ALG2. José Martı́nez Suárez
Tema 2
Homografı́as. Elementos invariantes. Relación con las afinidades. Razón doble.
Cuaternas armónicas.
Sea π : Kn+1 \{0} −→ Pn la aplicación natural, i.e. π(v) = (v0 : · · · : vn ) para todo
v = (v0 , . . . , vn ) ∈ Kn+1 \{0}. Recordemos que dado un subespacio vectorial L ⊆ Kn+1 de
dimensión r ≥ 0 se tiene que π(L) := π(L\{0}) ⊆ Pn es una variedad lineal proyectiva de
dimensión r − 1 y que toda variedad lineal proyectiva de Pn es de esta forma. Ası́ pues,
cuando decimos que Z es una variedad lineal proyectiva en Pn , suponemos implı́citamente
que L es un subespacio vectorial de Kn+1 .
Recordemos que una expresión del tipo P = [u] ∈ Pn supone implı́citamente que u ∈ Kn+1
es un vector no nulo.
1. Homografı́as
Definición
Una aplicación F : Pn −→ Pn se dice que es una homografı́a si existe f : Kn+1 −→
Kn+1 , isomorfismo de espacios vectoriales, verificando que
para todo P = [u] ∈ Pn , F (P ) = [f (u)]
Es decir, el siguiente diagrama es conmutativo
f
Kn+1 \{0} Kn+1 \{0}
π π
F
Pn Pn
En estas condiciones se dice que F es la homografı́a asociada al isomorfismo f , y se
denota F = [f ].
Notemos que la definición anterior es consistente, es decir, F (P ) no depende del represen-
tante u elegido en P . En efecto, si [u] = [v] entonces existe un escalar no nulo λ tal que
u = λv. Por tanto f (u) = f (λv) = λf (v) y de aquı́ se deduce la igualdad [f (u)] = [f (v)].
Proposición
Sean f, g isomorfismos de Kn+1 . Entonces [f ] = [g] si y sólo si existe λ ∈ K no nulo
tal que f = λg.
Demostración. Supongamos que f = λg, llamamos F = [f ], G = [g] y se tiene que para
cualquier u ∈ Kn+1 ,
F ([u]) = [f (u)] = [λg(u)] = [g(u)] = G([u])
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, ALG2. José Martı́nez Suárez
y por tanto F = G.
Supongamos ahora que F = [f ] = [g] =PG. Sea B = {u0 , . . . , un } una base de Kn+1 .
Notemos Pi = [ui ] para i = 0, . . . , n, u = ni=0 ui y U = [u].
Se tiene [f (ui )] = F (Pi ) = G(Pi ) = [g(ui )] y por tanto debe existir un escalar no nulo
λi ∈ K tal que f (ui ) = λi g(ui ). Por otro lado, [f (u)] = F (U ) = G(U ) = [g(u)] y por tanto
existe otro escalar no nulo λ ∈ K tal que f (u) = λg(u). Por otra parte,
n
X n
X n
X
λg(ui ) = λg(u) = f (u) = f (ui ) = λi g(ui )
i=0 i=0 i=0
Como g es un isomorfismo del espacio vectorial Kn+1 y como B es una base del mismo
espacio, la familia g(B) = {g(u0 ), . . . , g(un )} es también una base de Kn+1 . En particular
g(B) es linealmente independiente y por tanto λi = λ para i = 0, . . . , n. Como f y λg
coinciden sobre los elementos de B, se tiene que f = λg.
Proposición
Toda homografı́a F = [f ] : Pn −→ Pn es una aplicación biyectiva.
Demostración. En efecto, supongamos P = [u], Q = [v] y F (P ) = F (Q). Entonces existe
λ ∈ K tal que
f (u) = λf (v) = f (λv) ⇒ u = λv ⇒ P = Q
Esto prueba que es inyectiva. Por otra parte, si Q = [v] ∈ Pn , sean u = f −1 (v) y P = [u].
La existencia de u está asegurada al ser f un isomorfismo de espacios vectoriales. Se tiene
F (P ) = [f (u)] = [f (f −1 (v))] = [v] = Q
Esto prueba que es sobreyectiva.
Corolario
Sea F = [f ] : Pn −→ Pn una homografı́a. Entonces se tiene
F −1 = [f −1 ]
y por tanto F −1 es una homografı́a.
Proposición
La composición de homografı́as es una homografı́a. Más aún, si F = [f ] : Pn −→ Pn
y G = [g] : Pn −→ Pn son homografı́as, entonces G ◦ F = [g ◦ f ].
Demostración. Si P = [u] entonces (G ◦ F )(P ) = G(F (P )) = G([f (u)]) = [g(f (u))] =
[(g ◦ f )(u)].
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, ALG2. José Martı́nez Suárez
1.1. Ecuación de una homografı́a respecto de sistemas de refe-
rencia
Sea F = [f ] : Pn −→ Pn una homografı́a. Fijemos sistemas de referencia en Pn , que
notaremos R1 y R2 , con bases normalizadas respectivas B1 y B2 . Sea P = [u] ∈ Pn . En
esta situación observemos que
1. PR1 = [uB1 ]
2. F (P )R2 = [f (u)B2 ]
3. La ecuación del isomorfismo f respecto de las bases B1 y B2 es
f (u)tB2 = MB1 ,B2 (f )utB1
donde MB1 ,B2 (f ) es la matriz de f respecto de las bases B1 y B2 .
Recordemos que si B1 = {u0 , . . . , un }, la i-ésima columna de la matriz MB1 ,B2 (f )
corresponde a las coordenadas de f (ui ) respecto de B2 .
Por tanto, si notamos PR1 = [x0 : · · · : xn ] y F (P )R2 = [y0 : · · · : yn ] entonces
x0 y0
.. ..
ρMB1 ,B2 (f ) . = .
xn yn
para algún escalar ρ no nulo.
La ecuación anterior se llama ecuación de la homografı́a F respecto de los sis-
temas de referencia R1 y R2 .
Definición
En las condiciones anteriores, la clase-matriz de la homografı́a F = [f ] respecto de
R1 y R2 , notada MR1 ,R2 (F ), es
MR1 ,R2 (F ) = {ρMB1 ,B2 (f ) : ρ ̸= 0}
donde B1 y B2 son bases normalizadas relativas a los sistemas de referencia dados.
La relación
A ∼ B ⇔ ∃λ ̸= 0 tal que A = λB
es de equivalencia en el conjunto de las matrices cuadradas de orden n + 1 e invertibles y
la clase-matriz MR1 ,R2 (F ) no es más que la clase de equivalencia de MB1 ,B2 (f ).
Proposición
Sean F = [f ] y G = [g] dos homografı́as de Pn . Consideremos sistemas de referencia
R1 , R2 , R3 en Pn . Entonces
MR1 ,R3 (G ◦ F ) = MR2 ,R3 (G)MR1 ,R2 (F )
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Homografı́as. Elementos invariantes. Relación con las afinidades. Razón doble.
Cuaternas armónicas.
Sea π : Kn+1 \{0} −→ Pn la aplicación natural, i.e. π(v) = (v0 : · · · : vn ) para todo
v = (v0 , . . . , vn ) ∈ Kn+1 \{0}. Recordemos que dado un subespacio vectorial L ⊆ Kn+1 de
dimensión r ≥ 0 se tiene que π(L) := π(L\{0}) ⊆ Pn es una variedad lineal proyectiva de
dimensión r − 1 y que toda variedad lineal proyectiva de Pn es de esta forma. Ası́ pues,
cuando decimos que Z es una variedad lineal proyectiva en Pn , suponemos implı́citamente
que L es un subespacio vectorial de Kn+1 .
Recordemos que una expresión del tipo P = [u] ∈ Pn supone implı́citamente que u ∈ Kn+1
es un vector no nulo.
1. Homografı́as
Definición
Una aplicación F : Pn −→ Pn se dice que es una homografı́a si existe f : Kn+1 −→
Kn+1 , isomorfismo de espacios vectoriales, verificando que
para todo P = [u] ∈ Pn , F (P ) = [f (u)]
Es decir, el siguiente diagrama es conmutativo
f
Kn+1 \{0} Kn+1 \{0}
π π
F
Pn Pn
En estas condiciones se dice que F es la homografı́a asociada al isomorfismo f , y se
denota F = [f ].
Notemos que la definición anterior es consistente, es decir, F (P ) no depende del represen-
tante u elegido en P . En efecto, si [u] = [v] entonces existe un escalar no nulo λ tal que
u = λv. Por tanto f (u) = f (λv) = λf (v) y de aquı́ se deduce la igualdad [f (u)] = [f (v)].
Proposición
Sean f, g isomorfismos de Kn+1 . Entonces [f ] = [g] si y sólo si existe λ ∈ K no nulo
tal que f = λg.
Demostración. Supongamos que f = λg, llamamos F = [f ], G = [g] y se tiene que para
cualquier u ∈ Kn+1 ,
F ([u]) = [f (u)] = [λg(u)] = [g(u)] = G([u])
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y por tanto F = G.
Supongamos ahora que F = [f ] = [g] =PG. Sea B = {u0 , . . . , un } una base de Kn+1 .
Notemos Pi = [ui ] para i = 0, . . . , n, u = ni=0 ui y U = [u].
Se tiene [f (ui )] = F (Pi ) = G(Pi ) = [g(ui )] y por tanto debe existir un escalar no nulo
λi ∈ K tal que f (ui ) = λi g(ui ). Por otro lado, [f (u)] = F (U ) = G(U ) = [g(u)] y por tanto
existe otro escalar no nulo λ ∈ K tal que f (u) = λg(u). Por otra parte,
n
X n
X n
X
λg(ui ) = λg(u) = f (u) = f (ui ) = λi g(ui )
i=0 i=0 i=0
Como g es un isomorfismo del espacio vectorial Kn+1 y como B es una base del mismo
espacio, la familia g(B) = {g(u0 ), . . . , g(un )} es también una base de Kn+1 . En particular
g(B) es linealmente independiente y por tanto λi = λ para i = 0, . . . , n. Como f y λg
coinciden sobre los elementos de B, se tiene que f = λg.
Proposición
Toda homografı́a F = [f ] : Pn −→ Pn es una aplicación biyectiva.
Demostración. En efecto, supongamos P = [u], Q = [v] y F (P ) = F (Q). Entonces existe
λ ∈ K tal que
f (u) = λf (v) = f (λv) ⇒ u = λv ⇒ P = Q
Esto prueba que es inyectiva. Por otra parte, si Q = [v] ∈ Pn , sean u = f −1 (v) y P = [u].
La existencia de u está asegurada al ser f un isomorfismo de espacios vectoriales. Se tiene
F (P ) = [f (u)] = [f (f −1 (v))] = [v] = Q
Esto prueba que es sobreyectiva.
Corolario
Sea F = [f ] : Pn −→ Pn una homografı́a. Entonces se tiene
F −1 = [f −1 ]
y por tanto F −1 es una homografı́a.
Proposición
La composición de homografı́as es una homografı́a. Más aún, si F = [f ] : Pn −→ Pn
y G = [g] : Pn −→ Pn son homografı́as, entonces G ◦ F = [g ◦ f ].
Demostración. Si P = [u] entonces (G ◦ F )(P ) = G(F (P )) = G([f (u)]) = [g(f (u))] =
[(g ◦ f )(u)].
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1.1. Ecuación de una homografı́a respecto de sistemas de refe-
rencia
Sea F = [f ] : Pn −→ Pn una homografı́a. Fijemos sistemas de referencia en Pn , que
notaremos R1 y R2 , con bases normalizadas respectivas B1 y B2 . Sea P = [u] ∈ Pn . En
esta situación observemos que
1. PR1 = [uB1 ]
2. F (P )R2 = [f (u)B2 ]
3. La ecuación del isomorfismo f respecto de las bases B1 y B2 es
f (u)tB2 = MB1 ,B2 (f )utB1
donde MB1 ,B2 (f ) es la matriz de f respecto de las bases B1 y B2 .
Recordemos que si B1 = {u0 , . . . , un }, la i-ésima columna de la matriz MB1 ,B2 (f )
corresponde a las coordenadas de f (ui ) respecto de B2 .
Por tanto, si notamos PR1 = [x0 : · · · : xn ] y F (P )R2 = [y0 : · · · : yn ] entonces
x0 y0
.. ..
ρMB1 ,B2 (f ) . = .
xn yn
para algún escalar ρ no nulo.
La ecuación anterior se llama ecuación de la homografı́a F respecto de los sis-
temas de referencia R1 y R2 .
Definición
En las condiciones anteriores, la clase-matriz de la homografı́a F = [f ] respecto de
R1 y R2 , notada MR1 ,R2 (F ), es
MR1 ,R2 (F ) = {ρMB1 ,B2 (f ) : ρ ̸= 0}
donde B1 y B2 son bases normalizadas relativas a los sistemas de referencia dados.
La relación
A ∼ B ⇔ ∃λ ̸= 0 tal que A = λB
es de equivalencia en el conjunto de las matrices cuadradas de orden n + 1 e invertibles y
la clase-matriz MR1 ,R2 (F ) no es más que la clase de equivalencia de MB1 ,B2 (f ).
Proposición
Sean F = [f ] y G = [g] dos homografı́as de Pn . Consideremos sistemas de referencia
R1 , R2 , R3 en Pn . Entonces
MR1 ,R3 (G ◦ F ) = MR2 ,R3 (G)MR1 ,R2 (F )
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