Diese Lernzettel bietet dir einen Überblick über die, im Mathematikoberstufenunterricht, behandelten Themen. Besonders wird auf die Analysis und die Analytische Geometrie eingegangen. Die Stochastik wird nur für die im Hilfsmittelfreien Teil relevanten Themen angerissen. Die Lernzettel dienen ...
,1. ANALYSIS
1.1 FUNKTIONEN
GANZRATIONALE FUNKTIONEN
• Eine Funktion f: x → f(x), deren Funktionsterm f(x) ein Polynom ist, bezeichnet man als ganzrationale
Funktion oder Polynomfunktion.
n n−1
• ganzrationale Funktion n-ten Grades hat Form → f ( x )=a n⋅x +a n−1⋅x +…+a 2⋅x 2 +a1⋅x +a 0
• Die Zahlen an, an−1, …, a2, a1, a0 nennt man Koeffizienten.
• Die Zahlen n, n−1, … bezeichnet man als Exponenten.
• Der größte vorkommende Exponent (hier: n) bestimmt den Grad der Polynomfunktion.
• Koeffizienten vor dem größten vorkommenden Exponenten nennt man Leitkoeffizienten (hier: an).
3 1
• Beispiel → f ( x )=− 2 x − x +4
2
1
◦ Die Koeffizienten sind a 3=− 2 ; a 1=− und a 0=4 .
2
◦ Die vorkommenden Exponenten sind n=3 und n−2=1
◦ f(x) hat den Grad 3 und den Leitkoeffizienten −2.
EXPONENTIALFUNKTIONEN
x
• Funktion mit dem Funktionsterm f ( x )=b⋅ a heißt Exponentialfunktion → a > 0, a ≠ 1 und b ≠ 0.
• Bei jeder Exponentialfunktion ist im Potenzterm a x die Basis a eine fest gewählte positive reelle Zahl
(ungleich 1). Der Exponent enthält die Funktionsvariable x. Daher die Bezeichnung
"Exponentialfunktion". Der Faktor b ist eine beliebige von Null verschiedene reelle Zahl.
b( x−c)
• Koeffizienten in f ( x )=a⋅e +d
◦ a – Streckung/Stauchung in y-Richtung (a > 1 → steiler; 0 < a < 1 → flacher; a < 0 → an der x-Achse
gespiegelt)
◦ b – ansteigendes oder fallendes Schaubild (b > 0 → ansteigendes; b < 0 fallendes Schaubild)
◦ c – Verschiebung in x-Richtung (c > 0 → nach rechts; c < 0 → nach links)
◦ d – Verschiebung in y-Richtung (d > 0 → nach oben; d < 0 → nach unten)
• natürliche Exponentialfunktion → e = 2,71
◦ an der Stelle 0 → Steigung 1; schmiegt sich an die x-Achse;
Ableitung/Stammfunktion → ex=ex
◦ e0 =1 ; e x =2 → ln(2)= x ; e3 x =5 → ln(5)=3 x
• natürliches exponentielles Wachstum
◦ Ein Geldbetrag von 500 Euro wird bei einer Bank zu einem Zinssatz von 5% angelegt.
t 5
5 t
ln(1+
100
)⋅t
0,0488⋅t
◦ f (t )=500⋅(1+ ) =500⋅1,05 → f (t )=500⋅e =500⋅e (k >0)
100
ln (2) ln (2)
◦ Verdopplungszeit: t v = = =14,4 ( Jahre)
k 0,0488
• natürlicher exponentieller Zerfall
◦ Von dem radioaktivem Jod 131 sind zu Beginn 7mg vorhanden. Täglich zerfallen 8% der Menge.
8
ln(1− )⋅t k⋅t
◦ f (t )=7⋅e =7⋅e−0,0834⋅t (k<0) → allgemeiner Funktionsterm f (t )=a⋅e
100
ln (0,5) ln(0,5)
◦ Halbwertszeit: t v = = =8,31 (Tage)
k −0,0834
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, • Potenzgesetze
−k 1
◦ a = (a≠0)
ak
m m m
◦ (a⋅b) =a ⋅b
◦ a m+a =am+a n
m
a
◦ a m−n = n
a
m⋅a m n
◦ a =(a )
m m
◦ ()a
b
= m
a
b
IN-FUNKTIONEN
• Eine Funktion heißt Logarithmusfunktion (zur Basis a), wenn sie allgemein die Form f ( x )=log a ( x ) ,
x ∈ (0 , ∞) aufweist, wobei a eine beliebige positive Konstante bezeichnet.
• In den speziellen Fällen a=e, a=10 und a=2 spricht man von
◦ f(x)=ln(x), als „natürlichen Logarithmus“,
◦ f(x)=lg(x), als „dekadischen Logarithmus“ bzw.
◦ f(x)=ld(x), als „dyadischen Logarithmus“.
• In der Regel rechnet man mit dem natürlichen Logarithmus.
Falls aber mal der Fall auftreten sollte – und das könnte er –
dass kein natürlicher Logarithmus vorliegt, kann dieser mit einfachen Mitteln wie folgt umgeschrieben
ln( x )
werden → loga ( x)=
ln (a)
ln(x )
• nützlicher Zusammenhang (Lösen von Gleichungen) → e =x bzw. ln(e x )= x
• Logarithmusgesetze
◦ loga (b 1⋅b2 )=loga b1 +loga b2 → ln(b 1⋅b 2 )=ln(b1 )+ln(b 2 )
b1
◦ loga
b2 ( ) a
=loga b1 −loga b2 → ln( )=ln(a)− ln(b)
b
◦ loga br =r⋅loga b → ln(a b )=b ⋅ln(a)
1
◦ loga √n b= ⋅loga b
n
WURZELFUNKTIONEN
• f ( x )= √ x
• Definitionsmenge: D={X ∈ℝ ∣ x≥0}
◦ Es dürfen nur positive x-Werte bzw. x = 0 eingesetzt werden.
• Wertemenge: Man erhält nur positive y-Werte bzw. y = 0.
• f ( x )= √ x ist die Umkehrfunktion zur Normalparabel g( x )= x 2 (für x
≥ 0).
• Lösen:
◦ Wurzel isolieren (allein auf eine Seite bringe)
◦ beide Seiten quadrieren (Binomische Formeln)
◦ Umformen und mit pq- bzw. abc-Formel lösen
◦ Lösungen prüfen! Durch das Quadrieren können Lösungen dazu kommen.
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, • Wurzelgesetze
◦ √n a⋅√n b=√n ab
n m
◦ √ m√ a= √ √n a=nm√ a
√
n
√a n a
◦ n = ( für b≠0)
√b b
◦ ( √ m) =√ a m
n m n
TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN
• sin startet „unten“; cos startet „oben“ → periodische Vorgänge (z. B. Ebbe und Flut)
• Koeffizienten: f ( x )=a⋅sin(b⋅( x −c))+d und f ( x )=a⋅cos(b⋅( x −c))+d
◦ a – Amplitude: a < 0 → an der x-Achse gespiegelt (Betrag von a gibt Abstand zur „Mittellinie“ an)
◦ b – entscheidet Periodenlänge (Dauer eines „Durchlaufs“):
2π
b= → p = Periodendauer
p
◦ c – Verschiebung in x-Richtung: c > 0 → nach links; c < 0 →
nach rechts
◦ d – Verschiebung in y-Richtung („Höhe der Mittellinie“): d >
0 → nach oben; d < 0 → nach unten
GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN
z(x) → z ( x )=0 für Nullstellen
• f ( x )=
n( x ) → n( x )=0 für Definitionslücke
• Definitionslücke/Polstelle → senkrechte Asymptote (an einen Punkt schmiegend)
• sollte Nullstelle von Nenner gleich sein mit Zähler von oben → behebbare Lücke/Defenitionslücke
1.2 KURVEN UNTERSUCHEN
NULLSTELLEN
• Eine Nullstelle einer Funktion f ist der x-Wert eines Schnittpunktes vom Graphen von f mit der x-Achse.
• Unterscheidung von Nullstellen bei Polynomen → Vielfachheiten (gibt an, wie oft eine bestimmte
Nullstelle bei einer Funktion vorkommt; wird durch Exponenten in Linearfaktorzerlegung bestimmt)
• Das sind also gerade die x -Werte, an denen f(x)=0 ist.
2
• Funktion f mit f ( x )= x − 4 hat die Nullstellen x = +2 und x =
−2. Die Linearfaktorzerlegung lautet also
1 1
f ( x )=( x − 2) ⋅( x +2) . Bei beiden Nullstellen → Exponent
des Linearfaktors = 1; Nullstellen kommen also jeweils genau
einmal vor → einfache Nullstellen/ Vielflachheit 1
• Es gibt auch Funktionen mit mehrfach Nullstellen.
• Bei Nullstellen mit ungerader Vielfachheit handelt es sich um
Schnittpunkte mit der x-Achse. Bei Nullstellen mit
gerader Vielfachheit handelt es sich um
Berührpunkte mit der x-Achse.
• An Nullstellen mit ungerader Vielfachheit tritt ein
Vorzeichenwechsel auf. Ist die Vielfachheit größer als
1, liegt dort ein Terassen- und ein Wendepunkt vor.
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