MECHANICA VAN
MATERIALEN, VLOEISTOFFEN
EN CONSTRUCTIES
DEEL 1
Ingenieurswetenschappen: Architectuur (2Ba)
Ingenieurswetenschappen (2Ba)
Zarah Van Schoor
VUB | 2018
,Inhoud
Inleiding .................................................................................................................................................................. 2
Wiskundig instrumentarium ................................................................................................................................... 2
Statica: de kracht van het evenwicht ...................................................................................................................... 6
Het concept spanning ............................................................................................................................................. 8
Vervorming en rek ................................................................................................................................................ 16
Mechanische eigenschappen van materialen....................................................................................................... 20
Uni-axiaal belaste elementen ............................................................................................................................... 29
1
,Mechanica van materialen, vloeistoffen
en constructies
Inleiding
Materiaalkunde à onderzoek naar relaties tussen verwerking, structuur,
à eigenschappen en prestaties van materialen
MMVC à studie van de “inwendige” effecten (spanning en
à rek) welke veroorzaakt worden door de
à uitwendige belasting (krachten en
à momenten) die op het vervormbaar lichaam
à of de constructie inwerken
• Sterkte à wordt bepaald door de spanning bij breuk
• Vervorming à wordt gekarakteriseerd door de rek
• Stijfheid à vermogen om weerstand te bieden aan vervorming welke veroorzaakt
à wordt door de uitwendige belasting; wordt bepaald door het verband
à tussen spanning en rek zijnde de constitutieve relatie
• Stabiliteit à vermogen om weerstand te bieden aan snel groeiende vervorming
à veroorzaakt door een kleine perturbatie, bv knik,..
Wiskundig instrumentarium
Scalair (tensor v.d. 0de orde) à 1 component (densiteit, temperatuur, ..) à cursief
Vector (tensor v.d. 1ste orde) à 3 componenten (kracht, snelheid, ..) à vet, pijl 𝑎⃗, streep 𝑎#
Tensor v.d. 2de orde à 9 componenten (spanning, rek, ..) à HOOFDLETTER?
Algemeen in een cartesische ruimte: 3n componenten
Vector, Tensor heeft een bestaan onafhankelijk van elk gekozen assenstelsel Maar wel nodig
wanneer we hen willen karakteriseren m.b.v. hun componenten
Indexnotatie
#
𝑠 = 𝑎! 𝑥! + 𝑎" 𝑥" + 𝑎# 𝑥# = ( 𝑎$ 𝑥$ = 𝑎$ 𝑥$
$%!
• Stomme index à Index 𝑖; som is onafhankelijk van de keuze van de index
à Mag nooit meer dan tweemaal voorkomen
• Vrije index à Komt slechts eenmaal voor in elke term van de vergelijking
à Moet dezelfde zijn in elke term
Bv.: 𝑥$ = 𝑎$& 𝑧& 𝑖, 𝑚 = 1,2,3
2
, Kronecker delta & permutatie
Kronecker Delta δij
𝛿$' = 1 indien 𝑖 = 𝑗
𝛿$' = 0 indien 𝑖 ≠ 𝑗
Permutatiesymbool εijk
1 𝑒𝑣𝑒𝑛
𝜀$'( = 5−17 indien 𝑖, 𝑗, 𝑘 5𝑜𝑛𝑒𝑣𝑒𝑛 7 permutatie is van 1,2,3
0 𝑔𝑒𝑒𝑛
Scalairen & vectoren
Beschouw vector v in rechthoekig cartesisch assenstelsel Oxyz
Met als basisvectoren de set eenheidsvectoren e1, e2, e3
𝑣̅
𝑒>) = = (cos 𝛼)𝑒>! + (cos 𝛽)𝑒>" + (cos 𝛾)𝑒>#
𝑣
à een vector associeert een scalair aan elke richting in de ruimte en dit aan de hand van een
homogene lineaire vergelijk in de richtingscosinussen
Som
Parallellogramregel
𝑎# + 𝑏# = [𝑎! + 𝑏! 𝑎" + 𝑏" 𝑎# + 𝑏# ]
Vermenigvuldiging met een scalair α
𝛼𝑎# = [𝛼𝑎! 𝛼𝑎" 𝛼𝑎# ]
Scalair (inwendig) product van 2 vectoren a en b
à moeten dezelfde dimensie hebben
𝑎# ∙ 𝑏# = ‖𝑎‖‖𝑏‖ cos 𝜃 = 𝑎$ 𝑏$
• Commutatief 𝑎# ∙ 𝑏# = 𝑏# ∙ 𝑎#
• Distributief 𝛼𝑎 ∙ N𝛽𝑏# + 𝛾𝑐̅P = 𝛼𝛽N𝑎# ∙ 𝑏#P + 𝛼𝛾(𝑎# ∙ 𝑐̅)
• 𝑎# ∙ 𝑎# = ‖𝑎‖" ≥ 0
Indexnotatie:
𝑎# ∙ 𝑏# = 𝑎* 𝑏 = 𝑎! 𝑏! + 𝑎" 𝑏" + 𝑎# 𝑏# = 𝑎$ 𝑏$
Orthogonaal1 indien: 𝑎# ∙ 𝑏# = 𝑎* 𝑏 = 0
1
Loodrecht op elkaar
3
MATERIALEN, VLOEISTOFFEN
EN CONSTRUCTIES
DEEL 1
Ingenieurswetenschappen: Architectuur (2Ba)
Ingenieurswetenschappen (2Ba)
Zarah Van Schoor
VUB | 2018
,Inhoud
Inleiding .................................................................................................................................................................. 2
Wiskundig instrumentarium ................................................................................................................................... 2
Statica: de kracht van het evenwicht ...................................................................................................................... 6
Het concept spanning ............................................................................................................................................. 8
Vervorming en rek ................................................................................................................................................ 16
Mechanische eigenschappen van materialen....................................................................................................... 20
Uni-axiaal belaste elementen ............................................................................................................................... 29
1
,Mechanica van materialen, vloeistoffen
en constructies
Inleiding
Materiaalkunde à onderzoek naar relaties tussen verwerking, structuur,
à eigenschappen en prestaties van materialen
MMVC à studie van de “inwendige” effecten (spanning en
à rek) welke veroorzaakt worden door de
à uitwendige belasting (krachten en
à momenten) die op het vervormbaar lichaam
à of de constructie inwerken
• Sterkte à wordt bepaald door de spanning bij breuk
• Vervorming à wordt gekarakteriseerd door de rek
• Stijfheid à vermogen om weerstand te bieden aan vervorming welke veroorzaakt
à wordt door de uitwendige belasting; wordt bepaald door het verband
à tussen spanning en rek zijnde de constitutieve relatie
• Stabiliteit à vermogen om weerstand te bieden aan snel groeiende vervorming
à veroorzaakt door een kleine perturbatie, bv knik,..
Wiskundig instrumentarium
Scalair (tensor v.d. 0de orde) à 1 component (densiteit, temperatuur, ..) à cursief
Vector (tensor v.d. 1ste orde) à 3 componenten (kracht, snelheid, ..) à vet, pijl 𝑎⃗, streep 𝑎#
Tensor v.d. 2de orde à 9 componenten (spanning, rek, ..) à HOOFDLETTER?
Algemeen in een cartesische ruimte: 3n componenten
Vector, Tensor heeft een bestaan onafhankelijk van elk gekozen assenstelsel Maar wel nodig
wanneer we hen willen karakteriseren m.b.v. hun componenten
Indexnotatie
#
𝑠 = 𝑎! 𝑥! + 𝑎" 𝑥" + 𝑎# 𝑥# = ( 𝑎$ 𝑥$ = 𝑎$ 𝑥$
$%!
• Stomme index à Index 𝑖; som is onafhankelijk van de keuze van de index
à Mag nooit meer dan tweemaal voorkomen
• Vrije index à Komt slechts eenmaal voor in elke term van de vergelijking
à Moet dezelfde zijn in elke term
Bv.: 𝑥$ = 𝑎$& 𝑧& 𝑖, 𝑚 = 1,2,3
2
, Kronecker delta & permutatie
Kronecker Delta δij
𝛿$' = 1 indien 𝑖 = 𝑗
𝛿$' = 0 indien 𝑖 ≠ 𝑗
Permutatiesymbool εijk
1 𝑒𝑣𝑒𝑛
𝜀$'( = 5−17 indien 𝑖, 𝑗, 𝑘 5𝑜𝑛𝑒𝑣𝑒𝑛 7 permutatie is van 1,2,3
0 𝑔𝑒𝑒𝑛
Scalairen & vectoren
Beschouw vector v in rechthoekig cartesisch assenstelsel Oxyz
Met als basisvectoren de set eenheidsvectoren e1, e2, e3
𝑣̅
𝑒>) = = (cos 𝛼)𝑒>! + (cos 𝛽)𝑒>" + (cos 𝛾)𝑒>#
𝑣
à een vector associeert een scalair aan elke richting in de ruimte en dit aan de hand van een
homogene lineaire vergelijk in de richtingscosinussen
Som
Parallellogramregel
𝑎# + 𝑏# = [𝑎! + 𝑏! 𝑎" + 𝑏" 𝑎# + 𝑏# ]
Vermenigvuldiging met een scalair α
𝛼𝑎# = [𝛼𝑎! 𝛼𝑎" 𝛼𝑎# ]
Scalair (inwendig) product van 2 vectoren a en b
à moeten dezelfde dimensie hebben
𝑎# ∙ 𝑏# = ‖𝑎‖‖𝑏‖ cos 𝜃 = 𝑎$ 𝑏$
• Commutatief 𝑎# ∙ 𝑏# = 𝑏# ∙ 𝑎#
• Distributief 𝛼𝑎 ∙ N𝛽𝑏# + 𝛾𝑐̅P = 𝛼𝛽N𝑎# ∙ 𝑏#P + 𝛼𝛾(𝑎# ∙ 𝑐̅)
• 𝑎# ∙ 𝑎# = ‖𝑎‖" ≥ 0
Indexnotatie:
𝑎# ∙ 𝑏# = 𝑎* 𝑏 = 𝑎! 𝑏! + 𝑎" 𝑏" + 𝑎# 𝑏# = 𝑎$ 𝑏$
Orthogonaal1 indien: 𝑎# ∙ 𝑏# = 𝑎* 𝑏 = 0
1
Loodrecht op elkaar
3
