De optelling en de vermenigvuldiging van reële getallen zijn commutatief:
ab ba
De optelling en de vermenigvuldiging van reële getallen zijn associatief:
a (b c) (a b) c
Het getal 0 is het neutraal element voor de optelling: a 0 a 0 a
Het getal 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging: a.1 a 1.a
0 als opslorpend element voor de vermenigvuldiging:
a.0 0 0.a
a.b 0 a 0 en/of b 0
Voor een reëel getal a is het reëel getal -a het tegengesteld element van a (of
het symmetrisch element van a voor de optelling), d.w.z. dat
a (a) 0 (a) a
Voor een niet-nul reëel getal a is het reëel getal a 1 het invers element van a
(of het symmetrisch element van a voor de vermenigvuldiging), d.w.z. dat
a.a 1 1 a 1.a
Twee reële getallen a en b heten tegengesteld als a = -b. het invers element a 1
1
van een niet-nul reëel getal a noteren we ook als
a
Distributiviteit van vermenigvuldiging t.o.v. optelling: a (b c) ab ac
a
Het is heel belangrijk te onthouden dat slechts zin heeft als b een niet-nul
b
reëel getal is
Prioriteitsregels:
(haakjes)
Eerst vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
Vervolgens optellen en aftrekken van links naar rechts
Eigenschappen van symmetrische elementen:
(a) a
( a )b a (b) (ab)
( a )(b) ab
(1)a a
a a a
(als b 0 )
b b b
Bewerkingen met breuken:
a c
Gelijkheid van breuken: ad bc
b d
ka a ka kb a b
Vereenvoudigen van breuken: en
kb b kc c
a c ac
Vermenigvuldigen van breuken:
b d bd
a c ad
Delen van breuken: :
b d bc
DigitalUberPhoenix Wiskundige basisvaardigheden 1
, a c ad bc
Optellen van breuken:
b d bd
a c ac
Optellen van breuken met gelijke noemer:
b b b
Deelverzamelingen van de reële getallen:
De verzameling 0,1,2,3,4,... van de natuurlijke getallen
De verzameling {..., 3,2,1,0,1,2,3,...} van de gehele getallen
m
De verzameling Q { m Z , n Z , n 0} van de rationele getallen
n
De verzameling R\Q van de irrationele getallen, dit zijn alle reële getallen
die niet rationeel zijn
Decimale ontwikkeling
Een rij n0 , n1 , n2 , n3 , n4 ,... (met n0 N en alle getallen n1 , n2 ,... gelijk aan
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 of 9) heet een decimale ontwikkeling van een reëel
getal x indien x n0 n1.10 1 n2 .10 2 n3 .10 3 n4 .10 4 ...
We noteren n0 , n1n2 n3 n4 ...
Voorbeeld:
5/8 = 0.625 = 0 6.10 1 2.10 2 5.10 3
Deelbaarheid: voor een geheel getal m en een niet-nul geheel getal n zeggen we
dat m deelbaar is door n indien een geheel getal k bestaat zodat m kn en we
noteren dit als n|m. In dat geval zeggen we dat n een deler is van m en dat m
een veelvoud is van n.
Eigenschappen van deelbaarheid:
Als n een deler is van m, dan is ook -n een deler van m
Als n een deler is van m, dan is n ook een deler van -m
1 en -1 zijn delers van elk geheel getal
Elk niet-nul geheel getal is een deler van 0
0 is nooit een deler van een geheel getal
Elk niet-nul geheel getal is een deler van zichzelf
Het kleinste gemene veelvoud (afgekort k.g.v.) van twee gehele getallen m en n
is het kleinste natuurlijk getal dat een veelvoud is van beide getallen; we
noteren kgv(m, n)
DigitalUberPhoenix Wiskundige basisvaardigheden 2
, De grootste gemene deler (afgekort g.g.d.) van twee gehele getallen m en n is
het grootste natuurlijk getal dat een deler is van beide getallen; we noteren
ggd (m, n)
Euclidische deling:
Indien D een geheel getal is en d een niet-nul geheel getal, dan bestaat er
juist een geheel getal q en juist een geheel getal r met 0 r d zodat
D r
D d .q r of q
d d
Het unieke getal q wordt het quotiënt genoemd en het unieke getal r wordt
d rest genoemd bij deling van D door d
Een priemgetal is een natuurlijk getal dat verschillend is van 0 en 1 en dat buiten
1 en zichzelf geen positieve delers heeft
Hoofdstelling van de rekenkunde:
elk natuurlijk getal n > 1 kan op unieke wijze geschreven worden in de vorm
n n n
n p1 1 . p2 2 ..... pk k waarbij p1 ,..., pk verschillende priemgetallen zijn en
n1 ,..., nk niet-nulle natuurlijke getallen. De getallen p1 ,..., pk noemen we
de priemfactoren van n
Voorbeeld:
300 2
126 2
150 2
63 3
75 3
21 3
25 5
7 7
5 5
1
1
126 2.32.7
300 2 2.3.52
126 21 32 50 71
300 2 2 31 52 7 0
voor het kgv vermenigvuldigen we de delers met hun grootste exponent :
kgv (126,300) 2 2.32.52.7 6300
voor het ggd vermenigvuldigen we de delers met hun kleinste exponent :
ggd (126,300) 2.3 6
DigitalUberPhoenix Wiskundige basisvaardigheden 3
, 1.2 Orde op reële getallen
R : positieve reële getallen (incl. 0)
R : negatieve reële getallen (incl. 0)
R0 : strikt positieve reële getallen (excl. 0)
R0 : strikt negatieve reële getallen (excl. 0)
a b a is strikt groter dan b
a b a is strikt kleiner dan b
a b a is groter dan of gelijk aan b
a b a is kleiner dan of gelijk aan b
Eigenschappen van de orde op R
a R : a a ( is reflexief)
a, b, c R : (a b en b c) a c ( is transitief)
a, b R : (a b en b a ) a b ( is antisymmetrisch)
Totale orde: a, b R : a b of b a
Verbanden tussen orde en bewerkingen op R:
a, b, c, d R : a b en c d a c b d
a, b R geldt:
0 a en 0 b 0 ab
0 a en 0 b 0 ab
0 a en 0 b 0 ab
0 a en 0 b 0 ab
Behoud en omkering van orde:
a, b, c R : a b a c b c
a, b R, c R : a b ac bc
a, b R, c R : a b ac bc
Intervallen:
a, b x R; a x b gesloten interval
a, b x R; a x b open interval
a, b x R; a x b halfopen interval
a, b x R; a x b halfopen interval
a als a 0
Voor een reëel getal a is de absolute waarde van a: a
a als a 0
Voor reële getallen a en b is de afstand d(a,b) tussen a en b gelijk aan
d ( a, b) a b b a
DigitalUberPhoenix Wiskundige basisvaardigheden 4
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller DigitalUberPhoenix. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $7.03. You're not tied to anything after your purchase.
