Eine prägnante und übersichtliche Zusammenfassung des Kapitels zu Rotationskörpern und ihrem Volumen aus dem "Lambacher Schweizer Mathematik Kursstufe". In kurzen Absätzen wird die Definition erläutert, das Bestimmen des Volumens erklärt und veranschaulicht, wo sich Rotationskörper im Alltag...
Definition:
Rotationskörper entstehen, wenn sich die Fläche zwischen einer Funktion f und der x-Achse
in einem bestimmten Intervall (a; b) um die Achse (Rotationsachse) dreht und dabei einen
Körper bildet.
Bestimmung des Volumens:
1. Annähern des Körpers durch Zylinder der Höhe h
2. h 0 (unendlich viele und dünne Zylinder, d.h. die Breite des Zylinders h geht gegen 0)
Hier gilt: Je schmaler die Zylinder sind, desto genauer ist das Volumen.
3. Ergebnis: Summe von unendlich vielen und dünnen Zylindern
b
2
4. Berechnung des Volumens mithilfe des Integrals: V =π ∫ ( f ( x )) dx
a
Falls das Volumen zwischen zwei Funktionen f und g gefragt ist, rechnet man mit folgendem
b
2 2
Integral: V =π ∫ (f ( x )) −(g ( x )) dx
a
Rotationskörper im Alltag:
Erste Berechnungen bereits in der Antike
300: griechischer Mathematiker Pappos von Alexandria Buch „Mathematicae
Collectiones“ (über das Rechnen mit Rotationskörpern)
1600: Schweizer Mathematiker und Astronom Paul Guldin vierbändiges Werk
„Centrobaryea“ (Guldinsche Regeln zum Berechnen von Volumen und Oberfläche
von Rotationskörpern)
heutzutage: Konstruieren von Alltagsgegenständen (Glas, Vase, Swimming Pool, etc.)
Merke:
Die Funktion f sei auf dem Intervall (a; b) integrierbar. Rotiert die Fläche unter dem
Graphen von f über dem Intervall (a; b) um die x-Achse, so entsteht ein Rotationskörper.
Sein Volumen kann mit folgendem Integral berechnet werden:
b
2
V = π ∫ ( f ( x ) ) dx
a
Wird eine Differenz zwischen den Funktionen f(x) und g(x) berechnet, so braucht man
folgendes Integral:
b
V =|π ∫ (f ( x ))2−( g ( x ))2 dx|
a
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