Exam (elaborations)
Exámenes anteriores ÁLGEBRA LINEAL
- Course
- Institution
Exámenes anteriores de ÁLGEBRA LINEAL
[Show more]
Seller
Follow
jzhouzhou
Content preview
Primer Control d’Àlgebra Lineal Grau d’Enginyeria Quı́micaGrup T1 Grau d’Enginyeria de Materials
3 d’Octubre 2016 Universitat de Barcelona
1. (2 punts) Calcula el rang de la matriu A i el determinant de B:
2 3 −4 1 −1 −3 −1
1 2 −3 , B = 2 −1 −4
1
A= 3 −1
.
5 3 4 −2 6
−1 4 −9 2 −2 −5 1
2. (2 punts) Resol el sistema següent:
2x + y + z + 3t = 5
3x + 2y − z + 5t = 7
3. Considera el sistema d’equacions lineals
kx + y + z = 1
x + ky − z = −1
x + ky + z = 2
on k és un nombre real.
(a) (2 punts) Discuteix el sistema segons els valors de k. És a dir, digues per
a quins valors de k el sistema és incompatible, per a quins és compatible
indeterminat i per a quins és compatible determinat.
(b) (2 punts) Per al valor k = −1, troba les solucions del sistema.
4. En aquest exercici a, b, c i d representen nombres reals tots ells diferents de 0.
(a) (1 punt) Calcula la inversa de la matriu
a 0 0 0
0 b 0 0
,
0 0 c 0
0 0 0 d
(b) (1 punt) Calcula el determinant de la matriu
a b c d
0 b c d
0 0 c d .
0 0 0 d
,Segon Control d’Àlgebra Lineal Grau d’Enginyeria Quı́mica
Grup T1 Grau d’Enginyeria de Materials
2 de desembre de 2016 Universitat de Barcelona
1. Sigui f l’endomorfisme de R3 definit per:
f (x, y, z) = (−4x + 6y + 3z, 2y, −6x + 6y + 5z).
(a) (1 punt) Calcula la matriu de f en la base canònica de R3 .
(b) (1 punt) Calcula el polinomi caracterı́stic de f .
(c) (1 punt) Calcula els valors propis de f i la seva multiplicitat.
(d) (2 punts) Per a cada valor propi, calcula una base de vectors propis asso-
ciats.
(e) (1 punt) Digues si f diagonalitza. En cas afirmatiu, dóna una base de R3
en què f diagonalitzi i la matriu de f en aquesta base.
2. (2 punts) Sigui g : R2 → R2 l’aplicació lineal donada per
g(x, y) = (2x + y, −x + 3y).
Siguin B i B 0 les bases de R2 següents:
B = {(−1, 2), (3, 1)}, B 0 = {(1, 1), (1, 2)}.
Calcula M (g, B, B 0 ), la matriu de g en les bases B a la sortida i B 0 a l’arribada.
3. (a) (1 punt) Expressa en forma polar els tres nombres complexos següents:
1 + i, −1 + i, (1 + i) · (−1 + i).
(b) (1 punt) Dóna un exemple de nombre complex que tingui mòdul 1 i part
imaginària negativa.
, Parcial d’Àlgebra Lineal Grau d’Enginyeria Quı́mica
Grups M1 i T1 Grau d’Enginyeria de Materials
3 de novembre 2016 Universitat de Barcelona
Feu problemes diferents en fulls diferents. Poseu el nom a tots els fulls que entregueu.
1. (1 punt) Digues si els conjunts següents són subespai vectorial de R3 , tot justificant
el perquè:
F = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + 2z = 1}.
G = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + 2xz = 0}.
2. Siguin F i G els subespais de R4 següents:
F = h(1, 0, 1, 2), (2, 1, 1, 0), (−4, −3, −1, 4)i,
G = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x − 3y + z − t = 0, x + y + z + t = 0}.
(a) (0.5 punts) Calcula una base de F .
(b) (1 punt) Calcula una base de F ∩ G.
(c) (1 punt) Calcula la dimensió de F + G.
3. Sigui B una base de R3 formada per vectors v1 , v2 i v3 . Definim:
w1 = v1 ; w2 = v1 + v2 ; w3 = 2v1 + v2 ,
(a) (1 punt) Els vectors w1 , w2 , w3 formen una base de R3 ? Per què?
(b) (1 punt) En cas afirmatiu, calcula la matriu del canvi de base de {w1 , w2 , w3 } a
base {v1 , v2 , v3 }. En cas negatiu, dóna un vector w30 tal que {w1 , w2 , w30 } sigui
base de R3 .
4. Dóna un exemple de:
(a) (0.5 punts) Una aplicació f : R2 −→ R2 que no sigui lineal.
(b) (0.5 punts) Dos subespais vectorials F i G de R3 tals que dim(F + G) = 3.
(c) (0.5 punts) Un sistema d’equacions les solucions del qual formin un subespai
vectorial de R4 de dimensió 3.
(d) (0.5 punts) Tres vectors de R5 linealment dependents.
Justifica les respostes.
5. Sigui f : R3 −→ R3 l’aplicació lineal definida per
f (x, y, z) = (2x + y + z, x + 2y, 3x + 6y + z).
(a) (0.5 punts) Calcula la matriu de f en la base canònica de R3 .
(b) (1 punt) Calcula la dimensió i una base de la imatge de f . És f exhaustiva?
(c) (1 punt) Calcula el nucli de f . És f injectiva?
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller jzhouzhou. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.78. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
61001 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now