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Summary Modelling Computing Systems Hoofdstuk 9 Faron Moller & Georg Struth $3.36
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Summary Modelling Computing Systems Hoofdstuk 9 Faron Moller & Georg Struth

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  • Universiteit Utrecht (UU)
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  • Modelling Computing Systems

Logic for Computer Science / Logica voor computertechnolgie hoofdstuk 9. Samenvatting van het boek Modelling Computing Systems geschreven door Faron Moller en Georg Struth. Samenvatting geschreven in het Engels. Aan de hand van voorbeelden en plaatjes wordt de stof en theorie verduidelijkt. Gegeven...

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Dernier document publié: 4 année de cela

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Infos sur le Document

  • Non
  • Hoofdstuk 9
  • 22 décembre 2020
  • 22 décembre 2020
  • 5
  • 2020/2021
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École, étude et sujet

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Par: bobkreugel • 4 année de cela

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Hoorcollege 10(Hoofdstuk 9):

We can then define a functions over N by induction. For example, we may want to compute the sum
of the first n numbers: 1 + 2 + 3 + … + n. We can do so using an inductive definition:

sum(0) = 0

sum(n + 1) = (n + 1) + sum(n).



Claim: For all n, we can show that sum(n) = n×(n+1) 2 . How to prove this? Let’s check that the
equality holds for the first few numbers:

 if n = 0, we have that sum(0) = 0 = (0×1) / 2 .
 if n = 1, we have that sum(1) = 0 + 1 = 1 = (1×2) / 2 .
 if n = 2, we have that sum(2) = 0 + 1 + 2 = 3 = (2×3) / 2 . But we need proof.

Proof by induction:

We defined the set of natural numbers using the following two clauses:

 0∈N
 for any n ∈ N, the number (n + 1) ∈ N.

To show that some property P holds for all natural numbers, it suffices to show:

 P(0)
 for all n, if we assume that P(n) we need to show that P(n + 1)



Example proof by induction where we will proof the base case and inductive case as well:

Claim: For all n, we can show that sum(n) = n×(n+1) 2 . Proof: We prove this statement by induction
on n.

 if n = 0, we need to show that sum(0) = (0×1) / 2 .
 Suppose that n = k + 1 and that sum(k) = (k×(k+1)) / 2 .

We need to show sum(k + 1) = (k+1)(k+2) / 2 .

Base Case proof: If n = 0, we need to show that sum(0) = (0×1) / 2 . Using the definition of sum, we
know that sum(0) = 0 = (0×1) / 2 as required. This completes the base case.

Inductive case proof: Suppose that that sum(k) = (k×(k+1)) / 2 . We need to show sum(k + 1) = ((k+1)
(k+2)) / 2 :

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