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Ejercicios del desarrollo de diferentes tipos de limites
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CALCULO BASICOLIMITES
AUTOR: LICETH ALBADAN MARTINEZ
Límites y continuidad.
𝑡−12
1. lim
𝑡→12 √𝑡−3−√9
Aplicamos radicación de límites, donde multiplicamos la función por el
radical positivo tanto en el denominador como el numerador. Luego se
cancelan las raíces del denominador con los cuadrados
𝑡 − 12 √𝑡 − 3 + √9 (𝑡 − 12)(√𝑡 − 3 + √9)
lim ∗ = 2 2
𝑡→12 √𝑡 − 3 − √9 √𝑡 − 3 + √9
(√𝑡 − 3) − (√9)
Ahora simplificamos el denominador sumando – 3 y -9
𝑡 − 12 (𝑡 − 12)(√𝑡 − 3 + √9) (𝑡 − 12)(√𝑡 − 3 + √9)
lim = =
𝑡→12 √𝑡 − 3 − √9 𝑡−3−9 𝑡 − 12
Cancelamos el denominador y numerador dado que son términos
semejantes
𝑡 − 12
lim = √𝑡 − 3 + √9
𝑡→12 √𝑡 − 3 − √9
Remplazamos el valor de t
𝑡 − 12
lim = √12 − 3 + √9
𝑡→12 √𝑡 − 3 − √9
Realizamos la resta
𝑡 − 12
lim = √9 + √9
𝑡→12 √𝑡 − 3 − √9
Obtenemos las raíces y sumamos los términos
𝑡 − 12
lim =3+3=6
𝑡→12 √𝑡 − 3 − √9
𝑡 2 +2𝑡−15
2. lim
𝑡→5 𝑡 2 +4𝑡−5
Aplicaremos simplificación algebraica por caso de factorización 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
Buscando dos términos que multiplicados den -15 y sumados den 2
𝑡 2 + 2𝑡 − 15 = (𝑡 + 5)(𝑡 − 3)
Luego realizamos el mismo procedimiento para el denominador, buscando
dos términos que multiplicados den -5 y sumados 4
𝑡 2 + 4𝑡 − 5 = (𝑡 + 5)(𝑡 − 1)
, Uniendo los resultados deben darnos así
𝑡 2 + 2𝑡 − 15 (𝑡 + 5)(𝑡 − 3) 𝑡 − 3
lim = =
𝑡→5 𝑡 2 + 4𝑡 − 5 (𝑡 + 5)(𝑡 − 1) 𝑡 − 1
Cancelamos términos semejantes, remplazamos t
𝑡 2 + 2𝑡 − 15 5 − 3 2 1
lim 2 = = =
𝑡→5 𝑡 + 4𝑡 − 5 5−1 4 2
9+𝑡−4𝑡 2
3. lim 2𝑡 2 +4𝑡−5
𝑡→∞
Se divide entre el término que tenga mayor exponente
9 𝑡 4𝑡 2
9 + 𝑡 − 4𝑡 2
4 + 4 − 𝑡4
lim 4 =𝑡 4 𝑡
𝑡→∞ 2𝑡 + 4𝑡 − 5 2𝑡 4𝑡 5
+ 4− 4
𝑡4 𝑡 𝑡
9 + 𝑡 − 4𝑡 2 0+0+0
lim = =∞
𝑡→∞ 2𝑡 4 + 4𝑡 − 5 2+0+0
(1−cos 𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝜃
4. lim
𝜃→0 𝜃2
El primer paso a realizar es separar los términos
(1 − cos 𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 1 − cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃
lim = lim ∗ lim
𝜃→0 𝜃2 𝜃→0 𝜃 𝜃→0 𝜃
Una vez separados los términos obtenemos una identidad que debemos
reemplazar
𝑠𝑒𝑛 𝜃
=1
𝜃
(1 − cos 𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 1 − cos 𝜃
lim 2
= lim ∗1
𝜃→0 𝜃 𝜃→0 𝜃
Ahora multiplicamos el coseno que resta al 1 por 1+ cos 𝜃, lo dividimos
también para no alterar la ecuación.
(1 − cos 𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 1 − cos 𝜃 1 + cos 𝜃
lim = lim ∗ ∗1
𝜃→0 𝜃2 𝜃→0 𝜃 1 + cos 𝜃
(1 − cos 𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 1 − cos 𝜃 2
lim = lim ∗1
𝜃→0 𝜃2 𝜃→0 𝜃(1 + cos 𝜃)
Obtenemos otra identidad trigonométrica
1 = cos 𝜃 2 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2
1 − cos 𝜃 2 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2
Separamos los términos que multiplican el denominador y obtenemos de
nuevo
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