Dit is een samenvatting van het boek 'Meten en meetkunde' Reken-wiskundedidactiek van ThiemeMeulenhoff. De samenvatting bevat begrippen, voorbeelden en plaatjes om de voorbeelden te versterken. Ook worden de deelgebieden van meetkunde uitgebreid uitgelegd. Veel succes!
Bij meten gaat het om het getalsmatig greep krijgen op ‘eigenschappen’ van de wereld, zoals
lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en tijdsduur (grootheden). De essentie van meten is
dat een grootheid wordt afgepast met een maat. Een meting levert een meetgetal op. Voor
meten kan je meetinstrumenten gebruiken.
Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte
(plattegronden, routes, richtingen, schaduwen, patronen, 2D, 3D). Het is op te vatten als
ruimtelijke oriëntatie in wiskundige zin.
Ruimtelijk redeneren valt binnen meetkunde.
Meten van inhoud
Het in gedachten in elkaar zetten van een bouwplaat -> meetkunde. Zoals een
opengevouwen kubus.
De vraag ‘’wat is de inhoud?’’ is meten. Bijvoorbeeld: de inhoud van een doos. Het gaat om
kwantificeren (=ergens een getal aan toekennen) van de eigenschap inhoud.
Kwantiteit = hoeveelheid.
Het in gedachten een doos vullen valt onder ruimtelijk redeneren.
Wanneer leerlingen ervaren dat een bepaalde inhoud verschillende vormen kan aannemen,
raken meten en meetkunde elkaar.
Lengte en oppervlakte
Een meetkundige activiteit als het omvormen van figuren kan worden toegepast bij het
meten van oppervlaktes. Kinderen worden zich er bewust van dat een bepaalde oppervlakte
meerdere vormen kan hebben. Het werken met vlakvullingen ligt op het snijvlak van meten
en meetkunde: een bepaalde oppervlakte wordt voorgelegd met meetkundige vormen.
Geschiedenis meten en meetkunde
Stelling van Pythagoras:
Ook in de stelling van Pythagoras komen meten en meetkunde samen. De stelling beschrijft
de vaste relatie tussen de lengtes van de drie zijden van een rechthoekige driehoek:
a2 + b2 = c2.
Het inzicht dat het kwadraat van een getal voorgesteld kan worden als de oppervlakte van
een vierkant is nodig om de relatie tussen getallen en meetkunde te begrijpen.
1
,De gulden snede
Gaat om meten en meetkunde: in allerlei meetkundige figuren zijn
afmetingen volgens deze verhouding terug te vinden. Goddelijke verhouding
genoemd -> voorbeeld tekening van de ‘’Vetruvische man’’. Als je een
lijnstuk zo in tweeën verdeeld dat de verhouding van het kleinste deel ten
opzichte van het grootste deel dezelfde is als de verhouding van het grootste
deel tot het hele lijnstuk, dan heb je de gulden snede te pakken.
Meten en meetkunde op de basisschool
Overeenkomsten meten meetkunde
De domeinen meten en meetkunde komen allebei al vanaf de kleutergroep aan bod. Het
onderwijs in meten en meetkunde verschaft kinderen het wiskundige gereedschap om hun
dagelijkste leefwereld te kunnen begrijpen en beschrijven -> kan letterlijk. Bijv liniaal of
maatbeker. Ze krijgen greep op de grootheden lengte en inhoud. Als het beheersen van de
wiskundetaal die van pas komt in het dagelijks leven (smal, hoog, noord, zuid).
Een andere overeenkomst is dat het onderwijs zich in beide domeinen kenmerkt door
redeneren en ontwikkelen van een onderzoekende houding -> wiskundige attitude.
Bezig zijn met meten en meetkunde levert ook een belangrijke bijdrage aan de ontwikkeling
van gecijferdheid. Gecijferd zijn = beschikken o.a. over een groot aantal referenties in het
dagelijks leven.
Verschillen tussen meten en meetkunde
Bij meten gaat het meestal om andere handelingen dan bij meetkundeactiviteiten:
- Bij meetactiviteiten gaat het om het leren meten met een passende maat en zijn de
kinderen vooral aan het doen, kennen, begrijpen.
- Bij meetkundeactiviteiten gaat het vooral om het onderzoeken van ruimtelijke relaties en
het beredeneren hiervan. Kinderen zijn bezig met waarnemen, beschouwen, stellen en
beantwoorden van de waarom-vraag, gericht op verklaren.
Samenhang in activiteiten
Het heeft meerwaarde om meten en meetkunde geïntegreerd met andere rekenen
wiskunde domeinen aan bod te laten komen. Bijvoorbeeld het inrichten van een winkel of
het ontwerpen van een nieuw schoolgebouw.
Activiteiten rondom construeren (= bouwen) en representeren (= afbeelden van de
werkelijkheid) vallen binnen meetkunde. Rondom een bouwwerk kan het tegelijkertijd gaan
om meetactiviteiten.
Andere activiteiten waarin het allebei aan bod komt, ligt op het gebied van plattegronden,
landkaarten en routes: coördinaten, windrichtingen, bepalen van locaties -> meetkunde.
De afstanden, oppervlaktes -> meten.
Andere voorbeeldactiviteiten liggen op het terrein van tijdzones:
lokaliseren/plaatsbepaling -> meetkunde.
Tijdmeting -> meten.
2
,Hoofdstuk 2: meten en meetgetallen zijn overal
In het dagelijks leven kom je voortdurend in aanraking met meetgetallen. Meetgetallen
zeggen iets over grootheden als gewicht, inhoud, temperatuur en snelheid. Bij elke
grootheid bestaan verschillende maten of maateenheden (eenheden), die afhankelijk van de
situatie worden gebruikt.
We gebruiken ook meetreferenties, zoals 50 km/h in de bebouwde kom en een
lichaamslengte van 2,12 m lang. Bij koorts ga je uit van het referentiegetal 37. De stap, het
pak sap, het pak suiker. Dit zijn voorbeelden van referentiematen.
Referentie = verwijzing.
Meetinstrumenten
Bij sommige meetinstrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar (maatbeker).
Andere meetinstrumenten liggen in het verlengde van afpassen met een maat (rolmaat). Bij
digitale meetinstrumenten is het afpassen verder naar de achtergrond verdwenen.
Een unster (weeghaak) is een voorbeeld van indirect meten -> de ene grootheid (lengte)
meet om een andere grootheid te bepalen (gewicht). Het is lengtemeting; een groter
gewicht levert een grotere uitrekking op.
Op meetinstrumenten staat een schaalverdeling, soms staan er meerdere op (maatbeker).
Meetnauwkeurig
Veel meetgetallen zijn kommagetallen. Of een meetgetal een kommagetal is, hangt af van de
gehanteerde maat en de precisie. Een afstand tussen twee getallen waarbinnen het
meetresultaat ligt = een meetinterval.
Meetfouten
De meetnauwkeurigheid van metingen impliceert ook een meetonnauwkeurigheid -> treden
bij meten per definitie meetfouten op. De meetfout valt binnen het meetinterval, dat in dit
verband wordt aangeduid als foutenmarge.
Meetfouten kunnen ontstaan bij de meethandeling zelf. Om het effect van zo’n meetfout op
het meetresultaat te verkleinen, kun je een meting herhaald uitvoeren en vervolgens het
gemiddelde van de meetresultaten nemen. Ook de menselijke reactiesnelheid in een spel
kan invloed hebben op het ontstaan van meetfouten (stopwatch). Bij meetfouten die
worden veroorzaakt door de meethandeling, is de foutmarge niet per se hetzelfde als het
meetinterval.
Geschiedenis van meten
Als elementaire vorm van meten werden voorwerpen rechtstreeks met elkaar vergeleken.
Bijvoorbeeld het gewicht van een voorwerp met de hand. Aan zulke metingen worden geen
meetgetal toegekend. Dat gebeurde pas toen men begon te hanteren.
3
,Natuurlijke maten
Natuurlijke maat = Bijvoorbeeld een lichaamsdeel waarmee een grootheid kan worden
afgepast. Het meten met zo’n natuurlijke maat volstaat als de meting niet heel nauwkeurig
hoeft te worden uitgevoerd.
In het verleden werden maten ook afgeleid van wat mensen konden presteren. De ‘morgen’
werd gebruikt voor de hoeveelheid land die op een ochtend geploegd kon worden. Een
tijdsduur dus als oppervlakte maat -> vorm van indirect meten.
Standaardisering
Het gebruik van natuurlijke maten heeft meetonnauwkeurigheid tot gevolg. Daarom werd er
per regio een standaard nagestreefd: een vaste afgesproken maat. Er bestond later behoefte
aan (inter)nationale standaardisering. Eind 18e eeuw werd een stelsel van maten en
gewichten vastgesteld in het metriek stelsel -> meter is hierin de standaardmaat
Deze kreeg een centrale plaats in het stelsel: aan de basiseenheid meter werden andere
maten gekoppeld. BV vierkante meter. Er werd een tientallige maatverfijning afgesproken,
waarmee de lengtematen als cm en km om te rekenen zijn naar meter. Maten werden
geschrapt na het opstellen van het metriek stelsel, of gelijkgesteld aan de nieuwe maten.
Are > vierkante decameter
Bunder > vierkante hectometer / hectare
Ons > 100 gram
Pond > 500 gram
De huidige internationale afspraken voor een groot aantal grootheden en eenheden liggen
vast in het opgestelde SI-stelsel. Binnen het basisonderwijs wordt gewoonlijk de term
metriek stelsel gehanteerd.
Het imperiale systeem
In sommige landen wordt er een ander systeem van maten gehanteerd -> imperiale
systeem, kent de lengtematen als volgt:
Maat Symbool Onderlinge relatie Lengte in cm
Inch In of ‘’ - 2,54 cm
Foot Ft of ‘ 12 inches 30,48 cm
Yard Yd 3 feet 91,44 cm
Mille Mi 1760 yard 1609, 344 m
Het gaat hier om maten die een historische oorsprong hebben: inch en foot zijn vergelijkbaar
met oude maten duim en voet in Nl. Omrekenen van het imperiale systeem naar het metriek
stelsel is ingewikkeld. In het imperiale systeem is geen sprake van een tientallig structuur.
Sommige meetinstrumenten worden uitgevoerd met beide maatsystemen (rolmaten).
4
,Wiskundetaal bij meten
Grootheden binnen het metriek stelsel
In het metriek stelsel staan de maten en onderlinge relaties beschreven voor de grootheden
lengte, oppervlakte, inhoud en gewicht.
Grootheid Centrale standaardmaat Symbool
Lengte Meter m
Oppervlakte Vierkante meter m²
Are a
Inhoud Kubieke meter m³
Liter l
Gewicht Kilogram Kg
Maten die zijn afgeleid van de centrale standaardmaten worden aangegeven met
voorvoegsels, waarvoor Griekse en Latijnse woorden voor honderdste, tien, duizend, enz.
zijn gekozen.
Door de tientallige opzet van het stelsel zijn opeenvolgende lengtematen steeds met een
factor 10 groter -> decimale relatie tussen de lengtematen. Bij oppervlakte is er sprake van
een kwadratische relatie: opeenvolgende oppervlaktematen zijn steeds een factor 100
groter -> kubische relatie.
De decimale maatverfijning is een essentieel kenmerk van het metriek stelsel. Er kan altijd
een passende maat gekozen worden, passend bij het doel van de meting en de vereiste
meetnauwkeurigheid.
Overige grootheden
Snelheid is een samengestelde grootheid -> wordt bepaald door een afstand te meten per
vaste tijdseenheid. De omvang van digitale data die zijn opgeslagen op een informatiedrager
(usb) kan ook worden beschouwd als grootheid.
Grootheden en maten
Transitiviteitseigenschap (van oppervlakte) => oppervlakte van een figuur is gelijk aan de
som van de oppervlakten van de afzonderlijke delen van het figuur.
Dit geldt niet voor temperatuur. Wanneer je twee glazen water met een bepaalde
temperatuur bij elkaar doet, krijgt het nieuwe glas een gemiddelde temperatuur en niet de
twee temperaturen bij elkaar opgeteld.
Lengte
De grootheid lengte kan over verschillende dingen gaan. Ook omtrek is een vorm van lengte.
Lengte kan ook afstand inhouden. En bij het opmeten van voorwerpen zoals een kast, gaat
het om hoogte, breedte en diepte.
5
, Omtrek
De omtrek van een figuur kun je bepalen door (in gedachten) een touwtje om de figuur heen
te leggen -> de lengte van het touwtje dat daarvoor nodig is, is de omtrek.
Formule: lengte + breedte + lengte + breedte (2x lengte, 2x breedte).
Tussen de omtrek van een cirkel en de diameter ervan bestaat een
vaste verhouding. Pi (3,1415926) of de breuk 22/7. De omtrek van een
cirkel is ‘pi’ x de lengte van een diameter. Omtrek = pi x d (diameter)
Omtrek= 2 x ∏ x de straal (r).
Oppervlakte
Bij de oppervlakte van een voorwerp kun je denken aan de
hoeveelheid materiaal om dat voorwerp volledig te bedekken. Ook 3D
voorwerpen kan -> uitslag van te maken of verven.
Een van de standaardmaten voor oppervlakte is de vierkante meter. Are is de oppervlakte
van 10x10 meter. Via de voorvoegsels worden centiare (1x1 m) en hectare (100x100)
verkregen.
De samenhang tussen lengte en oppervlakte wordt duidelijk als de maten van een
rechthoekig voorwerp veranderen. Als de afmetingen 2x zo groot worden, wordt de
oppervlakte in beide richtingen verdubbeld -> oppervlakte wordt dus 4x zo groot.
Het bepalen van de oppervlakte kan plaatsvinden via afpassend meten.
VB met hokjesrooster, hoe kleiner de hokjes, hoe preciezer de oppervlakte wordt benaderd.
Daarbij kun je gebruikmaken van omvormen.
Inhoud
Bij inhoud kan gedacht worden aan ‘dat wat er in past’. Een begrip dat in plaats van inhoud
ook wordt gehanteerd is volume.
Kubieke maten worden gebruikt voor de inhouden van vertrekken en gebouwen
-> referentie maat.
Kubieke centimeter -> cc
Bij litermaten gaat het om een decimale relatie tussen opeenvolgende maten. Aangezien
een liter overeenkomt met een dm3 geldt ook dat een millimeter overeenkomt met een cm3
en een kilometer.
Het gewicht van een voorwerp is niet op het oog te meten. Daarom zijn we afhankelijk van
meetinstrumenten, zoals een weeghaak, weegschaal etc.
Als referentiemaat bij de standaardmaat kilogram, kan worden gedacht aan het gewicht van
een pak suiker. En bijvoorbeeld bij gram: een kauwgompje.
Gewicht en massa zijn niet hetzelfde.
Massa geeft de hoeveelheid materie aan: voorwerpen die van veel materiaal gemaakt zijn,
hebben een grote massa.
6
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller pabojuf. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $4.29. You're not tied to anything after your purchase.
