Summary
Zusammenfassung Formelsammlung Statistik II bei Frau Oberdörfer
- Course
- Institution
Formelsammlung für die Statistik II Prüfung bei Frau Oberdörfer (Stand: Sommersemester 2021)
[Show more]
Seller
Follow
sheky2001
Content preview
Statistik II FormelsammlungMathematische Stichprobe
Bedingungen
• alle Elemente müssen gleiche Wahrscheinlichkeit haben gezogen zu werden
• unendlich große Grundgesamtheit
• Ziehen mit Zurücklegen, bei endlicher Grundgesamtheit
• (näherungsweise) bei Ziehen ohne Zurücklegen in endlicher Grundgesamtheit,
𝒏
wenn 𝑵 ≤ 𝟎, 𝟓
Approximation durch Normalverteilung
• die Merkmalssumme 𝑿𝒏 = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝑿𝒊 ~ 𝑵(𝒏𝝁; 𝒏𝝈𝟐 )
• ̅ 𝒏 = 𝟏 ∑𝒏𝒊=𝟏 𝑿𝒊 ~ 𝑵 (𝝁; 𝟏 𝝈𝟐 )
den Stichprobenmittelwert 𝑿 𝒏 𝒏
𝟏 𝝅(𝟏−𝝅)
• den Stichprobenanteilssatz 𝑷𝒏 = ∑𝒏 𝑿 ~ 𝑵 (𝝅; )
𝒏 𝒊=𝟏 𝒊 𝒏
𝒏
→ wenn bei Ziehen ohne Zurücklegen 𝟎, 𝟎𝟓 ≤ 𝑵 ≤ 𝟎, 𝟓 gilt, müssen Varianzen mit
𝑵−𝒏
Korrekturfaktor 𝑵−𝟏 multipliziert werden (siehe S. 5)
Stichprobenauswahl (siehe S. 7)
Schätzung unbekannter Parameter
• 𝑨𝒏𝒕𝒆𝒊𝒍𝒔𝒔𝒂𝒕𝒛 𝑷𝒏 : -Erwartungswert 𝑬(𝑷𝒏 ) = 𝝅
𝝅(𝟏−𝝅) 𝒏
-Varianz 𝑽(𝑷𝒏 ) = (𝒇ü𝒓 < 𝟎, 𝟎𝟓), sonst
𝒏 𝑵
𝝅(𝟏−𝝅) 𝑵−𝒏 𝒏
𝑽(𝑷𝒏 ) = ∗ 𝑵−𝟏 (𝒇ü𝒓 𝑵 ≥ 𝟎, 𝟎𝟓)
𝒏
• ̅ 𝒏:
Mittelwert 𝑿 -Erwartungswert 𝑬(𝑿 ̅ 𝒏) = 𝝁
̅ 𝒏 ) = 𝟏 𝝈𝟐 (𝒇ü𝒓 𝒏 < 𝟎, 𝟎𝟓), sonst
-Varianz 𝑽(𝑿 𝒏 𝑵
̅ 𝒏 ) = 𝟏 𝝈𝟐 ∗ 𝑵−𝒏 (𝒇ü𝒓
𝑽(𝑿
𝒏
≥ 𝟎, 𝟎𝟓)
𝒏 𝑵−𝟏 𝑵
• Standardfehler (SE): -Wurzel aus der Varianz einer Stichprobenfunktion
(je kleiner SE, desto besser Schätzung)
• Schätzer: -Normalverteilung 𝑋 ~ 𝑁(𝜇; 𝜎 2 ):
𝝁
̂=𝑿 ̅ 𝒏 = 𝟏 ∑𝒏𝒊=𝟏 𝑿𝒊 und 𝝈
̂𝟐 = 𝟏 ∑𝒏 (𝑿𝒊 − 𝑿
𝒊=𝟏
̅ 𝒏 )𝟐
𝒏 𝒏−𝟏
-Poissonverteilung 𝑋 ~ 𝑃𝑜(𝜆):
𝝀̂ = 𝑿
̅𝒏
-Exponentialverteilung 𝑋 ~ 𝐸𝑥𝑝(𝜆):
𝟏
𝝀̂ = ̅𝒏
𝑿
-Binomialverteilung 𝑋 ~ 𝐵𝑖(𝑛; 𝜋):
𝝅
̂ = 𝑷𝒏
→ siehe S. 14f
, Intervallschätzung
• für Erwartungswert 𝝁 = 𝑬(𝑿):
𝑺𝑫 𝑺𝑫
𝑲𝟏−𝜶 (𝝁) = [𝑺𝒖 = 𝝁
̂ − 𝑸𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍(𝟏−𝜶) ∙ ; 𝑺𝒐 = 𝝁
̂ + 𝑸𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍(𝟏−𝜶) ∙ ]
𝟐 √𝒏 𝟐 √𝒏
𝑺𝑫 = √𝝈𝟐 wenn wahre Varianz bekannt, sonst 𝑺𝑫 = √𝝈 ̂𝟐
𝑸𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍(𝟏−𝜶) = 𝒛(𝟏−𝜶) wenn wahre Varianz bekannt, sonst = 𝒕𝒅𝒇=𝒏−𝟏,(𝟏−𝜶)
𝟐 𝟐 𝟐
Aber! Bei (𝒏 − 𝟏) ≥ 𝟑𝟎 ist näherungsweise 𝑸𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍(𝟏−𝜶) = 𝒛(𝟏−𝜶) nutzbar
𝟐 𝟐
𝒏
Wenn 𝒔𝟐 gegeben ist, muss 𝝈
̂ 𝟐 = 𝒏−𝟏 ∙ 𝒔𝟐 berechnet werden
𝒏 𝝈𝟐 𝑵−𝒏 𝑺𝑫
Wenn 𝑵 ≥ 𝟎, 𝟎𝟓 muss 𝑺𝑬𝑴 = √ 𝒏 ∙ 𝒏−𝟏 statt berechnet werden
√𝒏
→ siehe S. 22ff
• für Anteilswert 𝝅 = 𝑷𝒏 :
-Merkmal X muss dichotom sein (ja/nein), d.h. Bernoulliverteilt und 𝒏 ≥ 𝟑𝟎
𝑷𝒏 ∙ (𝟏 − 𝑷𝒏 ) 𝑷𝒏 ∙ (𝟏 − 𝑷𝒏 )
𝑲𝟏−𝜶 (𝝅) = [𝑷𝒏 − 𝒛𝟏−𝜶 √ ; 𝑷𝒏 + 𝒛𝟏−𝜶 √ ]
𝟐 𝒏 𝟐 𝒏
𝒏 𝑷𝒏 ∙(𝟏−𝑷𝒏 ) 𝑵−𝒏 𝑷𝒏 ∙(𝟏−𝑷𝒏 )
Wenn 𝑵 ≥ 𝟎, 𝟎𝟓 muss 𝑺𝑬𝑴 = √ ∙ 𝒏−𝟏 statt √ berechnet werden
𝒏 𝒏
→ siehe S. 25ff
• für Varianz 𝝈𝟐 :
𝒏 ∙ 𝒔𝟐 𝒏 ∙ 𝒔𝟐
𝑲𝟏−𝜶 (𝝈𝟐 ) = [ ; ]
𝝌𝟐𝒏−𝟏,(𝟏−𝜶/𝟐) 𝝌𝟐𝒏−𝟏,𝜶/𝟐
𝟏
mit 𝒔𝟐 = 𝒏 ∑𝒏𝒊=𝟏(𝒙𝒊 − 𝒙
̅) 𝟐
→ siehe S. 26ff
• Varianz abschätzen? → siehe S. 28
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller sheky2001. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.96. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
77858 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now