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Notes de classe Mathématique
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Cours sur l'ensemble des complexes
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kvinhentz
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---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------COMPLEXES
u ,⃗
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O; ⃗ v)
Définition
Un nombre complexe est un nombre de la forme z = x + i y, où x et y sont des réels et i un
nombre imaginaire vérifiant i2 = - 1. L’ensemble des complexes se note ℂ .
Remarque : Si y = 0 alors z est un réel donc ℝ ⊂ ℂ . Si x = 0 on dit que z est un imaginaire pur;
Représentation graphique x et y étant des réels.
A tout complexe z = x + i y on peut associer un unique point M ( x ; y ) et réciproquement.
De même à tout complexe z = x + i y on peut associer un unique vecteur w ( x ; y ) et réciproquement.
Définition :
w ( rq :
z s’appelle l’affixe du point M et du vecteur w= OM ).
M s’appelle le point image de z. w s’appelle le vecteur image de z.
Forme algébrique
Propriété :
x + i y = x’ + i y’ avec x ; y ; x’ ; y’ réels ⇔ x = x’ et y = y’
Tout complexe z admet une écriture unique de la forme x + i y avec x et y réels.
Cette forme s’appelle la forme algébrique de z .
x s’appelle la partie réelle de z notée Re (z) = x.
y s’appelle la partie imaginaire de z notée Im (z) = y.
Propriété :
Z ∈ ℝ ⇔ Im (z) = 0 z imaginaire pur ⇔ Re (z) = 0
Conjugué
Pour tout complexe z = x + i y, où x et y sont des réels, on appelle complexe conjugué le
complexe noté z=x – iy
Remarque : M’ ( z ) est le symétrique de M (z) par rapport à l’axe des abscisses.
Somme et produit
Soient x ; y ; x’ ; y’ et k des réels.
(x + i y ) + ( x’ + i y’) = ( x + x’) + i ( y + y’)
k (x + i y ) = kx + i ky
(x + i y ) . ( x’ + i y’) = ( x x’- y y’) + i (x y’ + x’ y)
Rq : les produits remarquables sont donc les mêmes. Il y en a même un nouveau xiy x – iy=x 2y 2
Interprétation géométrique
Propriété :
Si t et s ont pour affixes z et z’ alors t s a pour affixe z + z’ et celle de k t est kz. (k ∈ℝ)
Propriété :
Si A et B ont pour affixes z A et z B alors l'affixe de
AB est z B – z A
z z
et l'affixe du milieu I de [AB] est z I = A B
2
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