Summary
Samenvatting Module Modeleren overal natuurkunde 6 vwo
- Course
- Level
- Book
In deze module wordt modeleren uitgelegd.
[Show more]
Connected book
Book Title:
Author(s):
- Edition:
- ISBN:
- Edition:
Seller
Follow
lemonade2001
Reviews received
Content preview
Overal Natuurkunde 6 vwo Module Modelleren‘De soep wordt nooit zo heet gegeten als hij wordt opgediend.’ Met deze uitdrukking bedoel je dat
dingen in de praktijk vaak minder ernstig uitpakken dan ze in eerste instantie lijken te zijn. In deze
module gaan we niet in op deze betekenis van de uitdrukking, maar op de letterlijke betekenis. Als je
soep in een bord schept, is de temperatuur hoog. Tijdens het serveren en eten koelt hij af. Met
modelleren kun je nagaan hoe de temperatuur van de soep als functie van de tijd verloopt.
Inhoud
1 Numerieke modellen 2 2 Bewegingsmodellen 6 3 Eenvoudige bewegingen 12 4 Een valbeweging
met luchtweerstand 16 5 De harmonische trilling 18 6 Een parachutesprong 20 7 Een horizontale worp
23 8 Radioactief verval 27 9 De ruimteslinger 30 10 Afsluiting: gps-satelliet 33
Hoofdstuk 1 bevat de algemene theorie van numeriek modelleren; hoofdstuk 2 de specifieke theorie
voor het modelleren van bewegingen. In de hoofdstukken 3 tot en met 10 komen verschillende
modellen aan bod. Je docent geeft aan welke je daarvan moet maken.
© Noordhoff Uitgevers bv Module Modelleren Overal Natuurkunde 6 vwo 1
1 Numerieke modellen
,In deze module maak je kennis met numeriek modelleren. In een numeriek model bereken je (vaak
met de computer) hoe grootheden zich ontwikkelen als functie van de tijd, bijvoorbeeld hoe de
temperatuur en de warmtestroom verlopen van een bord soep dat afkoelt.
In het model leg je vast aan welke natuurkundige wetmatigheden de grootheden voldoen: de
modelregels. Daarnaast geef je aan welke waarden de relevante grootheden in het begin hebben: de
startwaarden.
Een voorbeeld van modelregels
Stel dat je een bord met 250 g (m) soep hebt met een temperatuur van 70 °C (T) en je wilt weten hoe
de temperatuur als functie van de tijd (t) verloopt.
De soep geeft elke seconde warmte af aan de omgeving. In hoofdstuk 7 heb je geleerd dat de
warmtestroom (hoeveelheid warmte die per seconde weg stroomt) recht evenredig is met het
temperatuurverschil tussen de soep en de omgeving. De evenredigheidsconstante k hangt samen met
de dikte en de oppervlakte van het bord, maar omdat er ook water verdampt, is de waarde van k niet
zo gemakkelijk te bepalen.
Het model kan er dan als volgt uitzien (zie ook figuur M.1a):
P = k * (T − Tomg) de warmtestroom is evenredig met het temperatuurverschil tussen de soep en de
omgeving
Q = −P * dt de hoeveelheid warmte die weg stroomt, is gelijk aan de warmtestroom maal de tijd die
verloopt; dt is het tijdstapje
dT = Q / (c * m) de temperatuurdaling bereken je aan de hand van de formule Q = c · m · ∆T T := T +
dT de nieuwe temperatuur is de oude temperatuur min de temperatuurverandering t := t + dt de
nieuwe tijd is de oude tijd plus het tijdstapje (de klok)
Als alle modelregels zijn doorlopen, zijn alle grootheden bekend voor het volgende tijdstip (0 + dt). In
een model begin je daarna weer opnieuw bij de eerste regel om de grootheden voor het volgende
tijdstapje (0 + 2·dt) door te rekenen, et cetera, net zolang als je de temperatuur van het bord soep wilt
weten.
● In een model reken je grootheden stap voor stap door. In de modelregels leg je vast aan
welke natuurkundige wetmatigheden de grootheden voldoen.
Een voorbeeld van startwaarden
Je kunt een grootheid met een formule alleen uitrekenen als je de waarden van de grootheden
(variabelen) aan de rechterkant van de formule allemaal kent. Dat geldt ook voor een modelregel. De
variabelen moeten bekend zijn uit vorige modelregels of ze moeten een startwaarde hebben. Zie
figuur M.1b.
model startwaarden
P = k * (T − Tomg) T = 70 ʹ°C Tomg = 20
Q=− P * dt ʹ°C k = 0,5 ʹW/K dt = 5
dT = Q / (c * m) ʹs c = 4180 ʹJ/kgK m =
T := T + dT 0,25 ʹkg t = 0 ʹs
t := t + dt
ab
Figuur M.1 Een model voor afkoelende soep
a de modelregels … b de startwaarden …
In bovenstaand model moet je bij de eerste regel dus voor T (70 °C) en voor Tomg (bijvoorbeeld
20 °C) startwaarden geven. Hetzelfde geldt voor k, maar die waarde ken je niet, dus je geeft een
beginschatting (bijvoorbeeld 0,5). Later kun je nagaan of deze waarde reëel is.
© Noordhoff Uitgevers bv Module Modelleren Overal Natuurkunde 6 vwo 2
In de
tweede regel is voor P geen startwaarde nodig, want die heb je in de vorige regel uitgerekend. Voor
,het tijdstapje dt is wel een waarde nodig, bijvoorbeeld 1 seconde. Hoe kleiner je tijdstapje is, hoe
preciezer je model rekent, maar ook hoe meer rekenstappen nodig zijn om een bepaalde tijdsduur van
het afkoelproces door te rekenen.
Omdat soep grotendeels water is, neem je voor c de soortelijke warmte van water (4180 J/kg·K) en
voor m de massa van de soep: 0,25 kg.
Tot slot heb je een startwaarde voor t nodig. Het ligt voor de hand daarvoor de waarde 0 te kiezen: je
start de klok aan het begin van het model.
● Bij een model zijn startwaarden nodig voor alle variabelen die het model niet zelf berekent,
maar die wel in de modelregels voorkomen.
Resultaten van een model
Je kunt de resultaten van een model in tabellen weergeven: voor elk tijdstip de waarden van de
berekende grootheden. Meestal bekijk je de resultaten echter in de vorm van grafieken, zodat je het
verloop in één oogopslag kunt zien. Zie figuur M.2.
In het voorbeeld van de soep ligt een temperatuur-tijdgrafiek voor de hand, maar je zou ook kunnen
bekijken hoe de warmtestroom als functie van de tijd verloopt.
Figuur M.2 De soep koelt af.
Of een model voldoet aan de werkelijkheid kun je controleren door de modelresultaten met metingen
te vergelijken. Zo zou je met een meting van de temperatuur van de soep na een minuut kunnen
controleren of je de waarde van k goed hebt gekozen. Door de waarde van k in het model aan te
passen, kun je ervoor zorgen dat het model overeenstemt met de werkelijke temperatuur na een
minuut.
Stel de temperatuur van de soep is in werkelijkheid na een minuut 63 °C en niet, zoals in het model,
67 °C. De soep geeft dus meer warmte af dan het model voorspelde. Je geeft de k dus een grotere
waarde. Misschien kun je aan de resultaten ook zien of de aanname dat k constant is, wel terecht is.
Als je meer metingen doet van de temperatuur van de soep als functie van de tijd kun je ook nagaan
of de vorm van de modelgrafiek met de werkelijkheid overeenkomt. Als dat niet het geval is, geeft dat
misschien aanleiding tot het aanpassen van de modelregels. Zo zou je een regel kunnen toevoegen
die het verdampen in rekening brengt.
Door het model te verfijnen kom je zo beter te weten waar de temperatuur van de soep van afhangt.
Zo kun je een hypothese testen of een ingewikkeld proces simuleren.
● De resultaten van een model bekijk je meestal in een grafiek. Door met metingen te
vergelijken kun je het model verfijnen.
© Noordhoff Uitgevers bv Module Modelleren Overal Natuurkunde 6 vwo 3
Waarom een model?
, Als de warmtestroom uit het bord soep constant zou zijn, zou je geen model nodig hebben om op elk
tijdstip de temperatuur te berekenen. Je kunt dan immers voor elk tijdstip berekenen hoeveel warmte
is weg gestroomd en welke temperatuur de soep dan heeft.
Het probleem is echter dat de warmtestroom niet constant is, maar weer afhankelijk is van de
temperatuur zelf. Deze afhankelijkheid zorgt ervoor dat je het niet zo gemakkelijk ‘analytisch’ kunt
uitrekenen.
dT k (T T ) = ⋅− . In deze vergelijking zie je
dt c m ⋅
Als je de modelregels combineert, zie je dat geldt: omg
naast de temperatuur zelf ook de afgeleide van de temperatuur naar de tijd staan. Zo’n vergelijking
met afgeleiden erin heet een differentiaalvergelijking. Op de middelbare school leer je niet genoeg
wiskunde om zo’n vergelijking op te lossen. Als je een technische vervolgstudie gaat volgen, zul je
zeker leren differentiaalvergelijkingen op te lossen.
Gelukkig kun je dit soort problemen vaak wel oplossen met een model. Je maakt dan een benadering.
Zo ga je er tijdens één tijdstapje bij het uitrekenen van de warmtestroom van uit dat de temperatuur
een vaste waarde heeft, terwijl deze eigenlijk ook tijdens dat tijdstapje al daalt. Je kunt de benadering
verbeteren door het tijdstapje klein te kiezen. Tijdens een kleiner tijdstapje verloopt de temperatuur
immers minder. De tol die je voor een betere benadering moet betalen, is dat je meer rekenslagen
moet maken en dus meer rekentijd en geheugencapaciteit gebruikt. Dat zal bij de modellen in deze
module geen probleem zijn, maar je kunt je voorstellen dat het bij ingewikkelde modellen, zoals een
weermodel dat met veel variabelen rekening moet houden, wel een rol gaat spelen.
● Met een model los je differentiaalvergelijkingen op met een benadering. Je benadering is
beter naarmate je de tijdstap kleiner kiest, maar je hebt dan ook meer rekentijd nodig.
Eerste- en tweede-ordesystemen
Modellen gebruik je vaak om bewegingen door te rekenen: hoe veranderen de plaats, snelheid en
versnelling als functie van de tijd als er bepaalde krachten werken? De meeste modellen in deze
module zijn dan ook mechanicaproblemen.
Ook achter mechanicaproblemen schuilt vaak een differentiaalvergelijking. Zo heb je voor een
harmonische trilling geleerd dat de kracht evenredig is met de uitwijking (F = −C · u) . Volgens de
tweede wet van Newton geldt F = m · a. De versnelling a i s de tweede afgeleide van de plaats en dus
van de uitwijking. In feite geldt dus: m · u” = −C · u.
In deze vergelijking tref je dus behalve de uitwijking u ook de tweede afgeleide van u aan. Dit heet
daarom een tweede-ordedifferentiaalvergelijking, die je oplost met een tweede-ordemodel. In de
vergelijking voor de afkoeling van de soep kwam alleen de eerste afgeleide voor: een eerste-orde
differentiaalvergelijking, op te lossen met een eerste-ordemodel.
● In modellen voor eerste-ordesystemen komt naast een grootheid ook de eerste afgeleide van
die grootheid voor, bij tweede-ordesystemen (ook) de tweede afgeleide.
Het vervolg van deze module
In hoofdstuk 2 leer je nog algemene dingen over hoe je een model bij mechanicaproblemen kunt
opstellen om bewegingen door te rekenen. Daarna is in deze module een aantal modellen
opgenomen om te oefenen. Je docent vertelt welke je gaat oefenen.
In hoofdstuk 3 staan eenvoudige mechanicamodellen voor eenparige bewegingen. Voor deze
bewegingen heb je eigenlijk geen model nodig: je weet wat er uit moet komen. Zo kun je voor deze
eerste modellen wel gemakkelijk controleren of je model klopt.
Hoofdstuk 4 gaat over een val met luchtweerstand. Hier heb je wel een model voor nodig. Je leert hoe
je de startwaarde moet aanpassen (simuleren) om het model met de werkelijkheid te laten overeen
komen.
Hoofdstuk 5 gaat over een harmonische trilling. Je leert in dit model hoe de stapgrootte dt van invloed
kan zijn op je resultaten.
© Noordhoff Uitgevers bv Module Modelleren Overal Natuurkunde 6 vwo 4
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller lemonade2001. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.21. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
64438 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now