3 g '( x ) 24 x 5  12 x 2
b. De afgeleiden zijn gelijk aan elkaar. De functies kunnen dan alleen een constante
verschillen.
c. zie a: c  1

V-8
a. x  21 x c. x 2  4 x  6
x  41 x 2 x 2  x  2 0
1 2
4
x  x 0 ( x  2)( x  1) 0
4 x ( x  4) 0
1 x 2  x  1
x 0  x 4 (2, 8) en (  1, 5)
(0, 0) en (4, 2)
3 3
b. x  2 d. 2
x 2  2
x 4 x  4
( x  4)( x  2) 3 ( x 2  4)( x 2  2) 3
x 2  6 x  5 0 x 4  6 x 2  5 0
( x  1)( x  5) 0 ( x 2  1)( x 2  5) 0
x  1  x  5 x  1  x 1  x  5  x  5
(-1, 1) en (-5, -3) (-1, -1) (1, -1) (  5, 3) ( 5, 3)




2
Uitwerkingen 5 vwo wiskunde B, hoofdstuk 4

, 22 juni 2020



1
a. Opp 2 f (1)  2 f (3) 2 3 81  2 4 38 15
b. Opp 1f ( 21 )  1f (1 12 )  1f (2 12 )  1f (3 12 ) 14 43
c. Het antwoord van opdracht b is nauwkeuriger.
d. Als je de rechthoekjes nog smaller maakt krijg je een betere benadering.

2
a. Opp 2 f (2)  2 f (4) 52
b. Opp  21 f (1 14 )  12 f (1 34 )  ...  12 f (4 34 ) sum(seq( 12 y1, x, 1 14 , 4 34 , 1
2 )) 50 34

3 Opp 1f (1 21 )  1f (2 12 )  1f (3 12 )  1f (4 12 ) 6 14

4
a. De intervallen zijn dan 1 breed. Het midden van het eerste interval is 1 21 en van het
laatste deelinterval 4 21 .
b. Elk interval is dan 0,4 breed. Het midden van het eerste deelinterval is 1,2 en het
laatste 4,8.
c. Je neemt de som van de oppervlakte van de balkjes met breedte 0,4.
d. Opp 0,4 f (1,2)  0,4 f (1,6)  ...  0,4 f (4,8) 0,2 (f (1,1)  f (1,3)  ...  f (4,9))
Opp sum(seq(0,4 y 1, x, 1.2, 4.8, 0.4)) 30,72

5
a. (f (1,2)  f (1,6)  ...  f (6,8)) 0,4 sum(seq(0,4 y1, x, 1.2, 6.8, 0.4)) 18,08
b. De grafiek daalt onder de x-as. Dus voor bepaalde waarden van x is de
functiewaarde negatief.

6
a. De deelintervallen zijn 208 0,4 breed
Opp 0,4 f (  1,8)  0,4 f (  1,4)  ...  0,4 f (5,8) 
sum(seq(0.4 y1, x,  1.8, 5.8, 0.4)) 130,56
b. Opp 0,08 f (  1,96)  ...  0,08 f (5,96) 
sum(seq(0.08 y1, x,  1.96, 5.96, 0.08)) 130,66

7
a. 20 deelintervallen: de breedte is dan 0,25
Opp 0,25 f (2,125)  ...  0,25 f (6,875)  68,36
b. De functiewaarden (lengte van de staven) liggen onder de x-as (zijn dus negatief)

8
a. 10 intervallen: Opp sum(seq(0.3 y1, x, 0.15, 2.85, 0.3)) 8,9775
20 intervallen: Opp sum(seq(0.15 y1, x, 0.075, 2.925, 0.15)) 8,994375
100 intervallen: Opp sum(seq(0.03y 1, x, 0.015, 2.985, 0.03)) 8,999775
b. De oppervlakte zal steeds dichter bij 9 komen.
c. Dezelfde berekeningen, alleen nu met y1  x
10 intervallen: Opp 3,473 20 intervallen: Opp 3,467
100 intervallen: Opp 3,464

3
Uitwerkingen 5 vwo wiskunde B, hoofdstuk 4