Opdracht afkomstig uit de jaarlijkse Wiskunde-B dag. Opdracht komt uit 2001 en is gemaakt in 2018 als vervangende opdracht. Opdracht C is daarom niet opgenomen in deze uitwerking. Opdracht A1, A2, B1 en B2 wel. Hierin zijn formules te vinden welke ook gebruikt kunnen worden bij de uitwerking van op...
, Inleiding
Een jeep wil een grote woestijn door. De jeep staat aan de rand van de
woestijn waar oneindig veel benzine aanwezig is. Op het eindpunt is ook weer
voldoende benzine aanwezig. Maar onderweg zijn er helemaal geen
tankstations. Onderweg kunnen wel benzinedepots aangelegd worden. Dit
zijn plekken waar benzine opgeslagen kan worden om later weer te
gebruiken.
De vraag is hoe de jeep de totale gebruikte hoeveelheid benzine zo klein
mogelijk kan houden bij verschillende afstanden. En of de jeep elke
willekeurige afstand kan overbruggen. Deze vragen worden in dit verslag
uitgewerkt.
Er worden een aantal aannames gemaakt die gedurende dit hele verslag
gelden:
Per gereden afstand verbruikt de jeep steeds dezelfde hoeveelheid
benzine, ongeacht de belasting van de jeep of de gesteldheid van de
weg.
De jeep gaat niet stuk onderweg.
De jeep heeft één tank. De benzine in de tank wordt verbruikt tijdens
het rijden en wordt ook gebruikt voor het vullen van de depots.
Er wordt langs één weg gereden.
Er kunnen langs de weg op elke plek depots aangelegd worden. Hoe
dat gebeurt, wordt buiten beschouwing gelaten.
Er zit geen maximum aan het aantal liter benzine dat bij een depot kan
worden opgeslagen.
Niet alle benzine hoeft in één keer bij een depot meegenomen te
worden of in één keer gebracht te worden.
2
, Opgave A1
Probleemstelling
Er is een afstand van 1100 kilometer te overbruggen met de jeep door de
woestijn. De jeep kan in totaal 100 liter meenemen en rijdt 1 op 10. In deze
opgave wordt ervan uitgegaan dat er maar één depot mag worden aangelegd.
Onderzoeksvraag: wat is de minimale hoeveelheid benzine die de jeep nodig
heeft om 1100 km te overbruggen?
Uitwerking
De jeep rijdt 1 op 10. Dit houdt in dat de jeep met 1 liter benzine 10 km kan
rijden. In de tank past maximaal 100 liter benzine. De maximale afstand die
de jeep met een volle tank kan rijden is dus: 100 x 10 = 1000 km.
Om een depot aan te leggen moet de jeep naar het betreffende depot rijden,
daar benzine achterlaten en weer terugrijden naar het beginpunt. Hoe kleiner
deze afstand, hoe minder benzine dit kost. Het is dus het voordeligst om het
depot zo dicht mogelijk bij het beginpunt aan te leggen en de jeep de laatste
1000 km in één keer te laten rijden.
Het depot moet dan aangelegd worden op 1100 – 1000 = 100 km van het
beginpunt. Bij dit depot moet de tank helemaal gevuld kunnen worden om de
laatste 1000 km te kunnen rijden. Bij het depot aangekomen heeft de jeep al
100 km gereden en dus al 10 liter benzine verbruikt. Er moet dus 10 liter
benzine bij het depot aanwezig zijn om de tank van de jeep volledig te kunnen
vullen en de laatste 1000 km in één keer te kunnen rijden.
Om het depot aan te leggen moet de jeep eerst naar het depot rijden. Dit is
100 km en kost dus 10 liter benzine. Dan slaat de jeep 10 liter benzine op bij
het depot. Vervolgend rijdt de jeep weer 100 km terug naar het beginpunt en
dit kost weer 10 liter benzine. In totaal kost dit dus: 10 + 10 + 10 = 30 liter
benzine.
Na het aanleggen van het depot is de jeep weer terug op het beginpunt. Hier
wordt de hele tank (100 liter) van de jeep gevuld met benzine. Na 100 km
komt de jeep langs het depot waar 10 liter benzine ligt opgeslagen. Er is op
dat moment nog maar 90 liter benzine in de jeep aanwezig en deze wordt
aangevuld tot 100 liter m.b.v. de 10 liter in het depot. De jeep kan de overige
1000 km dan in één keer afleggen.
Er dus 30 liter benzine gebruikt om het depot aan te leggen en 100 liter
benzine om de jeep bij de start te vullen. In totaal wordt er dus: 30 L + 100 L =
130 liter benzine gebruikt om de afstand van 1100 km te overbruggen.
Dit is ook terug te zien in het figuur op de volgende pagina. Voor het rijden
van het beginpunt naar het depot en terug (200 km) is namelijk 200 : 10 = 20
liter benzine nodig. Daarna wordt de hele route gereden vanaf het beginpunt
3
,(1100 km) en hiervoor is 1100 : 10 = 110 liter benzine nodig. Dit is samen
dus: 20 L + 110 L = 130 liter.
Figuur 1: minimaal benzineverbruik bij een afstand van 1100 km
Conclusie
De minimale hoeveelheid benzine die de jeep nodig heeft om een afstand van
1100 km te overbruggen is dus 130 liter.
Opgave A2
Probleemstelling
Er is een afstand van 1600 km te overbruggen door de woestijn met de jeep.
De jeep kan in totaal 100 liter benzine meenemen en de jeep rijdt 1 op 10.
Onderweg kunnen depots worden aangelegd. In deze opgave wordt
aangenomen dat er geen maximum zit aan het aantal liter benzine dat bij een
depot kan worden opgeslagen, dat er geen limiet zit aan het aantal depots dat
aangelegd kan worden en dat niet alle benzine in één keer bij een depot
gebracht hoeft te worden of gebruikt hoeft te worden.
Onderzoeksvraag: wat is de minimale hoeveelheid benzine die de jeep nodig
heeft om 1600 km te overbruggen?
Uitwerking
Het is wederom het voordeligst om de jeep de laatste 1000 km in één keer te
laten rijden. Want hoe dichter de depots bij het beginpunt liggen, hoe minder
benzine de jeep verbruikt. Voor de laatste 1000 km is een volle tank benzine
nodig (100 liter). Deze 100 liter moet bij het laatste depot worden opgeslagen.
Dit depot bevindt zich dus op: 1600 – 1000 = 600 km na het beginpunt
(oftewel 1000 km voor het eindpunt). Het is het voordeligst om meerdere
depots aan te leggen en de benzine voor het volgende depot (richting het
eindpunt) steeds vanuit het vorige depot te halen. Alle benodigde benzine
wordt dus bij het eerste depot na het beginpunt gebracht, en vanuit daar naar
het volgende depot en vanuit daar naar het volgende depot etc. Hiervoor
moet de jeep dus heen en terugrijden tussen de depots. Dit lijkt omslachtig,
maar hierdoor hoeft de jeep niet telkens terug naar het beginpunt om vanuit
4
,daar depots aan te leggen. Dit kost namelijk enorm veel benzine voor de rit
zelf en zo kan er minder benzine in de depots zelf worden opgeslagen.
Voor deze opgave geldt:
Depot A = het laatste depot (1000 km voor het eindpunt)
Depot B = het een-na-laatste depot
Depot C = het depot vóór het een-na-laatste depot
Figuur 2: naamgeving depots
Bij deze opgave werk ik vanuit het eindpunt naar het beginpunt.
Omdat er maar 100 liter in de tank past, zal de 100 liter die in depot A wordt
opgeslagen dus vanuit de depot B gebracht moeten worden. Het stuk tussen
depot A en depot B wordt drie keer afgelegd. Eén keer in de laatste rit richting
het eindpunt, en twee keer (heen en terug) om een gedeelte van depot A aan
te leggen. Depot B moet dus 100 liter benzine voor depot A bevatten en
benzine voor drie keer de afstand tussen depot A en depot B. Deze afstand
moet zo groot mogelijk zijn om de benzine en het gebruik van de depots
1000
optimaal te benutten, dus: = 333 ⅓ km. Dit is dus 1/3 keer de afstand
3
van 1000 km en hiervoor is dus 100 liter nodig. Depot B moet dus in totaal
200 liter benzine bevatten. Depot A is dan nog leeg.
Hoe de 100 liter vanuit depot B naar depot A komt in drie keer rijden werkt
dan als volgt: vanuit depot B kan in die twee keer (heen en terug) niet in één
keer de 100 liter voor depot A meegenomen worden omdat de jeep zelf ook
benzine verbruikt voor de 333 ⅓ km. Voor een keer heen en terug is dit: ((333
⅓+ 333 ⅓) / 10) = 66 ⅔ liter benzine. De jeep kan dan dus: 100 L – 66 ⅔
L = 33 ⅓ liter opslaan bij depot A. Er moet dan dus nog 100 L – 33 ⅓ L = 66
⅔ liter worden opgeslagen. Dit kan de jeep in de laatste rit meenemen omdat
de jeep daar 33 ⅓ liter verbruikt (333 ⅓ / 10) en er dus nog ruimte is voor 66
⅔ liter.
De benzine voor depot B zal uit depot C moeten komen. Het stuk tussen
depot B en C wordt in totaal vijf keer afgelegd. Eén keer in de laatste rit, twee
keer om een gedeelte van depot B aan te leggen en twee keer om een
gedeelte van de benzine voor depot A naar depot B te vervoeren. Depot C
moet dus 200 liter benzine voor depot B bevatten en benzine voor vijf keer de
afstand tussen depot C en depot B. Deze afstand moet weer zo groot
mogelijk zijn,
5
, 1000
dus: = 200 km. Dit is dus 1/5 keer de afstand van 1000 km. Hiervoor is
5
dus 100 liter nodig. Depot C moet dus in totaal 300 liter benzine bevatten.
Depot B en depot A zijn dan nog leeg.
Hoe de 200 liter vanuit depot C naar depot B komt in vijf keer rijden werkt dan
als volgt: vanuit depot C wordt een keer heen en teruggereden naar depot B.
Voor alleen de rit heeft de jeep dan: ((200 + 200) / 10) = 40 liter benzine
nodig. Er kan dan dus: 100 – 40 = 60 liter bij depot B worden achtergelaten.
Dit doet de jeep in totaal twee keer, dus er ligt dan: 60 + 60 = 120 liter bij
depot B. Er mist dan nog: 200 – 120 = 80 liter. Dit kan de jeep in het laatste
stuk meenemen. Voor het laatste stuk is namelijk: = 20 liter benzine
nodig. Er is dan nog: 100 – 20 = 80 liter ruimte voor benzine in de tank om
mee te kunnen nemen en op te kunnen slaan bij depot B.
Het stuk tussen het beginpunt en depot C zal in totaal zeven keer worden
afgelegd. Eén keer in de laatste rit, twee keer om een gedeelte van de
benzine voor depot C te vervoeren, twee keer om een gedeelte van de
benzine voor depot B te vervoeren en twee keer om een gedeelte van de
benzine voor depot A te vervoeren. De groots mogelijke afstand is dan dus
1/7 van de 1000 km. De reeks 1/3, 1/5, 1/7 etc. speelt bij deze opgave dus
een rol.
Uit deze reeks kan een formule worden afgeleid. Bij elk extra depot moet de
jeep namelijk één keer extra heen en terug. Stel dit gelijk aan ‘2n’. Hierbij is ‘n’
het nummer van een depot of tankstop, gerekend vanaf het eindpunt. Dus
n=1 op het eindpunt, n=2 voor depot A, n=3 voor depot B, etc. Daarnaast
moet de jeep tijdens de laatste rit altijd nog richting het eindpunt. Dit staat
voor ‘-1’. De maximale afstand die de jeep met een volle tank kan rijden is
1000 km. Hieruit volgt een formule waarmee de maximale afstand tussen het
betreffende depot en het dan eerstvolgende depot kan worden berekend in
kilometers:
1000
Amax =
2n-1
Als deze formule wordt ingevuld wordt bovenstaande theorie bevestigd:
Amax tussen A en B = 1000 / (2x2 - 1) = 333 ⅓ km
Amax tussen B en C = 1000 / (2x3 - 1) = 200 km
Amax tussen C en beginpunt = 1000 / (2x4 – 1) = 142,857… km
De afstand van depot A tot het beginpunt is 600 km. Als bovenstaande
uitkomsten bij elkaar worden opgeteld volgt: 333 ⅓ + 200 + 142,857… =
676,190… km. Dit houdt dus in dat de afstand van depot C tot het beginpunt
kleiner moet zijn dan de maximale afstand die mogelijk is volgens de formule.
De afstand tussen depot A en B zou ook verkleind kunnen worden, of de
afstand tussen depot B en C. Maar de afstand tussen het beginpunt en het
eerstvolgende depot moet zo klein mogelijk zijn omdat bij deze afstand de
meeste benzine wordt vervoerd en de jeep te veel benzine zou verspillen als
6
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller lisavanrooij. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $4.87. You're not tied to anything after your purchase.
