L4a - Partial derivatives
Vorige keer hebben we gekeken naar functies met één argument. Daar namen we de
afgeleide van.
𝑑𝑓
We hebben gezien dat we dit kunnen noteren als 𝑓'(𝑥) en als 𝑑𝑥
.
Die laatste was wat meer voor algemene gevallen. Daar gaan we in dit hoorcollege naar
kijken;
De afgeleide van een functie van 2 variabelen.
𝑔(𝑥, 𝑦).
𝑔'(𝑥, 𝑦) is hierbij een zinloze uitdrukking.
De partiële afgeleide is de veralgemeniseerde afgeleide, dus met twee variabelen.
We kunnen de extreme waardes vinden van functie 𝑔(𝑥, 𝑦) met twee variabelen 𝑥 en 𝑦 op
de volgende manier (a.d.h.v. dit voorbeeld):
3 2 2 2
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 .
Hier zien we nogmaals hoe we de afgeleide hebben opgesteld bij één variabele.
De afgeleide in de vorm van 𝑔'(𝑥, 𝑦) =... gaat niet goed, dit werkt niet!
We hebben dus de uitgebreidere vorm om de afgeleide te noteren, en dit gaf aan dat we
een punt 𝑥 namen en een klein stukje verder punt ℎ.
Dit kunnen we ook op die manier proberen te gebruiken als we een functie met meerdere
variabelen hebben:
Zoals je ziet hebben we nu de functie van 𝑥 en 𝑦.
We laten 𝑥 weer een stukje lopen naar 𝑥 + ℎ, terwijl we de 𝑦 op zijn plek laten.
Dan krijgen we de afgeleide van 𝑔(𝑥, 𝑦) naar 𝑥.
∂𝑥 geeft dus aan dat we 𝑥 hebben laten lopen en dat 𝑦 constant is gebleven.
, Dit geven we dus aan met de partial derivative, en het partiële geeft aan dat we in dit
geval alleen naar de 𝑥 hebben gekeken.
Je kunt dus ook de partiële afgeleide naar 𝑦 nemen.
Dus als we 𝑔(𝑥, 𝑦) willen gaan differentiëren:
3 2 2 2
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 + 𝑥 + 𝑦
Met betrekking tot 𝑥, met 𝑦 constant houdend:
∂𝑔 2 2
∂𝑥
= 3𝑥 𝑦 + 2𝑥𝑦 + 1.
2
→ Je ziet dat de 𝑦 compleet wegvalt.
→ Want de afgeleide van een constante geeft 0. Dus je zou er ‘+0’ achter kunnen denken.
Met betrekking tot 𝑦, met 𝑥 als constante:
∂𝑔 3 2
∂𝑦
= 𝑥 + 2𝑥 𝑦 + 2𝑦.
→ Hier valt de 𝑥 compleet weg.
→ Want de afgeleide van een constante is 0.
De functie van één variabele heeft één afgeleide;
De functie met twee variabelen heeft twee partiële afgeleiden.
Dat is dus ook de reden dat je de notatie 𝑔'(𝑥, 𝑦) nooit kunt gebruiken omdat je niet weet of
het de afgeleide naar x of naar y is.
Er bestaan functies waarbij de twee partiële afgeleiden wel gelijk zijn aan elkaar, maar in
veel gevallen zullen ze van elkaar verschillen.
Dit zijn dus de afgeleide functies van de partial derivative.
Belangrijke punten hierbij:
● We gebruiken ∂ bij partiële afgeleiden, niet 𝑑.
● Geef goed aan waarop het betrekking heeft:
→ Wrt 𝑥
→ Wrt 𝑦
→ Wrt = With Respect To (met betrekking tot).
Vorige keer hebben we gekeken naar functies met één argument. Daar namen we de
afgeleide van.
𝑑𝑓
We hebben gezien dat we dit kunnen noteren als 𝑓'(𝑥) en als 𝑑𝑥
.
Die laatste was wat meer voor algemene gevallen. Daar gaan we in dit hoorcollege naar
kijken;
De afgeleide van een functie van 2 variabelen.
𝑔(𝑥, 𝑦).
𝑔'(𝑥, 𝑦) is hierbij een zinloze uitdrukking.
De partiële afgeleide is de veralgemeniseerde afgeleide, dus met twee variabelen.
We kunnen de extreme waardes vinden van functie 𝑔(𝑥, 𝑦) met twee variabelen 𝑥 en 𝑦 op
de volgende manier (a.d.h.v. dit voorbeeld):
3 2 2 2
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 .
Hier zien we nogmaals hoe we de afgeleide hebben opgesteld bij één variabele.
De afgeleide in de vorm van 𝑔'(𝑥, 𝑦) =... gaat niet goed, dit werkt niet!
We hebben dus de uitgebreidere vorm om de afgeleide te noteren, en dit gaf aan dat we
een punt 𝑥 namen en een klein stukje verder punt ℎ.
Dit kunnen we ook op die manier proberen te gebruiken als we een functie met meerdere
variabelen hebben:
Zoals je ziet hebben we nu de functie van 𝑥 en 𝑦.
We laten 𝑥 weer een stukje lopen naar 𝑥 + ℎ, terwijl we de 𝑦 op zijn plek laten.
Dan krijgen we de afgeleide van 𝑔(𝑥, 𝑦) naar 𝑥.
∂𝑥 geeft dus aan dat we 𝑥 hebben laten lopen en dat 𝑦 constant is gebleven.
, Dit geven we dus aan met de partial derivative, en het partiële geeft aan dat we in dit
geval alleen naar de 𝑥 hebben gekeken.
Je kunt dus ook de partiële afgeleide naar 𝑦 nemen.
Dus als we 𝑔(𝑥, 𝑦) willen gaan differentiëren:
3 2 2 2
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 + 𝑥 + 𝑦
Met betrekking tot 𝑥, met 𝑦 constant houdend:
∂𝑔 2 2
∂𝑥
= 3𝑥 𝑦 + 2𝑥𝑦 + 1.
2
→ Je ziet dat de 𝑦 compleet wegvalt.
→ Want de afgeleide van een constante geeft 0. Dus je zou er ‘+0’ achter kunnen denken.
Met betrekking tot 𝑦, met 𝑥 als constante:
∂𝑔 3 2
∂𝑦
= 𝑥 + 2𝑥 𝑦 + 2𝑦.
→ Hier valt de 𝑥 compleet weg.
→ Want de afgeleide van een constante is 0.
De functie van één variabele heeft één afgeleide;
De functie met twee variabelen heeft twee partiële afgeleiden.
Dat is dus ook de reden dat je de notatie 𝑔'(𝑥, 𝑦) nooit kunt gebruiken omdat je niet weet of
het de afgeleide naar x of naar y is.
Er bestaan functies waarbij de twee partiële afgeleiden wel gelijk zijn aan elkaar, maar in
veel gevallen zullen ze van elkaar verschillen.
Dit zijn dus de afgeleide functies van de partial derivative.
Belangrijke punten hierbij:
● We gebruiken ∂ bij partiële afgeleiden, niet 𝑑.
● Geef goed aan waarop het betrekking heeft:
→ Wrt 𝑥
→ Wrt 𝑦
→ Wrt = With Respect To (met betrekking tot).
