Dit is de samenvatting van het eerste hoofdstuk van het vak Discrete Wiskunde. In deze samenvatting werd zowel alle informatie uit de slides als bijkomende informatie uit eigen notities en de cursustekst opgenomen.
Hoofdstuk 1: Inleidende begrippen
Logica
Wiskunde is opgebouwd uit logische redeneringen. Wij gebruiken de taal en notatie van de
predicatenlogica om redeneringen neer te schrijven.
• Propositie: een bewering p die ofwel waar, ofwel onwaar is.
• Conjunctie: p ∧ q (”p en q”) en Disjunctie: p ∨ q (”p of q”)
• Implicatie: p ⇒ q (“Als p dan q”)
o Voorbeeld. “x is deelbaar door 10 ⇒ x is even”
• Equivalentie: p ⇔ q (“p is equivalent met q”) betekent (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
o Voorbeeld. “n2 even ⇔ n even”
• Negatie: ¬p
o Voorbeeld. “Het regent niet.”
Opmerking:
De negatie van de implicatie is niet hetzelfde als contrapositie!
• Negatie van de implicatie: ¬(p ⇒ q) is equivalent met p ∧ ¬q
• Contrapositie van de implicatie: p ⇒ q is equivalent met ¬q ⇒ ¬p
• Voorbeeld. Om te bewijzen dat “n 2 even ⇒ n even” is het gemakkelijker te bewijzen
dat “n oneven ⇒ n 2 oneven”.
Verzamelingen
Verzamelingen laten toe alle (wiskundige) objecten met dezelfde kenmerken te groeperen of
te verzamelen. Een object uit een gegeven verzameling heet een element.
Voorbeelden
• De verzameling priemgetallen groepeert alle positieve gehele getallen die juist twee
verschillende delers bezitten.
• N = {0, 1, 2, . . .}: de natuurlijke getallen
• Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . .}: de gehele getallen
• Q = { a/b | a, b ∈ Z ∧ b 6= 0}: de rationale getallen
• R = de reële getallen
• C = {a + bi | a, b ∈ R}: de complexe getallen
N, Z, Q = discrete verzamelingen
R, C = continue verzamelingen
Kwantoren
Sommige uitspraken of eigenschappen zijn geldig voor alle objecten in een gegeven
verzameling. Om dit te noteren gebruiken we de kwantor “voor alle”: ∀.
Voorbeeld. ∀ x ∈ R : x 2 ≥ 0
Het dubbelpunt “:” betekent in een logische uitspraak “geldt”.
1
, Er is ook een kwantor “er bestaat” indien men wil zeggen dat een eigenschap geldt voor
minstens een element in een gegeven verzameling.
Voorbeeld. ∃ x ∈ R : x 2 = x.
Soms wil men benadrukken dat er slechts een element bestaat met de gegeven eigenschap.
Voorbeeld. ∃! 𝑥 ∈ ℝ+ 2
0 ∶ 𝑥 =𝑥
De volgorde van kwantoren heeft belang! Bijvoorbeeld
∀ 𝑥 ∈ ℝ ∶ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ : 𝑥 2 = 𝑦
is waar, terwijl
∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∶ ∀ 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 2 = 𝑦
onwaar is.
Negaties van uitspraken zijn zeer belangrijk. Denk bijvoorbeeld aan het bewijs door
contrapositie.
De negatie van ∀ x ∈ X : p(x) is ∃ x ∈ X : ¬p(x) en de negatie van ∃ x ∈ X : p(x) is ∀ x ∈ X :
¬p(x).
Deelverzamelingen
Indien elk element van een verzameling A ook behoort tot een verzameling B, zeggen we dat
A een deelverzameling is van B of dat B de verzameling A omvat.
Symbolisch:
𝐴⊂𝐵⇔∀𝑎∈𝐴∶𝑎∈𝐵
Ook steeds
• 𝐵⊂𝐵
• 𝜙⊂𝐵
Alle andere deelverzamelingen van B noemen we echte deelverzamelingen van B.
Twee verzamelingen A en B zijn gelijk indien ze dezelfde elementen hebben.
Symbolisch:
(𝐴 ⊂ 𝐵) ∧ (𝐵 ⊂ 𝐴)
Gevolg:
𝐴 ≠ 𝐵 ⇔ (𝐴 ⊄ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊄ 𝐴)
De verzameling van alle deelverzamelingen van een gegeven verzameling X noteren we
𝒫(𝑋).
Bewerkingen met verzamelingen
A ∩ B = {x ∈ A | x ∈ B} : Doorsnede
A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} : Unie
A \ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∉ B)} : Verschil
2
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller lennyS. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $0.00. You're not tied to anything after your purchase.
